Представяне на вектори чрез компоненти | Въведение в математическия анализ | Кан Академия

Векторите се характеризират чрез своята дължина и посока. В двумерната равнина можем да ги опишем по още един еквивалентен начин, като използваме промяната по х и промяната по у от началото на вектора до неговия край.

В други видео уроци
говорихме за това,

че един вектор се дефинира
напълно

чрез своите дължина и посока –
задължително и двете.

Ето един пример тук.
(показва на екрана)

Казваме, че дължината

на вектор а е равна на три единици,

тези успоредни черти тук
от двете страни

приличат на двойна
абсолютна стойност –

така означаваме дължината
на вектор а.

Можеш да покажеш това
нагледно, като се увериш, че

дължината на стрелката на този вектор
е точно три единици.

След това имаме посоката
на вектора.

Виждаме, че посоката
на вектора е 30 градуса

обратно на часовниковата
стрелка спрямо посоката изток-запад.

В това видео ще разгледаме
други начини,

или друг начин да дефинираме
един вектор.

За тази цел ще използваме
неговите компоненти.

Начинът, по който аз
го правя,

е да помислим къде
се намира началото

на този вектор, и къде
се намира неговият край.

Представяме си, че се движим
от началото към края му,

и тогава колко е промяната
на х?

Виждаме, че промяната на х

е ето това разстояние тук.

Тръгваме от тази стойност на х
и стигаме до тази стойност на х.

След това определяме
промяната на у.

Ако тръгнем от тук долу
до тук горе,

това е промяната на у, която можем
да определим по този начин.

Ще означа това.

Това е промяната на х, а после
това е промяната на у.

Ако помислиш за това,

ако някой ти каже каква е
промяната на х и промяната на у,

можеш да възпроизведеш
този вектор ето тук,

като започнеш от тук,
имаме тази промяна на х,

и имаме тази промяна на у,
и това дефинира къде е краят

на вектора спрямо неговото начало.

Това можем да запишем, като
кажем, че вектор а

е равен на – използваме скоби –

записваме промяната на х,
точка и запетая, промяната на у.

Ако искаме да го направим
за този конкретен вектор тук,

знаем, че дължината
на вектора е 3 единици.

Дължината му е 3 единици.

Знаем че това е така, тъй като
това е спрямо хоризонталната посока,

а после това отива право
нагоре и надолу.

Това е един правоъгълен
триъгълнък.

Можем да използваме
знанията си по геометрия.

Не се тревожи, ако ти е нужно
малко опресняване,

но в случая ще използваме
знанията си от геометрията,

или малко тригонометрия,

за да докажем, че ако знаем този ъгъл –
ако знаем дължината

на тази хипотенуза, тогава
тази страна, която е срещулежаща

на ъгъла от 30 градуса, нейната
дължина е половината от тази на хипотенузата,

значи тя ще бъде 3/2.

Промяната на х ще бъде

корен квадратен от 3,
по 3/2.

Значи ще бъде 3 по,
корен квадратен от три, върху 2.

Тук горе ще запишем
нашия компонент х,

който е 3 по корен квадратен
от 3 върху 2.

Компонентът у е 3/2.

Може би сега си мислиш,

че това прилича на наредена
двойка координати в координатната система,

където това е координатата х,

а това е координатата у.

Но когато работим с вектори,

това не е съвсем същото тълкуване.

В този случай, ако началото
на вектора

е в началото на координатата
система ето тук, тогава неговият край

ще бъде точка с тези координати
в координатната равнина.

Но ние знаем, че един вектор
не се определя

от неговата позиция, от
мястото на неговото начало.

Можем да преместим този вектор
на произволно място,

и той пак ще бъде същият вектор.

Може да има произволна
начална точка.

Така че, когато използваме
този начин на записване на вектори,

тук няма координата х и
координата у.

Това са промяната на х
и промяната на у.

Да видим още един пример,

за да покажа, че можем
да използваме и обратното на това.

Да кажем, че някакъв
вектор b е дефиниран,

като неговият компонент х
е корен квадратен от 2,

а компонентът у е
корен квадратен от 2.

Да помислим как изглежда
този вектор.

Ако това е неговото начало,

тогава неговият компонент х,
който е промяната на х,

е корен квадратен от 2.

Може би изглежда ето така.

Това е промяната на х,
равно на корен квадратен от 2.

След това неговият компонент у
също е корен квадратен от 2.

Значи мога да напиша тук
промяната на у,

която е корен квадратен от 2.

Векторът ще изглежда
по следния начин.

Той започва тук и после
отива ето така до тук,

като можем да използваме
знанията си по геометрия,

за да изчислим неговата дължина,

както и неговата посока.

Можем да използваме питагоровата
теорема, за да пресметнем, че

тази страна на квадрат
плюс тази страна на квадрат

са равни на тази страна на квадрат.

Ако го пресметнем, получаваме,

че това е с дължина 2,
което означава, че

дължината на вектор b
е две единици.

Ако искаме да изчислим
този ъгъл ето тук,

можем да използваме знанията
си по тригонометрия,

или даже малко геометрия,
за да определим, че

това е прав ъгъл ето тук,

а тази страна и тази страна
са с равни дължини.

Следователно тези ъгли са равни,

и всеки от тях е 45 градуса.

Ето така успяхме да определим
посоката на вектора,

която е 45 градуса обратно на часовниковата
стрелка спрямо посоката изток-запад.

Надявам се, че осъзнаваш, че
това са еквивалентни начини

да се представи един вектор.

Можем да го дефинираме или
чрез дължината и посоката му,

или чрез неговите компоненти,

като можем да преминаваме
от едното представяне в другото.

Ще упражним това в бъдещи видео уроци.