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Linear Algebra: Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix

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    上次视频我们我们能够
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    说明任意的λ
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    满足这个等式对于非零向量 v
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    那么行列式λ乘以
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    单位矩阵减A 必须等于0
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    或者我们可以把这个重新写成比如λ是
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    A的一个特征值当且仅当
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    我把它写成如果
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    行列式λ乘以
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    单位矩阵减去A
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    等于0
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    现在 我们来看看是否我们可以利用这个
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    以任意一种具体的方式去解出特征值
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    我们先来做简单的2×2的 我们做一个R2的
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    比方说A等于矩阵[1,2；3,4]
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    我想计算A的特征值
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    所以如果λ是A的一个特征值
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    那么这个告诉我们
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    λ乘以单位矩阵的行列式
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    它是R2中的单位矩阵
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    λ乘以[1,0；0,1] 减去A [1,2；4,3]
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    等于0
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    那这等于什么？
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    这个是行列式
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    λ乘以这个就是
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    λ乘以所有这些项
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    它是λ乘以1是λ λ乘以0是0
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    λ乘以0是0 λ乘以1是λ
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    这我们减去A
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    你就得到[1,2；4,3] 这个必须等于0
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    然后这个矩阵 或者矩阵的这个差值
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    这个保持行列式不变
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    这是行列式
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    第一项是λ-1
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    第二项是0-2 就是-2
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    第三项是0-4 就是-4
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    第四项是λ-3
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    就像这样
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    有点缺陷就是看不清发生了什么
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    沿着对角线的项
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    所有的都变成负数 对吧？
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    我们对整体取负
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    然后沿着对角线的项
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    我们在前面有个λ
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    它在本质上是
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    这个表达式的副产品
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    那么这个2×2矩阵的行列式是多少
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    这个行列式就是这个乘以那个
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    减去这个乘以那个
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    所以它是λ-1 乘以λ-3
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    减去那两项乘在一起
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    所以减去-2乘以-4是+8 减去8
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    这是这个矩阵的行列式
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    或者这个矩阵的行列式
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    是被简化成这样的
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    这个必须等于0
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    为什么必须等于0的全部的原因就是
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    因为我们见过更简单点的
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    这个矩阵有一个非平凡的零空间
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    因为它有一个非平凡的零空间
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    它就不可能可逆
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    它的行列式必须等于0
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    现在我们有
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    一个很有意思的多项式方程等式
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    我们可以把它乘出来
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    我们得到什么？
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    我们把它乘出来
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    我们得到λ2-3λ
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    -λ+3-8等于0
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    或者λ2-4λ
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    减去 等于0
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    如果你想知道一些术语
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    这个表达式被称作
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    特征多项式
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    就是一个术语 多项式
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    但是如果我们想计算A的特征值
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    我们就不得不解这个
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    这就是一个基本的二次方程问题
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    这个实际上是可分解因子的 我们看
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    两个数 你计算乘积是-5
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    你加上它们就得到-4
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    它是减5和加1 所以你得到λ-5
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    乘以λ+1 等于0 对吧？
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    -5乘以1是-5 然后-5λ
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    加1λ等于-4λ
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    这个特征方程的两个解
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    我们的特征多项式被设成0
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    就是λ=5 或者λ=-1
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    就像这样
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    利用我们应经证明过的内容
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    在上次视频中
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    我们就能计算出
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    A的两个特征值就是λ=5
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    和λ=-1
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    现在我们解决了问题的一部分 对吧？
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    我们知道我们在寻找特征值和特征向量
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    对吧？
  • 5:25 - 5:28
    我们知道这个等式可以被满足
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    当λ=5或-1时
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    所以我们知道这个特征值
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    但是我们还没有确定特征向量
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    那就是我们下次视频将要做的
Title:
Linear Algebra: Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix
Description:

Example solving for the eigenvalues of a 2x2 matrix
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Video Language:
English
Duration:
05:39
chezisu1988 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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