上次视频我们我们能够

说明任意的λ

满足这个等式对于非零向量 v

那么行列式λ乘以

单位矩阵减A 必须等于0

或者我们可以把这个重新写成比如λ是

A的一个特征值当且仅当

我把它写成如果

行列式λ乘以

单位矩阵减去A

等于0

现在 我们来看看是否我们可以利用这个

以任意一种具体的方式去解出特征值

我们先来做简单的2×2的 我们做一个R2的

比方说A等于矩阵[1,2；3,4]

我想计算A的特征值

所以如果λ是A的一个特征值

那么这个告诉我们

λ乘以单位矩阵的行列式

它是R2中的单位矩阵

λ乘以[1,0；0,1] 减去A [1,2；4,3]

等于0

那这等于什么？

这个是行列式

λ乘以这个就是

λ乘以所有这些项

它是λ乘以1是λ λ乘以0是0

λ乘以0是0 λ乘以1是λ

这我们减去A

你就得到[1,2；4,3] 这个必须等于0

然后这个矩阵 或者矩阵的这个差值

这个保持行列式不变

这是行列式

第一项是λ-1

第二项是0-2 就是-2

第三项是0-4 就是-4

第四项是λ-3

就像这样

有点缺陷就是看不清发生了什么

沿着对角线的项

所有的都变成负数 对吧？

我们对整体取负

然后沿着对角线的项

我们在前面有个λ

它在本质上是

这个表达式的副产品

那么这个2×2矩阵的行列式是多少

这个行列式就是这个乘以那个

减去这个乘以那个

所以它是λ-1 乘以λ-3

减去那两项乘在一起

所以减去-2乘以-4是+8 减去8

这是这个矩阵的行列式

或者这个矩阵的行列式

是被简化成这样的

这个必须等于0

为什么必须等于0的全部的原因就是

因为我们见过更简单点的

这个矩阵有一个非平凡的零空间

因为它有一个非平凡的零空间

它就不可能可逆

它的行列式必须等于0

现在我们有

一个很有意思的多项式方程等式

我们可以把它乘出来

我们得到什么？

我们把它乘出来

我们得到λ2-3λ

-λ+3-8等于0

或者λ2-4λ

减去 等于0

如果你想知道一些术语

这个表达式被称作

特征多项式

就是一个术语 多项式

但是如果我们想计算A的特征值

我们就不得不解这个

这就是一个基本的二次方程问题

这个实际上是可分解因子的 我们看

两个数 你计算乘积是-5

你加上它们就得到-4

它是减5和加1 所以你得到λ-5

乘以λ+1 等于0 对吧？

-5乘以1是-5 然后-5λ

加1λ等于-4λ

这个特征方程的两个解

我们的特征多项式被设成0

就是λ=5 或者λ=-1

就像这样

利用我们应经证明过的内容

在上次视频中

我们就能计算出

A的两个特征值就是λ=5

和λ=-1

现在我们解决了问题的一部分 对吧？

我们知道我们在寻找特征值和特征向量

对吧？

我们知道这个等式可以被满足

当λ=5或-1时

所以我们知道这个特征值

但是我们还没有确定特征向量

那就是我们下次视频将要做的