[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:02.19,Default,,0000,0000,0000,,上次视频我们我们能够
Dialogue: 0,0:00:02.20,0:00:03.96,Default,,0000,0000,0000,,说明任意的λ
Dialogue: 0,0:00:03.96,0:00:08.61,Default,,0000,0000,0000,,满足这个等式对于非零向量 v
Dialogue: 0,0:00:08.61,0:00:12.01,Default,,0000,0000,0000,,那么行列式λ乘以
Dialogue: 0,0:00:12.03,0:00:15.62,Default,,0000,0000,0000,,单位矩阵减A 必须等于0
Dialogue: 0,0:00:15.63,0:00:23.08,Default,,0000,0000,0000,,或者我们可以把这个重新写成比如λ是
Dialogue: 0,0:00:23.10,0:00:28.35,Default,,0000,0000,0000,,A的一个特征值当且仅当
Dialogue: 0,0:00:28.37,0:00:29.81,Default,,0000,0000,0000,,我把它写成如果
Dialogue: 0,0:00:29.83,0:00:34.71,Default,,0000,0000,0000,,行列式λ乘以
Dialogue: 0,0:00:34.73,0:00:36.57,Default,,0000,0000,0000,,单位矩阵减去A
Dialogue: 0,0:00:36.58,0:00:39.52,Default,,0000,0000,0000,,等于0
Dialogue: 0,0:00:39.55,0:00:41.68,Default,,0000,0000,0000,,现在 我们来看看是否我们可以利用这个
Dialogue: 0,0:00:41.71,0:00:44.96,Default,,0000,0000,0000,,以任意一种具体的方式去解出特征值
Dialogue: 0,0:00:44.98,0:00:48.58,Default,,0000,0000,0000,,我们先来做简单的2×2的 我们做一个R2的
Dialogue: 0,0:00:48.59,0:00:57.87,Default,,0000,0000,0000,,比方说A等于矩阵[1,2；3,4]
Dialogue: 0,0:00:57.90,0:01:01.51,Default,,0000,0000,0000,,我想计算A的特征值
Dialogue: 0,0:01:01.52,0:01:10.57,Default,,0000,0000,0000,,所以如果λ是A的一个特征值
Dialogue: 0,0:01:10.58,0:01:12.48,Default,,0000,0000,0000,,那么这个告诉我们
Dialogue: 0,0:01:12.49,0:01:16.92,Default,,0000,0000,0000,,λ乘以单位矩阵的行列式
Dialogue: 0,0:01:16.94,0:01:19.83,Default,,0000,0000,0000,,它是R2中的单位矩阵
Dialogue: 0,0:01:19.85,0:01:27.90,Default,,0000,0000,0000,,λ乘以[1,0；0,1] 减去A [1,2；4,3]
Dialogue: 0,0:01:27.91,0:01:30.15,Default,,0000,0000,0000,,等于0
Dialogue: 0,0:01:30.16,0:01:31.74,Default,,0000,0000,0000,,那这等于什么？
Dialogue: 0,0:01:31.75,0:01:34.29,Default,,0000,0000,0000,,这个是行列式
Dialogue: 0,0:01:34.30,0:01:38.04,Default,,0000,0000,0000,,λ乘以这个就是
Dialogue: 0,0:01:38.06,0:01:40.29,Default,,0000,0000,0000,,λ乘以所有这些项
Dialogue: 0,0:01:40.31,0:01:43.47,Default,,0000,0000,0000,,它是λ乘以1是λ λ乘以0是0
Dialogue: 0,0:01:43.48,0:01:47.00,Default,,0000,0000,0000,,λ乘以0是0 λ乘以1是λ
Dialogue: 0,0:01:47.01,0:01:49.29,Default,,0000,0000,0000,,这我们减去A
Dialogue: 0,0:01:49.30,0:01:55.78,Default,,0000,0000,0000,,你就得到[1,2；4,3] 这个必须等于0
Dialogue: 0,0:01:55.79,0:01:58.79,Default,,0000,0000,0000,,然后这个矩阵 或者矩阵的这个差值
Dialogue: 0,0:01:58.81,0:02:00.82,Default,,0000,0000,0000,,这个保持行列式不变
Dialogue: 0,0:02:00.84,0:02:02.32,Default,,0000,0000,0000,,这是行列式
Dialogue: 0,0:02:02.33,0:02:05.43,Default,,0000,0000,0000,,第一项是λ-1
Dialogue: 0,0:02:05.45,0:02:11.14,Default,,0000,0000,0000,,第二项是0-2 就是-2
Dialogue: 0,0:02:11.15,0:02:15.22,Default,,0000,0000,0000,,第三项是0-4 就是-4
Dialogue: 0,0:02:15.24,0:02:18.87,Default,,0000,0000,0000,,第四项是λ-3
Dialogue: 0,0:02:18.88,0:02:22.82,Default,,0000,0000,0000,,就像这样
Dialogue: 0,0:02:22.84,0:02:25.49,Default,,0000,0000,0000,,有点缺陷就是看不清发生了什么
Dialogue: 0,0:02:25.50,0:02:27.71,Default,,0000,0000,0000,,沿着对角线的项
Dialogue: 0,0:02:27.72,0:02:30.72,Default,,0000,0000,0000,,所有的都变成负数 对吧？
Dialogue: 0,0:02:30.73,0:02:32.01,Default,,0000,0000,0000,,我们对整体取负
Dialogue: 0,0:02:32.01,0:02:33.49,Default,,0000,0000,0000,,然后沿着对角线的项
Dialogue: 0,0:02:33.50,0:02:34.70,Default,,0000,0000,0000,,我们在前面有个λ
Dialogue: 0,0:02:34.71,0:02:36.07,Default,,0000,0000,0000,,它在本质上是
Dialogue: 0,0:02:36.09,0:02:38.77,Default,,0000,0000,0000,,这个表达式的副产品
Dialogue: 0,0:02:38.79,0:02:41.32,Default,,0000,0000,0000,,那么这个2×2矩阵的行列式是多少
Dialogue: 0,0:02:41.34,0:02:45.51,Default,,0000,0000,0000,,这个行列式就是这个乘以那个
Dialogue: 0,0:02:45.52,0:02:47.48,Default,,0000,0000,0000,,减去这个乘以那个
Dialogue: 0,0:02:47.50,0:02:54.12,Default,,0000,0000,0000,,所以它是λ-1 乘以λ-3
Dialogue: 0,0:02:54.14,0:03:00.41,Default,,0000,0000,0000,,减去那两项乘在一起
Dialogue: 0,0:03:00.42,0:03:04.36,Default,,0000,0000,0000,,所以减去-2乘以-4是+8 减去8
Dialogue: 0,0:03:04.37,0:03:08.03,Default,,0000,0000,0000,,这是这个矩阵的行列式
Dialogue: 0,0:03:08.04,0:03:09.35,Default,,0000,0000,0000,,或者这个矩阵的行列式
Dialogue: 0,0:03:09.37,0:03:12.52,Default,,0000,0000,0000,,是被简化成这样的
Dialogue: 0,0:03:12.53,0:03:17.59,Default,,0000,0000,0000,,这个必须等于0
Dialogue: 0,0:03:17.61,0:03:19.97,Default,,0000,0000,0000,,为什么必须等于0的全部的原因就是
Dialogue: 0,0:03:19.98,0:03:21.66,Default,,0000,0000,0000,,因为我们见过更简单点的
Dialogue: 0,0:03:21.67,0:03:24.82,Default,,0000,0000,0000,,这个矩阵有一个非平凡的零空间
Dialogue: 0,0:03:24.83,0:03:27.54,Default,,0000,0000,0000,,因为它有一个非平凡的零空间
Dialogue: 0,0:03:27.56,0:03:29.38,Default,,0000,0000,0000,,它就不可能可逆
Dialogue: 0,0:03:29.39,0:03:31.00,Default,,0000,0000,0000,,它的行列式必须等于0
Dialogue: 0,0:03:31.02,0:03:32.44,Default,,0000,0000,0000,,现在我们有
Dialogue: 0,0:03:32.45,0:03:34.20,Default,,0000,0000,0000,,一个很有意思的多项式方程等式
Dialogue: 0,0:03:34.21,0:03:35.52,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把它乘出来
Dialogue: 0,0:03:35.53,0:03:37.26,Default,,0000,0000,0000,,我们得到什么？
Dialogue: 0,0:03:37.27,0:03:38.39,Default,,0000,0000,0000,,我们把它乘出来
Dialogue: 0,0:03:38.40,0:03:43.20,Default,,0000,0000,0000,,我们得到λ2-3λ
Dialogue: 0,0:03:43.21,0:03:50.49,Default,,0000,0000,0000,,-λ+3-8等于0
Dialogue: 0,0:03:50.50,0:03:57.12,Default,,0000,0000,0000,,或者λ2-4λ
Dialogue: 0,0:03:57.12,0:04:04.22,Default,,0000,0000,0000,,减去 等于0
Dialogue: 0,0:04:04.22,0:04:10.90,Default,,0000,0000,0000,,如果你想知道一些术语
Dialogue: 0,0:04:10.92,0:04:12.77,Default,,0000,0000,0000,,这个表达式被称作
Dialogue: 0,0:04:12.78,0:04:14.26,Default,,0000,0000,0000,,特征多项式
Dialogue: 0,0:04:14.28,0:04:21.03,Default,,0000,0000,0000,,就是一个术语 多项式
Dialogue: 0,0:04:21.05,0:04:24.65,Default,,0000,0000,0000,,但是如果我们想计算A的特征值
Dialogue: 0,0:04:24.66,0:04:26.33,Default,,0000,0000,0000,,我们就不得不解这个
Dialogue: 0,0:04:26.35,0:04:28.22,Default,,0000,0000,0000,,这就是一个基本的二次方程问题
Dialogue: 0,0:04:28.23,0:04:30.85,Default,,0000,0000,0000,,这个实际上是可分解因子的 我们看
Dialogue: 0,0:04:30.87,0:04:32.31,Default,,0000,0000,0000,,两个数 你计算乘积是-5
Dialogue: 0,0:04:32.33,0:04:34.42,Default,,0000,0000,0000,,你加上它们就得到-4
Dialogue: 0,0:04:34.43,0:04:36.61,Default,,0000,0000,0000,,它是减5和加1 所以你得到λ-5
Dialogue: 0,0:04:36.62,0:04:42.87,Default,,0000,0000,0000,,乘以λ+1 等于0 对吧？
Dialogue: 0,0:04:42.89,0:04:47.44,Default,,0000,0000,0000,,-5乘以1是-5 然后-5λ
Dialogue: 0,0:04:47.46,0:04:50.59,Default,,0000,0000,0000,,加1λ等于-4λ
Dialogue: 0,0:04:50.60,0:04:52.81,Default,,0000,0000,0000,,这个特征方程的两个解
Dialogue: 0,0:04:52.83,0:04:55.40,Default,,0000,0000,0000,,我们的特征多项式被设成0
Dialogue: 0,0:04:55.42,0:05:01.70,Default,,0000,0000,0000,,就是λ=5 或者λ=-1
Dialogue: 0,0:05:01.73,0:05:03.46,Default,,0000,0000,0000,,就像这样
Dialogue: 0,0:05:03.48,0:05:05.95,Default,,0000,0000,0000,,利用我们应经证明过的内容
Dialogue: 0,0:05:05.97,0:05:07.16,Default,,0000,0000,0000,,在上次视频中
Dialogue: 0,0:05:07.18,0:05:08.37,Default,,0000,0000,0000,,我们就能计算出
Dialogue: 0,0:05:08.38,0:05:13.30,Default,,0000,0000,0000,,A的两个特征值就是λ=5
Dialogue: 0,0:05:13.33,0:05:17.11,Default,,0000,0000,0000,,和λ=-1
Dialogue: 0,0:05:17.12,0:05:19.59,Default,,0000,0000,0000,,现在我们解决了问题的一部分 对吧？
Dialogue: 0,0:05:19.60,0:05:23.58,Default,,0000,0000,0000,,我们知道我们在寻找特征值和特征向量
Dialogue: 0,0:05:23.59,0:05:25.15,Default,,0000,0000,0000,,对吧？
Dialogue: 0,0:05:25.16,0:05:27.76,Default,,0000,0000,0000,,我们知道这个等式可以被满足
Dialogue: 0,0:05:27.79,0:05:30.35,Default,,0000,0000,0000,,当λ=5或-1时
Dialogue: 0,0:05:30.36,0:05:32.09,Default,,0000,0000,0000,,所以我们知道这个特征值
Dialogue: 0,0:05:32.10,0:05:35.68,Default,,0000,0000,0000,,但是我们还没有确定特征向量
Dialogue: 0,0:05:35.70,0:05:38.58,Default,,0000,0000,0000,,那就是我们下次视频将要做的