1
00:00:00,000 --> 00:00:02,190
上次视频我们我们能够

2
00:00:02,200 --> 00:00:03,960
说明任意的λ

3
00:00:03,960 --> 00:00:08,610
满足这个等式对于非零向量 v

4
00:00:08,610 --> 00:00:12,010
那么行列式λ乘以

5
00:00:12,030 --> 00:00:15,620
单位矩阵减A 必须等于0

6
00:00:15,630 --> 00:00:23,080
或者我们可以把这个重新写成比如λ是

7
00:00:23,100 --> 00:00:28,350
A的一个特征值当且仅当

8
00:00:28,370 --> 00:00:29,810
我把它写成如果

9
00:00:29,830 --> 00:00:34,710
行列式λ乘以

10
00:00:34,730 --> 00:00:36,570
单位矩阵减去A

11
00:00:36,580 --> 00:00:39,520
等于0

12
00:00:39,550 --> 00:00:41,680
现在 我们来看看是否我们可以利用这个

13
00:00:41,710 --> 00:00:44,960
以任意一种具体的方式去解出特征值

14
00:00:44,980 --> 00:00:48,580
我们先来做简单的2×2的 我们做一个R2的

15
00:00:48,590 --> 00:00:57,870
比方说A等于矩阵[1,2；3,4]

16
00:00:57,900 --> 00:01:01,510
我想计算A的特征值

17
00:01:01,520 --> 00:01:10,570
所以如果λ是A的一个特征值

18
00:01:10,580 --> 00:01:12,480
那么这个告诉我们

19
00:01:12,490 --> 00:01:16,920
λ乘以单位矩阵的行列式

20
00:01:16,940 --> 00:01:19,830
它是R2中的单位矩阵

21
00:01:19,850 --> 00:01:27,900
λ乘以[1,0；0,1] 减去A [1,2；4,3]

22
00:01:27,910 --> 00:01:30,150
等于0

23
00:01:30,160 --> 00:01:31,740
那这等于什么？

24
00:01:31,750 --> 00:01:34,290
这个是行列式

25
00:01:34,300 --> 00:01:38,040
λ乘以这个就是

26
00:01:38,060 --> 00:01:40,290
λ乘以所有这些项

27
00:01:40,310 --> 00:01:43,470
它是λ乘以1是λ λ乘以0是0

28
00:01:43,480 --> 00:01:47,000
λ乘以0是0 λ乘以1是λ

29
00:01:47,010 --> 00:01:49,290
这我们减去A

30
00:01:49,300 --> 00:01:55,780
你就得到[1,2；4,3] 这个必须等于0

31
00:01:55,790 --> 00:01:58,790
然后这个矩阵 或者矩阵的这个差值

32
00:01:58,810 --> 00:02:00,820
这个保持行列式不变

33
00:02:00,840 --> 00:02:02,320
这是行列式

34
00:02:02,330 --> 00:02:05,430
第一项是λ-1

35
00:02:05,450 --> 00:02:11,140
第二项是0-2 就是-2

36
00:02:11,150 --> 00:02:15,220
第三项是0-4 就是-4

37
00:02:15,240 --> 00:02:18,870
第四项是λ-3

38
00:02:18,880 --> 00:02:22,820
就像这样

39
00:02:22,840 --> 00:02:25,490
有点缺陷就是看不清发生了什么

40
00:02:25,500 --> 00:02:27,710
沿着对角线的项

41
00:02:27,720 --> 00:02:30,720
所有的都变成负数 对吧？

42
00:02:30,730 --> 00:02:32,010
我们对整体取负

43
00:02:32,010 --> 00:02:33,490
然后沿着对角线的项

44
00:02:33,500 --> 00:02:34,700
我们在前面有个λ

45
00:02:34,710 --> 00:02:36,070
它在本质上是

46
00:02:36,090 --> 00:02:38,770
这个表达式的副产品

47
00:02:38,790 --> 00:02:41,320
那么这个2×2矩阵的行列式是多少

48
00:02:41,340 --> 00:02:45,510
这个行列式就是这个乘以那个

49
00:02:45,520 --> 00:02:47,480
减去这个乘以那个

50
00:02:47,500 --> 00:02:54,120
所以它是λ-1 乘以λ-3

51
00:02:54,140 --> 00:03:00,410
减去那两项乘在一起

52
00:03:00,420 --> 00:03:04,360
所以减去-2乘以-4是+8 减去8

53
00:03:04,370 --> 00:03:08,030
这是这个矩阵的行列式

54
00:03:08,040 --> 00:03:09,350
或者这个矩阵的行列式

55
00:03:09,370 --> 00:03:12,520
是被简化成这样的

56
00:03:12,530 --> 00:03:17,590
这个必须等于0

57
00:03:17,610 --> 00:03:19,970
为什么必须等于0的全部的原因就是

58
00:03:19,980 --> 00:03:21,660
因为我们见过更简单点的

59
00:03:21,670 --> 00:03:24,820
这个矩阵有一个非平凡的零空间

60
00:03:24,830 --> 00:03:27,540
因为它有一个非平凡的零空间

61
00:03:27,560 --> 00:03:29,380
它就不可能可逆

62
00:03:29,390 --> 00:03:31,000
它的行列式必须等于0

63
00:03:31,020 --> 00:03:32,440
现在我们有

64
00:03:32,450 --> 00:03:34,200
一个很有意思的多项式方程等式

65
00:03:34,210 --> 00:03:35,520
我们可以把它乘出来

66
00:03:35,530 --> 00:03:37,260
我们得到什么？

67
00:03:37,270 --> 00:03:38,390
我们把它乘出来

68
00:03:38,400 --> 00:03:43,200
我们得到λ2-3λ

69
00:03:43,210 --> 00:03:50,490
-λ+3-8等于0

70
00:03:50,500 --> 00:03:57,120
或者λ2-4λ

71
00:03:57,120 --> 00:04:04,220
减去 等于0

72
00:04:04,220 --> 00:04:10,900
如果你想知道一些术语

73
00:04:10,920 --> 00:04:12,770
这个表达式被称作

74
00:04:12,780 --> 00:04:14,260
特征多项式

75
00:04:14,280 --> 00:04:21,030
就是一个术语 多项式

76
00:04:21,050 --> 00:04:24,650
但是如果我们想计算A的特征值

77
00:04:24,660 --> 00:04:26,330
我们就不得不解这个

78
00:04:26,350 --> 00:04:28,220
这就是一个基本的二次方程问题

79
00:04:28,230 --> 00:04:30,850
这个实际上是可分解因子的 我们看

80
00:04:30,870 --> 00:04:32,310
两个数 你计算乘积是-5

81
00:04:32,330 --> 00:04:34,420
你加上它们就得到-4

82
00:04:34,430 --> 00:04:36,610
它是减5和加1 所以你得到λ-5

83
00:04:36,620 --> 00:04:42,870
乘以λ+1 等于0 对吧？

84
00:04:42,890 --> 00:04:47,440
-5乘以1是-5 然后-5λ

85
00:04:47,460 --> 00:04:50,590
加1λ等于-4λ

86
00:04:50,600 --> 00:04:52,810
这个特征方程的两个解

87
00:04:52,830 --> 00:04:55,400
我们的特征多项式被设成0

88
00:04:55,420 --> 00:05:01,700
就是λ=5 或者λ=-1

89
00:05:01,730 --> 00:05:03,460
就像这样

90
00:05:03,480 --> 00:05:05,950
利用我们应经证明过的内容

91
00:05:05,970 --> 00:05:07,160
在上次视频中

92
00:05:07,180 --> 00:05:08,370
我们就能计算出

93
00:05:08,380 --> 00:05:13,300
A的两个特征值就是λ=5

94
00:05:13,330 --> 00:05:17,110
和λ=-1

95
00:05:17,120 --> 00:05:19,590
现在我们解决了问题的一部分 对吧？

96
00:05:19,600 --> 00:05:23,580
我们知道我们在寻找特征值和特征向量

97
00:05:23,590 --> 00:05:25,150
对吧？

98
00:05:25,160 --> 00:05:27,760
我们知道这个等式可以被满足

99
00:05:27,790 --> 00:05:30,350
当λ=5或-1时

100
00:05:30,360 --> 00:05:32,090
所以我们知道这个特征值

101
00:05:32,100 --> 00:05:35,680
但是我们还没有确定特征向量

102
00:05:35,700 --> 00:05:38,580
那就是我们下次视频将要做的