Разлагане на алгебрични изрази от втора степен

Няколко полезни примера, в които се използват формули на Виет за разлагане на квадратен тричлен на множители.

В това видео искам да направя
няколко разлагания на множители

на многочлен от втора степен,
който често се нарича

квадратен тричлен.

Понякога го наричат и
квадратен полином или просто

квадратен израз,
но във всички случаи това е

полином от втора степен,

тоест израз, който има променлива,
която е на втора степен.

Във всички примери тук това ще е х.

Да кажем, че имаме квадратния тричлен

х^2 + 10х + 9

и искаме да го разложим като
произведение на два двучлена.

Как ще го направим?

Да помислим какво се случва, ако имаме

(х + а) умножено по (х + b).

Какво получаваме, когато ги умножим?

Вече имаме опит в това.

х^2 + хb,

което е bx, плюс х по а, плюс а по b.

Ако искаме, можем да съберем двете по средата,

защото са някакъв коефициент по х.

Може да го запишем като
х^2 + (b + a)x + ab.

Aко допуснем, че това е произведението

на два бинома, виждаме, че
средният коефициент

или коефициентът пред
х на първа степен

е равен на сумата на a и b.

Свободният член е равен на а по b.

Забележи, 10 отговаря на а + b,

а 9 отговаря на ab.

И, разбира се, х^2 на х^2.

Можем ли да направим връзка
между двата полинома?

Има ли а и b, за които a + b е 10?

И а по b е 9?

Нека помислим.

Кои са делителите на 9?

На колко могат да са равни а и b?

Допускаме, че това са цели числа.

Обикновено при разлагане, особено

в началото, се занимаваме

с цели числа.

Кои са делителите на 9?

1, 3 и 9.

Така че a и b могат да са
двойките 3 и 3 или 1и 9.

Ако са 3 и 3, то получаваме за 3 плюс 3

6, което не е равно на 10.

Но ако са 1 и 9, 1 по 9 е 9

1 плюс 9 е 10.

Получава се,

а може да е равно на 1, a b на 9.

Можем да разложим израза
на (х + 1) по (х + 9).

Ако направим проверка и ги умножим,

ще получим квадратния тричлен,

от който започнахме.

Когато видиш нещо подобно,
когато коефициентът

пред х квадрат или старшия коефициент на

тричлена е 1, може да се запиташ кои две

числа имат сбор, равен на втория коефициент.

И същите числа трябва да имат произведение,

равно на 9.

Разбира се, когато тричленът
е в нормален вид.

Ако не е в нормален вид,
може да го представиш

в тази форма, така че
винаги може да кажеш,

че коефициентът пред
х на първа степен е сбор

на нашите а и b.

Какъвто и да е свободният член,
той е равен на а по b.

Нека решим още няколко примера.

Мисля, че колкото повече примери решим,

толкова по-ясно ще стане.

Нека имаме х^2 + 10х...

е, вече направихме пример с 10х, нека променим.

Плюс 15х, плюс 50.

И искаме да го разложим на множители.

Е, същата работа.

Имаме х на квадрат.

Имаме член от първа степен.

И стойността вдясно трябва
да е сума на две числа.

И този коефициент тук

трябва да е произведение на две числа.

Трябва да намерим две числа,
чието произведение

дава 50, а сумата им е 15.

Това е нещо като изкуство,

но колкото повече се практикува, толкова

по-естествено се получава.

Какви стойности могат да имат а и b?

Да видим делителите на 50.

Може да са 1 и 50,

2 и 25,

4 не дели 50,

Може да са 5 и 10,

Мисля, че това са всички,

Да видим кои от тези числа

имат сбор 15,

1 и 50 - не,

2 и 25 - също не.

Но 5 плюс 10 е 15,

Така че имаме 5 плюс 10 и 5 по 10.

Като разложим израза,
получаваме

(х + 5) по (х + 10).

Да направим проверка.

Съветвам те да разкриеш скобите,
за да видиш,

че наистина се получава
х^2 + 15х + 50.

Нека го направим.
х по х е х^2.

х по 10 е 10х,

5 по х е 5х,

5 по 10 е 50.

Забележи, 5 пъти по 10 е 50.

5х + 10х е 15х в средата.

Получихме х^2 + 15х + 50.

Нека вдигнем залога малко, като добавим

отрицателни членове.

Имаме х^2 – 11х + 24.

Работим по същия принцип.

Трябва да се сетя за 2 числа,
които като събера

трябва да дават –11.

а + b да е равно на –11.

И а по b да прави 24.

Помисли над това.

Когато умножим двете числа, получаваме

положително число.

Получаваме 24.

Това означава, че и двете числа
трябва да са положителни или

и двете да са отрицателни.

Това е единственият начин
да получим положително число.

Като ги съберем, получаваме
отрицателно число,

но ако и двете са положителни,
няма как да

получим отрицателно.
Фактът, че сумата им е

отрицателна и произведението
положително,

означава, че а и b са
отрицателни числа.

а и b трябва да са отрицателни.

Запомни, няма как едното
да е отрицателно,

а другото да е положително, защото
произведението им ще е отрицателно.

Няма как и двете да са положителни,
защото

сборът им е отрицателен.

Нека помислим какви
могат да са а и b.

Две отрицателни числа.

Да видим делителите на 24.

При това отрицателните делители.

Може да са 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8

или 4 и 6.

Произведението на кои от тези...

1 по 24 е 24,

2 по 12 дава 24.

Знаем, че произведенията на всички са 24.

Но сборът на кои от тях е равен на 11?

И след това да вземем

отрицателните им стойности.

На вниманието ни попадат 3 и 8.

3 по 8 е 24.

3 плюс 8 е 11.

Но това не е съвсем добре, нали?

Защото имаме –11.

А ако вземем –3 и –8?

–3 по –8 дава 24,

а –3 плюс –8 дава –11.

Така че се получава с –3 и –8.

Разлагаме x^2 – 11х + 24

и получаваме (х – 3) по (х – 8).

Нека решим още едно, подобно на това.

Всъщност, нека сменим знаците отново.

Имаме х^2 + 5х – 14.

Това е различна ситуация.

Произведението е отрицателно.

а по b е равно на –14.

Произведението е отрицателно.

Това означава, че едното число е
положително, а другото

е отрицателно.

И сборът им е 5.

Да разгледаме делителите на 14.

И при какви техни комбинации сборът,

ако едното е положително,
а другото отрицателно,

или всъщност разликата им ще е 5?

С 1 и 14, нека опитаме,

–1 плюс 14 дава 13,
1 плюс – 14 е –13.

Нека запишем всички
възможни комбинации

и отговорът ще се появи.

–1 плюс 14 дава 13.

1 плюс –14 дава –13.

Не се получава.

Нямаме равно на 5.

Ами с 2 и 7?

Като вземем минус 2...
Нека сменя цвета.

Ако вземем минус 2 плюс 7,
получаваме 5.

Готово!

Проработи.

Можехме да опитаме 2 плюс –7,
но тогава

щяхме да получим –5,
което не ни върши работа.

Но с –2 и 7 се получи.

И –2 по 7 дава –14.

Имаме отговора.

Знаем, че е (х – 2) по (х + 7).

Това е подредено.

–2 по 7 дава –14.

–2 плюс 7 дава 5.

Да направим още няколко примера, за да

затвърдим умението.

Имаме х^2 – х – 56.

Произведението на двете числа е – 56.

А разликата им, защото едното ще е положително,

а другото отрицателно, нали?

Разликата им е –1.

Веднага се досещам за числата,

не знам дали и ти,

но знаем това
от таблицата за умножение.

56 е 8 по 7.

Разбира се, има и други опции.

28 по 2.

Има и още.

Но първо се сещам за 8 и 7, защото

числата са близки.

А такива ни трябват.

И едното трябва да е положително, другото

отрицателно.

Фактът, че сборът им е отрицателен, значи,

че по-голямото ще е отрицателно число.

Ако вземем –8 по 7, получаваме –56.

А –8 плюс 7 дава –1,

което е точно търсеният коефициент.

Като го разложим, получаваме
(х – 8) по (х + 7).

Това е една от най-трудните концепции

в алгебрата, защото има малко магия.

Трябва да се разгледат всички опции, да

се проверят знаците,
за да стане ясно кога едното

число е положително, кога
е отрицателно, а сборът

им да е коефициентът пред х.

Колкото повече практикуваш, ще видиш,

че това се превръща в нещо естествено.

Нека отново качим залозите.

Имаме –х^2 – всички примери

досега бяха с положителен коефициент
1 пред х квадрат.

Сега нека имаме –х^2 – 5х + 24.

Как ще го решим?

Най-лесният начин е
да извадим пред скоби

–1 и да имаме задача като тези,

които вече решихме.

Това е същото като минус едно по плюс

–1 по (х^2 + 5х – 24).

Нали така?

Просто извадих –1 пред скоби.

Може да умножиш по –1 и

ще видиш, че е същото.

Или да разделиш израза на –1.

И се получава същият резултат.

Сега същият подход както досега.

Трябват ми две числа, чието произведение

е минус 24.

Едното положително, другото отрицателно

А сумата им е равна на 5.

Нека това са 1 и 24.

Ако имаме –1 и 24, сумата е 23.

Ако е обратното, –23.

Не се получава.

Ако опитаме с 2 и 12?

Ако имаме отрицателно –
запомни, едното число трябва да е

отрицателно.

Ако 2 е отрицателно, сумата им е 10.

Ако 12 е отрицателно, то имаме –10.

Отново не се получава.

3 и 8.

Ако 3 е отрицателно, сумата им е 5.

Проработи!

Ако вземем –3 и 8, получаваме
разлагането.

Защото –3 плюс 8 е 5.

–3 по 8 е –24.

Това ще е равно на...
а и нека не забравяме

–1 отпред, засега разлагаме
вътрешността.

–1 по ( (х –3) (х + 8) ).

Можем да умножим

минус едно по това и да получим 3 –х.

Но няма нужда от това.

Един последен пример.

Колкото повече практика, толкова по-добре.

Имаме –х^2 + 18х –72.

Още веднъж ще извадим –1 пред скоби.

Получаваме –1 по

х^2 – 18х + 72.

Отново трябва да намерим две числа, чието

произведение е 72.

Тоест са с еднакъв знак.

Това прави нещата по-лесни, поне за мен.

Като ги умножим, получаваме 72.

Като ги съберем, получаваме –18.

Те са с еднакъв знак и
сборът им е отрицателен.

И двете трябва да са
отрицателни числа.

Разглеждаме всички
делители на 72.

Нормално да се сетим за 8 и 9,

но 8 по 9 или –8 и –9, или –8 плюс –9

не са търсените числа.

Получаваме 17.

Близо сме.

Нека ти покажа.

–9 плюс –8 е равно на –17.

Близо, но не е решение.

Какви други опции имаме?

6 и 12.

Това изглежда добре.

–6 плюс –12 прави –18.

Забелязваш ли, има малко магия.

Трябва да се пробва с различни делители.

Това прави –1, не забравяй числото

пред скобите, по (х – 6) по (х – 12).