0:00:00.360,0:00:03.870
В това видео искам да направя [br]няколко разлагания на множители

0:00:03.870,0:00:06.590
на многочлен от втора степен, [br]който често се нарича

0:00:06.590,0:00:08.870
квадратен тричлен.

0:00:08.870,0:00:12.650
Понякога го наричат и[br]квадратен полином или просто

0:00:12.650,0:00:15.850
квадратен израз, [br]но във всички случаи това е

0:00:15.850,0:00:18.300
полином от втора степен,

0:00:18.300,0:00:22.440
тоест израз, който има променлива,[br]която е на втора степен.

0:00:23.080,0:00:26.460
Във всички примери тук това ще е х.

0:00:26.460,0:00:30.740
Да кажем, че имаме квадратния тричлен

0:00:30.740,0:00:35.280
х^2 + 10х + 9

0:00:35.280,0:00:39.870
и искаме да го разложим като[br]произведение на два двучлена.

0:00:39.870,0:00:41.520
Как ще го направим?

0:00:41.520,0:00:44.440
Да помислим какво се случва, ако имаме

0:00:44.440,0:00:51.690
(х + а) умножено по (х + b).

0:00:51.690,0:00:55.050
Какво получаваме, когато ги умножим?

0:00:55.050,0:00:57.090
Вече имаме опит в това.

0:00:57.090,0:01:03.170
х^2 + хb,

0:01:03.170,0:01:12.690
което е bx, плюс х по а, плюс а по b.

0:01:12.690,0:01:15.800
Ако искаме, можем да съберем двете по средата,

0:01:15.800,0:01:18.890
защото са някакъв коефициент по х.

0:01:18.890,0:01:29.452
Може да го запишем като[br]х^2 + (b + a)x + ab.

0:01:29.700,0:01:34.390
Aко допуснем, че това е произведението

0:01:34.390,0:01:40.765
на два бинома, виждаме, че[br]средният коефициент

0:01:40.765,0:01:43.250
или коефициентът пред [br]х на първа степен

0:01:43.250,0:01:48.675
е равен на сумата на a и b.

0:01:48.675,0:01:52.490
Свободният член е равен на а по b.

0:01:52.520,0:01:57.290
Забележи, 10 отговаря на а + b,

0:01:57.290,0:01:58.790
а 9 отговаря на ab.

0:01:58.790,0:02:02.600
И, разбира се, х^2 на х^2.

0:02:02.600,0:02:05.590
Можем ли да направим връзка[br]между двата полинома?

0:02:05.590,0:02:14.060
Има ли а и b, за които a + b е 10?

0:02:14.060,0:02:22.070
И а по b е 9?

0:02:22.070,0:02:23.850
Нека помислим.

0:02:23.850,0:02:25.470
Кои са делителите на 9?

0:02:25.470,0:02:27.770
На колко могат да са равни а и b?

0:02:27.770,0:02:29.170
Допускаме, че това са цели числа.

0:02:29.170,0:02:32.350
Обикновено при разлагане, особено

0:02:32.350,0:02:33.950
в началото, се занимаваме

0:02:33.950,0:02:35.580
с цели числа.

0:02:35.580,0:02:37.080
Кои са делителите на 9?

0:02:37.080,0:02:40.730
1, 3 и 9.

0:02:40.730,0:02:45.000
Така че a и b могат да са [br]двойките 3 и 3 или 1и 9.

0:02:45.000,0:02:48.630
Ако са 3 и 3, то получаваме за 3 плюс 3

0:02:48.630,0:02:49.840
6, което не е равно на 10.

0:02:49.840,0:02:53.760
Но ако са 1 и 9, 1 по 9 е 9

0:02:53.760,0:02:56.670
1 плюс 9 е 10.

0:02:56.670,0:02:57.570
Получава се,

0:02:57.570,0:03:04.190
а може да е равно на 1, a b на 9.

0:03:04.190,0:03:12.950
Можем да разложим израза [br]на (х + 1) по (х + 9).

0:03:12.970,0:03:15.850
Ако направим проверка и ги умножим,

0:03:15.850,0:03:18.970
ще получим квадратния тричлен,

0:03:18.970,0:03:22.880
от който започнахме.

0:03:22.880,0:03:25.150
Когато видиш нещо подобно, [br]когато коефициентът

0:03:25.150,0:03:28.070
пред х квадрат или старшия коефициент на

0:03:28.070,0:03:31.650
тричлена е 1, може да се запиташ кои две

0:03:31.650,0:03:37.652
числа имат сбор, равен на втория коефициент.

0:03:37.720,0:03:39.870
И същите числа трябва да имат произведение,

0:03:39.870,0:03:41.660
равно на 9.

0:03:41.660,0:03:43.510
Разбира се, когато тричленът [br]е в нормален вид.

0:03:43.510,0:03:46.000
Ако не е в нормален вид,[br]може да го представиш

0:03:46.000,0:03:48.500
в тази форма, така че [br]винаги може да кажеш,

0:03:48.500,0:03:51.042
че коефициентът пред [br]х на първа степен е сбор

0:03:51.042,0:03:52.300
на нашите а и b.

0:03:52.300,0:03:56.413
Какъвто и да е свободният член,[br]той е равен на а по b.

0:03:56.413,0:03:58.150
Нека решим още няколко примера.

0:03:58.150,0:04:00.510
Мисля, че колкото повече примери решим,

0:04:00.510,0:04:02.630
толкова по-ясно ще стане.

0:04:02.630,0:04:08.700
Нека имаме х^2 + 10х...

0:04:08.700,0:04:11.100
е, вече направихме пример с 10х, нека променим.

0:04:11.100,0:04:15.366
Плюс 15х, плюс 50.

0:04:15.366,0:04:17.470
И искаме да го разложим на множители.

0:04:17.470,0:04:20.339
Е, същата работа.

0:04:20.339,0:04:22.600
Имаме х на квадрат.

0:04:22.600,0:04:25.130
Имаме член от първа степен.

0:04:25.130,0:04:27.960
И стойността вдясно трябва [br]да е сума на две числа.

0:04:27.960,0:04:30.620
И този коефициент тук

0:04:30.620,0:04:32.870
трябва да е произведение на две числа.

0:04:32.870,0:04:35.640
Трябва да намерим две числа, [br]чието произведение

0:04:35.640,0:04:39.220
дава 50, а сумата им е 15.

0:04:39.220,0:04:41.910
Това е нещо като изкуство,

0:04:41.910,0:04:44.530
но колкото повече се практикува, толкова

0:04:44.530,0:04:45.730
по-естествено се получава.

0:04:45.730,0:04:47.330
Какви стойности могат да имат а и b?

0:04:47.330,0:04:48.975
Да видим делителите на 50.

0:04:48.975,0:04:52.230
Може да са 1 и 50,

0:04:52.230,0:04:55.072
2 и 25,

0:04:55.072,0:04:57.520
4 не дели 50,

0:04:57.520,0:05:02.450
Може да са 5 и 10,

0:05:02.450,0:05:03.580
Мисля, че това са всички,

0:05:03.580,0:05:05.920
Да видим кои от тези числа

0:05:05.920,0:05:07.310
имат сбор 15,

0:05:07.310,0:05:12.630
1 и 50 - не,

0:05:12.630,0:05:16.160
2 и 25 - също не.

0:05:16.160,0:05:19.260
Но 5 плюс 10 е 15,

0:05:19.260,0:05:24.280
Така че имаме 5 плюс 10 и 5 по 10.

0:05:24.280,0:05:28.760
Като разложим израза,[br]получаваме

0:05:28.760,0:05:32.630
(х + 5) по (х + 10).

0:05:32.630,0:05:33.840
Да направим проверка.

0:05:33.840,0:05:36.710
Съветвам те да разкриеш скобите, [br]за да видиш,

0:05:36.710,0:05:39.660
че наистина се получава [br]х^2 + 15х + 50.

0:05:39.660,0:05:43.320
Нека го направим. [br]х по х е х^2.

0:05:43.320,0:05:45.800
х по 10 е 10х,

0:05:45.800,0:05:48.600
5 по х е 5х,

0:05:48.600,0:05:51.620
5 по 10 е 50.

0:05:51.620,0:05:55.220
Забележи, 5 пъти по 10 е 50.

0:05:55.220,0:06:00.890
5х + 10х е 15х в средата.

0:06:00.890,0:06:06.560
Получихме х^2 + 15х + 50.

0:06:06.560,0:06:09.440
Нека вдигнем залога малко, като добавим

0:06:09.440,0:06:11.040
отрицателни членове.

0:06:11.040,0:06:18.890
Имаме х^2 – 11х + 24.

0:06:18.890,0:06:21.610
Работим по същия принцип.

0:06:21.610,0:06:24.580
Трябва да се сетя за 2 числа, [br]които като събера

0:06:24.580,0:06:26.570
трябва да дават –11.

0:06:26.570,0:06:30.150
а + b да е равно на –11.

0:06:30.150,0:06:37.900
И а по b да прави 24.

0:06:37.900,0:06:41.290
Помисли над това.

0:06:41.290,0:06:43.960
Когато умножим двете числа, получаваме

0:06:43.960,0:06:45.080
положително число.

0:06:45.080,0:06:46.960
Получаваме 24.

0:06:46.960,0:06:50.260
Това означава, че и двете числа [br]трябва да са положителни или

0:06:50.260,0:06:51.380
и двете да са отрицателни.

0:06:51.380,0:06:55.050
Това е единственият начин [br]да получим положително число.

0:06:55.050,0:06:58.290
Като ги съберем, получаваме[br]отрицателно число,

0:06:58.290,0:07:00.720
но ако и двете са положителни, [br]няма как да

0:07:00.720,0:07:03.280
получим отрицателно.[br]Фактът, че сумата им е

0:07:03.280,0:07:05.750
отрицателна и произведението[br]положително,

0:07:05.750,0:07:10.420
означава, че а и b са [br]отрицателни числа.

0:07:10.420,0:07:13.200
а и b трябва да са отрицателни.

0:07:13.200,0:07:15.730
Запомни, няма как едното[br]да е отрицателно,

0:07:15.730,0:07:18.710
а другото да е положително, защото [br]произведението им ще е отрицателно.

0:07:18.710,0:07:22.687
Няма как и двете да са положителни, [br]защото

0:07:22.687,0:07:24.520
сборът им е отрицателен.

0:07:24.520,0:07:27.500
Нека помислим какви [br]могат да са а и b.

0:07:27.500,0:07:28.990
Две отрицателни числа.

0:07:28.990,0:07:31.260
Да видим делителите на 24.

0:07:31.260,0:07:33.140
При това отрицателните делители.

0:07:33.140,0:07:44.670
Може да са 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8

0:07:44.670,0:07:48.070
или 4 и 6.

0:07:48.070,0:07:51.220
Произведението на кои от тези...

0:07:51.220,0:07:57.540
1 по 24 е 24,

0:07:57.540,0:07:59.790
2 по 12 дава 24.

0:07:59.790,0:08:03.090
Знаем, че произведенията на всички са 24.

0:08:03.090,0:08:08.770
Но сборът на кои от тях е равен на 11?

0:08:08.790,0:08:09.880
И след това да вземем

0:08:09.880,0:08:11.450
отрицателните им стойности.

0:08:11.450,0:08:15.470
На вниманието ни попадат 3 и 8.

0:08:15.470,0:08:19.150
3 по 8 е 24.

0:08:19.150,0:08:22.810
3 плюс 8 е 11.

0:08:22.810,0:08:24.680
Но това не е съвсем добре, нали?

0:08:24.680,0:08:26.510
Защото имаме –11.

0:08:26.510,0:08:29.690
А ако вземем –3 и –8?

0:08:29.690,0:08:35.479
–3 по –8 дава 24,

0:08:35.479,0:08:43.580
а –3 плюс –8 дава –11.

0:08:43.580,0:08:46.600
Така че се получава с –3 и –8.

0:08:46.600,0:08:53.840
Разлагаме x^2 – 11х + 24

0:08:53.840,0:09:02.940
и получаваме (х – 3) по (х – 8).

0:09:02.940,0:09:06.270
Нека решим още едно, подобно на това.

0:09:06.270,0:09:08.330
Всъщност, нека сменим знаците отново.

0:09:08.330,0:09:19.810
Имаме х^2 + 5х – 14.

0:09:19.810,0:09:21.770
Това е различна ситуация.

0:09:21.770,0:09:25.240
Произведението е отрицателно.

0:09:25.240,0:09:28.190
а по b е равно на –14.

0:09:28.190,0:09:29.920
Произведението е отрицателно.

0:09:29.920,0:09:32.930
Това означава, че едното число е[br]положително, а другото

0:09:32.930,0:09:33.910
е отрицателно.

0:09:33.910,0:09:39.200
И сборът им е 5.

0:09:39.200,0:09:41.360
Да разгледаме делителите на 14.

0:09:41.360,0:09:44.300
И при какви техни комбинации сборът,

0:09:44.300,0:09:46.560
ако едното е положително, [br]а другото отрицателно,

0:09:46.560,0:09:49.780
или всъщност разликата им ще е 5?

0:09:49.780,0:09:53.450
С 1 и 14, нека опитаме,

0:09:53.450,0:10:04.240
–1 плюс 14 дава 13,[br]1 плюс – 14 е –13.

0:10:04.260,0:10:07.430
Нека запишем всички [br]възможни комбинации

0:10:07.430,0:10:09.440
и отговорът ще се появи.

0:10:09.440,0:10:16.490
–1 плюс 14 дава 13.

0:10:16.490,0:10:20.460
1 плюс –14 дава –13.

0:10:20.460,0:10:21.380
Не се получава.

0:10:21.380,0:10:22.950
Нямаме равно на 5.

0:10:22.950,0:10:24.860
Ами с 2 и 7?

0:10:24.860,0:10:29.600
Като вземем минус 2...[br]Нека сменя цвета.

0:10:29.600,0:10:35.290
Ако вземем минус 2 плюс 7, [br]получаваме 5.

0:10:35.290,0:10:35.750
Готово!

0:10:35.750,0:10:36.670
Проработи.

0:10:36.670,0:10:39.440
Можехме да опитаме 2 плюс –7, [br]но тогава

0:10:39.440,0:10:41.070
щяхме да получим –5, [br]което не ни върши работа.

0:10:41.070,0:10:42.960
Но с –2 и 7 се получи.

0:10:42.960,0:10:46.590
И –2 по 7 дава –14.

0:10:46.590,0:10:47.600
Имаме отговора.

0:10:47.600,0:10:53.210
Знаем, че е (х – 2) по (х + 7).

0:10:53.210,0:10:54.330
Това е подредено.

0:10:54.330,0:10:56.950
–2 по 7 дава –14.

0:10:56.950,0:11:03.740
–2 плюс 7 дава 5.

0:11:03.760,0:11:07.680
Да направим още няколко примера, за да

0:11:07.680,0:11:09.520
затвърдим умението.

0:11:09.520,0:11:16.360
Имаме х^2 – х – 56.

0:11:16.360,0:11:21.610
Произведението на двете числа е – 56.

0:11:21.620,0:11:24.430
А разликата им, защото едното ще е положително,

0:11:24.430,0:11:26.280
а другото отрицателно, нали?

0:11:26.280,0:11:28.350
Разликата им е –1.

0:11:28.350,0:11:30.130
Веднага се досещам за числата,

0:11:30.130,0:11:31.900
не знам дали и ти,

0:11:31.900,0:11:33.740
но знаем това[br]от таблицата за умножение.

0:11:33.740,0:11:36.480
56 е 8 по 7.

0:11:36.480,0:11:37.480
Разбира се, има и други опции.

0:11:37.480,0:11:39.950
28 по 2.

0:11:39.950,0:11:41.140
Има и още.

0:11:41.140,0:11:44.300
Но първо се сещам за 8 и 7, защото

0:11:44.300,0:11:45.470
числата са близки.

0:11:45.470,0:11:47.730
А такива ни трябват.

0:11:47.730,0:11:50.430
И едното трябва да е положително, другото

0:11:50.430,0:11:51.810
отрицателно.

0:11:51.810,0:11:55.250
Фактът, че сборът им е отрицателен, значи,

0:11:55.250,0:11:58.460
че по-голямото ще е отрицателно число.

0:11:58.460,0:12:03.300
Ако вземем –8 по 7, получаваме –56.

0:12:03.320,0:12:08.470
А –8 плюс 7 дава –1,

0:12:08.470,0:12:12.100
което е точно търсеният коефициент.

0:12:12.100,0:12:18.670
Като го разложим, получаваме[br](х – 8) по (х + 7).

0:12:18.690,0:12:21.695
Това е една от най-трудните концепции

0:12:21.695,0:12:23.920
в алгебрата, защото има малко магия.

0:12:23.920,0:12:26.710
Трябва да се разгледат всички опции, да

0:12:26.710,0:12:29.710
се проверят знаците, [br]за да стане ясно кога едното

0:12:29.710,0:12:31.900
число е положително, кога [br]е отрицателно, а сборът

0:12:31.900,0:12:33.590
им да е коефициентът пред х.

0:12:33.590,0:12:35.860
Колкото повече практикуваш, ще видиш,

0:12:35.860,0:12:39.280
че това се превръща в нещо естествено.

0:12:39.280,0:12:42.350
Нека отново качим залозите.

0:12:42.350,0:12:46.140
Имаме –х^2 – всички примери

0:12:46.140,0:12:50.680
досега бяха с положителен коефициент[br]1 пред х квадрат.

0:12:50.690,0:12:59.430
Сега нека имаме –х^2 – 5х + 24.

0:12:59.440,0:13:00.910
Как ще го решим?

0:13:00.910,0:13:03.420
Най-лесният начин е [br]да извадим пред скоби

0:13:03.420,0:13:05.670
–1 и да имаме задача като тези,

0:13:05.670,0:13:07.260
които вече решихме.

0:13:07.260,0:13:11.660
Това е същото като минус едно по плюс

0:13:11.660,0:13:15.990
–1 по (х^2 + 5х – 24).

0:13:15.990,0:13:16.300
Нали така?

0:13:16.300,0:13:18.080
Просто извадих –1 пред скоби.

0:13:18.080,0:13:20.180
Може да умножиш по –1 и

0:13:20.180,0:13:21.690
ще видиш, че е същото.

0:13:21.690,0:13:24.965
Или да разделиш израза на –1.

0:13:24.965,0:13:26.760
И се получава същият резултат.

0:13:26.760,0:13:29.360
Сега същият подход както досега.

0:13:29.360,0:13:33.510
Трябват ми две числа, чието произведение

0:13:33.510,0:13:34.690
е минус 24.

0:13:34.690,0:13:41.535
Едното положително, другото отрицателно

0:13:41.550,0:13:43.770
А сумата им е равна на 5.

0:13:43.770,0:13:48.850
Нека това са 1 и 24.

0:13:48.850,0:13:55.750
Ако имаме –1 и 24, сумата е 23.

0:13:55.750,0:13:57.540
Ако е обратното, –23.

0:13:57.540,0:13:58.500
Не се получава.

0:13:58.500,0:14:01.210
Ако опитаме с 2 и 12?

0:14:01.210,0:14:04.530
Ако имаме отрицателно –[br]запомни, едното число трябва да е

0:14:04.530,0:14:05.040
отрицателно.

0:14:05.040,0:14:07.570
Ако 2 е отрицателно, сумата им е 10.

0:14:07.570,0:14:09.750
Ако 12 е отрицателно, то имаме –10.

0:14:09.750,0:14:11.300
Отново не се получава.

0:14:11.300,0:14:13.290
3 и 8.

0:14:13.290,0:14:16.850
Ако 3 е отрицателно, сумата им е 5.

0:14:16.850,0:14:17.910
Проработи!

0:14:17.910,0:14:24.620
Ако вземем –3 и 8, получаваме[br]разлагането.

0:14:24.620,0:14:26.630
Защото –3 плюс 8 е 5.

0:14:26.630,0:14:29.510
–3 по 8 е –24.

0:14:29.510,0:14:31.640
Това ще е равно на...[br]а и нека не забравяме

0:14:31.640,0:14:35.230
–1 отпред, засега разлагаме[br]вътрешността.

0:14:35.230,0:14:42.990
–1 по ( (х –3) (х + 8) ).

0:14:42.990,0:14:44.800
Можем да умножим

0:14:44.800,0:14:47.560
минус едно по това и да получим 3 –х.

0:14:47.560,0:14:49.370
Но няма нужда от това.

0:14:49.370,0:14:53.220
Един последен пример.

0:14:53.220,0:14:56.060
Колкото повече практика, толкова по-добре.

0:14:56.060,0:15:06.660
Имаме –х^2 + 18х –72.

0:15:06.690,0:15:09.320
Още веднъж ще извадим –1 пред скоби.

0:15:09.320,0:15:13.040
Получаваме –1 по

0:15:13.040,0:15:16.910
х^2 – 18х + 72.

0:15:16.910,0:15:19.650
Отново трябва да намерим две числа, чието

0:15:19.650,0:15:22.330
произведение е 72.

0:15:22.330,0:15:24.480
Тоест са с еднакъв знак.

0:15:24.480,0:15:26.930
Това прави нещата по-лесни, поне за мен.

0:15:26.930,0:15:29.260
Като ги умножим, получаваме 72.

0:15:29.260,0:15:32.040
Като ги съберем, получаваме –18.

0:15:32.040,0:15:34.410
Те са с еднакъв знак и [br]сборът им е отрицателен.

0:15:34.410,0:15:41.560
И двете трябва да са [br]отрицателни числа.

0:15:41.560,0:15:43.790
Разглеждаме всички [br]делители на 72.

0:15:43.790,0:15:48.510
Нормално да се сетим за 8 и 9,

0:15:48.510,0:15:53.270
но 8 по 9 или –8 и –9, или –8 плюс –9

0:15:53.270,0:15:55.210
не са търсените числа.

0:15:55.210,0:15:58.060
Получаваме 17.

0:15:58.060,0:15:58.860
Близо сме.

0:15:58.860,0:15:59.560
Нека ти покажа.

0:15:59.560,0:16:04.400
–9 плюс –8 е равно на –17.

0:16:04.400,0:16:06.140
Близо, но не е решение.

0:16:06.140,0:16:06.990
Какви други опции имаме?

0:16:06.990,0:16:08.005
6 и 12.

0:16:08.005,0:16:09.705
Това изглежда добре.

0:16:09.705,0:16:15.350
–6 плюс –12 прави –18.

0:16:15.360,0:16:16.590
Забелязваш ли, има малко магия.

0:16:16.590,0:16:18.810
Трябва да се пробва с различни делители.

0:16:18.810,0:16:22.360
Това прави –1, не забравяй числото

0:16:22.360,0:16:29.963
пред скобите, по (х – 6) по (х – 12).