В това видео искам да направя няколко разлагания на множители
на многочлен от втора степен, който често се нарича
квадратен тричлен.
Понякога го наричат и квадратен полином или просто
квадратен израз, но във всички случаи това е
полином от втора степен,
тоест израз, който има променлива, която е на втора степен.
Във всички примери тук това ще е х.
Да кажем, че имаме квадратния тричлен
х^2 + 10х + 9
и искаме да го разложим като произведение на два двучлена.
Как ще го направим?
Да помислим какво се случва, ако имаме
(х + а) умножено по (х + b).
Какво получаваме, когато ги умножим?
Вече имаме опит в това.
х^2 + хb,
което е bx, плюс х по а, плюс а по b.
Ако искаме, можем да съберем двете по средата,
защото са някакъв коефициент по х.
Може да го запишем като х^2 + (b + a)x + ab.
Aко допуснем, че това е произведението
на два бинома, виждаме, че средният коефициент
или коефициентът пред х на първа степен
е равен на сумата на a и b.
Свободният член е равен на а по b.
Забележи, 10 отговаря на а + b,
а 9 отговаря на ab.
И, разбира се, х^2 на х^2.
Можем ли да направим връзка между двата полинома?
Има ли а и b, за които a + b е 10?
И а по b е 9?
Нека помислим.
Кои са делителите на 9?
На колко могат да са равни а и b?
Допускаме, че това са цели числа.
Обикновено при разлагане, особено
в началото, се занимаваме
с цели числа.
Кои са делителите на 9?
1, 3 и 9.
Така че a и b могат да са двойките 3 и 3 или 1и 9.
Ако са 3 и 3, то получаваме за 3 плюс 3
6, което не е равно на 10.
Но ако са 1 и 9, 1 по 9 е 9
1 плюс 9 е 10.
Получава се,
а може да е равно на 1, a b на 9.
Можем да разложим израза на (х + 1) по (х + 9).
Ако направим проверка и ги умножим,
ще получим квадратния тричлен,
от който започнахме.
Когато видиш нещо подобно, когато коефициентът
пред х квадрат или старшия коефициент на
тричлена е 1, може да се запиташ кои две
числа имат сбор, равен на втория коефициент.
И същите числа трябва да имат произведение,
равно на 9.
Разбира се, когато тричленът е в нормален вид.
Ако не е в нормален вид, може да го представиш
в тази форма, така че винаги може да кажеш,
че коефициентът пред х на първа степен е сбор
на нашите а и b.
Какъвто и да е свободният член, той е равен на а по b.
Нека решим още няколко примера.
Мисля, че колкото повече примери решим,
толкова по-ясно ще стане.
Нека имаме х^2 + 10х...
е, вече направихме пример с 10х, нека променим.
Плюс 15х, плюс 50.
И искаме да го разложим на множители.
Е, същата работа.
Имаме х на квадрат.
Имаме член от първа степен.
И стойността вдясно трябва да е сума на две числа.
И този коефициент тук
трябва да е произведение на две числа.
Трябва да намерим две числа, чието произведение
дава 50, а сумата им е 15.
Това е нещо като изкуство,
но колкото повече се практикува, толкова
по-естествено се получава.
Какви стойности могат да имат а и b?
Да видим делителите на 50.
Може да са 1 и 50,
2 и 25,
4 не дели 50,
Може да са 5 и 10,
Мисля, че това са всички,
Да видим кои от тези числа
имат сбор 15,
1 и 50 - не,
2 и 25 - също не.
Но 5 плюс 10 е 15,
Така че имаме 5 плюс 10 и 5 по 10.
Като разложим израза, получаваме
(х + 5) по (х + 10).
Да направим проверка.
Съветвам те да разкриеш скобите, за да видиш,
че наистина се получава х^2 + 15х + 50.
Нека го направим. х по х е х^2.
х по 10 е 10х,
5 по х е 5х,
5 по 10 е 50.
Забележи, 5 пъти по 10 е 50.
5х + 10х е 15х в средата.
Получихме х^2 + 15х + 50.
Нека вдигнем залога малко, като добавим
отрицателни членове.
Имаме х^2 – 11х + 24.
Работим по същия принцип.
Трябва да се сетя за 2 числа, които като събера
трябва да дават –11.
а + b да е равно на –11.
И а по b да прави 24.
Помисли над това.
Когато умножим двете числа, получаваме
положително число.
Получаваме 24.
Това означава, че и двете числа трябва да са положителни или
и двете да са отрицателни.
Това е единственият начин да получим положително число.
Като ги съберем, получаваме отрицателно число,
но ако и двете са положителни, няма как да
получим отрицателно. Фактът, че сумата им е
отрицателна и произведението положително,
означава, че а и b са отрицателни числа.
а и b трябва да са отрицателни.
Запомни, няма как едното да е отрицателно,
а другото да е положително, защото произведението им ще е отрицателно.
Няма как и двете да са положителни, защото
сборът им е отрицателен.
Нека помислим какви могат да са а и b.
Две отрицателни числа.
Да видим делителите на 24.
При това отрицателните делители.
Може да са 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8
или 4 и 6.
Произведението на кои от тези...
1 по 24 е 24,
2 по 12 дава 24.
Знаем, че произведенията на всички са 24.
Но сборът на кои от тях е равен на 11?
И след това да вземем
отрицателните им стойности.
На вниманието ни попадат 3 и 8.
3 по 8 е 24.
3 плюс 8 е 11.
Но това не е съвсем добре, нали?
Защото имаме –11.
А ако вземем –3 и –8?
–3 по –8 дава 24,
а –3 плюс –8 дава –11.
Така че се получава с –3 и –8.
Разлагаме x^2 – 11х + 24
и получаваме (х – 3) по (х – 8).
Нека решим още едно, подобно на това.
Всъщност, нека сменим знаците отново.
Имаме х^2 + 5х – 14.
Това е различна ситуация.
Произведението е отрицателно.
а по b е равно на –14.
Произведението е отрицателно.
Това означава, че едното число е положително, а другото
е отрицателно.
И сборът им е 5.
Да разгледаме делителите на 14.
И при какви техни комбинации сборът,
ако едното е положително, а другото отрицателно,
или всъщност разликата им ще е 5?
С 1 и 14, нека опитаме,
–1 плюс 14 дава 13, 1 плюс – 14 е –13.
Нека запишем всички възможни комбинации
и отговорът ще се появи.
–1 плюс 14 дава 13.
1 плюс –14 дава –13.
Не се получава.
Нямаме равно на 5.
Ами с 2 и 7?
Като вземем минус 2... Нека сменя цвета.
Ако вземем минус 2 плюс 7, получаваме 5.
Готово!
Проработи.
Можехме да опитаме 2 плюс –7, но тогава
щяхме да получим –5, което не ни върши работа.
Но с –2 и 7 се получи.
И –2 по 7 дава –14.
Имаме отговора.
Знаем, че е (х – 2) по (х + 7).
Това е подредено.
–2 по 7 дава –14.
–2 плюс 7 дава 5.
Да направим още няколко примера, за да
затвърдим умението.
Имаме х^2 – х – 56.
Произведението на двете числа е – 56.
А разликата им, защото едното ще е положително,
а другото отрицателно, нали?
Разликата им е –1.
Веднага се досещам за числата,
не знам дали и ти,
но знаем това от таблицата за умножение.
56 е 8 по 7.
Разбира се, има и други опции.
28 по 2.
Има и още.
Но първо се сещам за 8 и 7, защото
числата са близки.
А такива ни трябват.
И едното трябва да е положително, другото
отрицателно.
Фактът, че сборът им е отрицателен, значи,
че по-голямото ще е отрицателно число.
Ако вземем –8 по 7, получаваме –56.
А –8 плюс 7 дава –1,
което е точно търсеният коефициент.
Като го разложим, получаваме (х – 8) по (х + 7).
Това е една от най-трудните концепции
в алгебрата, защото има малко магия.
Трябва да се разгледат всички опции, да
се проверят знаците, за да стане ясно кога едното
число е положително, кога е отрицателно, а сборът
им да е коефициентът пред х.
Колкото повече практикуваш, ще видиш,
че това се превръща в нещо естествено.
Нека отново качим залозите.
Имаме –х^2 – всички примери
досега бяха с положителен коефициент 1 пред х квадрат.
Сега нека имаме –х^2 – 5х + 24.
Как ще го решим?
Най-лесният начин е да извадим пред скоби
–1 и да имаме задача като тези,
които вече решихме.
Това е същото като минус едно по плюс
–1 по (х^2 + 5х – 24).
Нали така?
Просто извадих –1 пред скоби.
Може да умножиш по –1 и
ще видиш, че е същото.
Или да разделиш израза на –1.
И се получава същият резултат.
Сега същият подход както досега.
Трябват ми две числа, чието произведение
е минус 24.
Едното положително, другото отрицателно
А сумата им е равна на 5.
Нека това са 1 и 24.
Ако имаме –1 и 24, сумата е 23.
Ако е обратното, –23.
Не се получава.
Ако опитаме с 2 и 12?
Ако имаме отрицателно – запомни, едното число трябва да е
отрицателно.
Ако 2 е отрицателно, сумата им е 10.
Ако 12 е отрицателно, то имаме –10.
Отново не се получава.
3 и 8.
Ако 3 е отрицателно, сумата им е 5.
Проработи!
Ако вземем –3 и 8, получаваме разлагането.
Защото –3 плюс 8 е 5.
–3 по 8 е –24.
Това ще е равно на... а и нека не забравяме
–1 отпред, засега разлагаме вътрешността.
–1 по ( (х –3) (х + 8) ).
Можем да умножим
минус едно по това и да получим 3 –х.
Но няма нужда от това.
Един последен пример.
Колкото повече практика, толкова по-добре.
Имаме –х^2 + 18х –72.
Още веднъж ще извадим –1 пред скоби.
Получаваме –1 по
х^2 – 18х + 72.
Отново трябва да намерим две числа, чието
произведение е 72.
Тоест са с еднакъв знак.
Това прави нещата по-лесни, поне за мен.
Като ги умножим, получаваме 72.
Като ги съберем, получаваме –18.
Те са с еднакъв знак и сборът им е отрицателен.
И двете трябва да са отрицателни числа.
Разглеждаме всички делители на 72.
Нормално да се сетим за 8 и 9,
но 8 по 9 или –8 и –9, или –8 плюс –9
не са търсените числа.
Получаваме 17.
Близо сме.
Нека ти покажа.
–9 плюс –8 е равно на –17.
Близо, но не е решение.
Какви други опции имаме?
6 и 12.
Това изглежда добре.
–6 плюс –12 прави –18.
Забелязваш ли, има малко магия.
Трябва да се пробва с различни делители.
Това прави –1, не забравяй числото
пред скобите, по (х – 6) по (х – 12).