WEBVTT

00:00:00.360 --> 00:00:03.870
В това видео искам да направя 
няколко разлагания на множители

00:00:03.870 --> 00:00:06.590
на многочлен от втора степен, 
който често се нарича

00:00:06.590 --> 00:00:08.870
квадратен тричлен.

00:00:08.870 --> 00:00:12.650
Понякога го наричат и
квадратен полином или просто

00:00:12.650 --> 00:00:15.850
квадратен израз, 
но във всички случаи това е

00:00:15.850 --> 00:00:18.300
полином от втора степен,

00:00:18.300 --> 00:00:22.440
тоест израз, който има променлива,
която е на втора степен.

00:00:23.080 --> 00:00:26.460
Във всички примери тук това ще е х.

00:00:26.460 --> 00:00:30.740
Да кажем, че имаме квадратния тричлен

00:00:30.740 --> 00:00:35.280
х^2 + 10х + 9

00:00:35.280 --> 00:00:39.870
и искаме да го разложим като
произведение на два двучлена.

00:00:39.870 --> 00:00:41.520
Как ще го направим?

00:00:41.520 --> 00:00:44.440
Да помислим какво се случва, ако имаме

00:00:44.440 --> 00:00:51.690
(х + а) умножено по (х + b).

00:00:51.690 --> 00:00:55.050
Какво получаваме, когато ги умножим?

00:00:55.050 --> 00:00:57.090
Вече имаме опит в това.

00:00:57.090 --> 00:01:03.170
х^2 + хb,

00:01:03.170 --> 00:01:12.690
което е bx, плюс х по а, плюс а по b.

00:01:12.690 --> 00:01:15.800
Ако искаме, можем да съберем двете по средата,

00:01:15.800 --> 00:01:18.890
защото са някакъв коефициент по х.

00:01:18.890 --> 00:01:29.452
Може да го запишем като
х^2 + (b + a)x + ab.

00:01:29.700 --> 00:01:34.390
Aко допуснем, че това е произведението

00:01:34.390 --> 00:01:40.765
на два бинома, виждаме, че
средният коефициент

00:01:40.765 --> 00:01:43.250
или коефициентът пред 
х на първа степен

00:01:43.250 --> 00:01:48.675
е равен на сумата на a и b.

00:01:48.675 --> 00:01:52.490
Свободният член е равен на а по b.

00:01:52.520 --> 00:01:57.290
Забележи, 10 отговаря на а + b,

00:01:57.290 --> 00:01:58.790
а 9 отговаря на ab.

00:01:58.790 --> 00:02:02.600
И, разбира се, х^2 на х^2.

00:02:02.600 --> 00:02:05.590
Можем ли да направим връзка
между двата полинома?

00:02:05.590 --> 00:02:14.060
Има ли а и b, за които a + b е 10?

00:02:14.060 --> 00:02:22.070
И а по b е 9?

00:02:22.070 --> 00:02:23.850
Нека помислим.

00:02:23.850 --> 00:02:25.470
Кои са делителите на 9?

00:02:25.470 --> 00:02:27.770
На колко могат да са равни а и b?

00:02:27.770 --> 00:02:29.170
Допускаме, че това са цели числа.

00:02:29.170 --> 00:02:32.350
Обикновено при разлагане, особено

00:02:32.350 --> 00:02:33.950
в началото, се занимаваме

00:02:33.950 --> 00:02:35.580
с цели числа.

00:02:35.580 --> 00:02:37.080
Кои са делителите на 9?

00:02:37.080 --> 00:02:40.730
1, 3 и 9.

00:02:40.730 --> 00:02:45.000
Така че a и b могат да са 
двойките 3 и 3 или 1и 9.

00:02:45.000 --> 00:02:48.630
Ако са 3 и 3, то получаваме за 3 плюс 3

00:02:48.630 --> 00:02:49.840
6, което не е равно на 10.

00:02:49.840 --> 00:02:53.760
Но ако са 1 и 9, 1 по 9 е 9

00:02:53.760 --> 00:02:56.670
1 плюс 9 е 10.

00:02:56.670 --> 00:02:57.570
Получава се,

00:02:57.570 --> 00:03:04.190
а може да е равно на 1, a b на 9.

00:03:04.190 --> 00:03:12.950
Можем да разложим израза 
на (х + 1) по (х + 9).

00:03:12.970 --> 00:03:15.850
Ако направим проверка и ги умножим,

00:03:15.850 --> 00:03:18.970
ще получим квадратния тричлен,

00:03:18.970 --> 00:03:22.880
от който започнахме.

00:03:22.880 --> 00:03:25.150
Когато видиш нещо подобно, 
когато коефициентът

00:03:25.150 --> 00:03:28.070
пред х квадрат или старшия коефициент на

00:03:28.070 --> 00:03:31.650
тричлена е 1, може да се запиташ кои две

00:03:31.650 --> 00:03:37.652
числа имат сбор, равен на втория коефициент.

00:03:37.720 --> 00:03:39.870
И същите числа трябва да имат произведение,

00:03:39.870 --> 00:03:41.660
равно на 9.

00:03:41.660 --> 00:03:43.510
Разбира се, когато тричленът 
е в нормален вид.

00:03:43.510 --> 00:03:46.000
Ако не е в нормален вид,
може да го представиш

00:03:46.000 --> 00:03:48.500
в тази форма, така че 
винаги може да кажеш,

00:03:48.500 --> 00:03:51.042
че коефициентът пред 
х на първа степен е сбор

00:03:51.042 --> 00:03:52.300
на нашите а и b.

00:03:52.300 --> 00:03:56.413
Какъвто и да е свободният член,
той е равен на а по b.

00:03:56.413 --> 00:03:58.150
Нека решим още няколко примера.

00:03:58.150 --> 00:04:00.510
Мисля, че колкото повече примери решим,

00:04:00.510 --> 00:04:02.630
толкова по-ясно ще стане.

00:04:02.630 --> 00:04:08.700
Нека имаме х^2 + 10х...

00:04:08.700 --> 00:04:11.100
е, вече направихме пример с 10х, нека променим.

00:04:11.100 --> 00:04:15.366
Плюс 15х, плюс 50.

00:04:15.366 --> 00:04:17.470
И искаме да го разложим на множители.

00:04:17.470 --> 00:04:20.339
Е, същата работа.

00:04:20.339 --> 00:04:22.600
Имаме х на квадрат.

00:04:22.600 --> 00:04:25.130
Имаме член от първа степен.

00:04:25.130 --> 00:04:27.960
И стойността вдясно трябва 
да е сума на две числа.

00:04:27.960 --> 00:04:30.620
И този коефициент тук

00:04:30.620 --> 00:04:32.870
трябва да е произведение на две числа.

00:04:32.870 --> 00:04:35.640
Трябва да намерим две числа, 
чието произведение

00:04:35.640 --> 00:04:39.220
дава 50, а сумата им е 15.

00:04:39.220 --> 00:04:41.910
Това е нещо като изкуство,

00:04:41.910 --> 00:04:44.530
но колкото повече се практикува, толкова

00:04:44.530 --> 00:04:45.730
по-естествено се получава.

00:04:45.730 --> 00:04:47.330
Какви стойности могат да имат а и b?

00:04:47.330 --> 00:04:48.975
Да видим делителите на 50.

00:04:48.975 --> 00:04:52.230
Може да са 1 и 50,

00:04:52.230 --> 00:04:55.072
2 и 25,

00:04:55.072 --> 00:04:57.520
4 не дели 50,

00:04:57.520 --> 00:05:02.450
Може да са 5 и 10,

00:05:02.450 --> 00:05:03.580
Мисля, че това са всички,

00:05:03.580 --> 00:05:05.920
Да видим кои от тези числа

00:05:05.920 --> 00:05:07.310
имат сбор 15,

00:05:07.310 --> 00:05:12.630
1 и 50 - не,

00:05:12.630 --> 00:05:16.160
2 и 25 - също не.

00:05:16.160 --> 00:05:19.260
Но 5 плюс 10 е 15,

00:05:19.260 --> 00:05:24.280
Така че имаме 5 плюс 10 и 5 по 10.

00:05:24.280 --> 00:05:28.760
Като разложим израза,
получаваме

00:05:28.760 --> 00:05:32.630
(х + 5) по (х + 10).

00:05:32.630 --> 00:05:33.840
Да направим проверка.

00:05:33.840 --> 00:05:36.710
Съветвам те да разкриеш скобите, 
за да видиш,

00:05:36.710 --> 00:05:39.660
че наистина се получава 
х^2 + 15х + 50.

00:05:39.660 --> 00:05:43.320
Нека го направим. 
х по х е х^2.

00:05:43.320 --> 00:05:45.800
х по 10 е 10х,

00:05:45.800 --> 00:05:48.600
5 по х е 5х,

00:05:48.600 --> 00:05:51.620
5 по 10 е 50.

00:05:51.620 --> 00:05:55.220
Забележи, 5 пъти по 10 е 50.

00:05:55.220 --> 00:06:00.890
5х + 10х е 15х в средата.

00:06:00.890 --> 00:06:06.560
Получихме х^2 + 15х + 50.

00:06:06.560 --> 00:06:09.440
Нека вдигнем залога малко, като добавим

00:06:09.440 --> 00:06:11.040
отрицателни членове.

00:06:11.040 --> 00:06:18.890
Имаме х^2 – 11х + 24.

00:06:18.890 --> 00:06:21.610
Работим по същия принцип.

00:06:21.610 --> 00:06:24.580
Трябва да се сетя за 2 числа, 
които като събера

00:06:24.580 --> 00:06:26.570
трябва да дават –11.

00:06:26.570 --> 00:06:30.150
а + b да е равно на –11.

00:06:30.150 --> 00:06:37.900
И а по b да прави 24.

00:06:37.900 --> 00:06:41.290
Помисли над това.

00:06:41.290 --> 00:06:43.960
Когато умножим двете числа, получаваме

00:06:43.960 --> 00:06:45.080
положително число.

00:06:45.080 --> 00:06:46.960
Получаваме 24.

00:06:46.960 --> 00:06:50.260
Това означава, че и двете числа 
трябва да са положителни или

00:06:50.260 --> 00:06:51.380
и двете да са отрицателни.

00:06:51.380 --> 00:06:55.050
Това е единственият начин 
да получим положително число.

00:06:55.050 --> 00:06:58.290
Като ги съберем, получаваме
отрицателно число,

00:06:58.290 --> 00:07:00.720
но ако и двете са положителни, 
няма как да

00:07:00.720 --> 00:07:03.280
получим отрицателно.
Фактът, че сумата им е

00:07:03.280 --> 00:07:05.750
отрицателна и произведението
положително,

00:07:05.750 --> 00:07:10.420
означава, че а и b са 
отрицателни числа.

00:07:10.420 --> 00:07:13.200
а и b трябва да са отрицателни.

00:07:13.200 --> 00:07:15.730
Запомни, няма как едното
да е отрицателно,

00:07:15.730 --> 00:07:18.710
а другото да е положително, защото 
произведението им ще е отрицателно.

00:07:18.710 --> 00:07:22.687
Няма как и двете да са положителни, 
защото

00:07:22.687 --> 00:07:24.520
сборът им е отрицателен.

00:07:24.520 --> 00:07:27.500
Нека помислим какви 
могат да са а и b.

00:07:27.500 --> 00:07:28.990
Две отрицателни числа.

00:07:28.990 --> 00:07:31.260
Да видим делителите на 24.

00:07:31.260 --> 00:07:33.140
При това отрицателните делители.

00:07:33.140 --> 00:07:44.670
Може да са 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8

00:07:44.670 --> 00:07:48.070
или 4 и 6.

00:07:48.070 --> 00:07:51.220
Произведението на кои от тези...

00:07:51.220 --> 00:07:57.540
1 по 24 е 24,

00:07:57.540 --> 00:07:59.790
2 по 12 дава 24.

00:07:59.790 --> 00:08:03.090
Знаем, че произведенията на всички са 24.

00:08:03.090 --> 00:08:08.770
Но сборът на кои от тях е равен на 11?

00:08:08.790 --> 00:08:09.880
И след това да вземем

00:08:09.880 --> 00:08:11.450
отрицателните им стойности.

00:08:11.450 --> 00:08:15.470
На вниманието ни попадат 3 и 8.

00:08:15.470 --> 00:08:19.150
3 по 8 е 24.

00:08:19.150 --> 00:08:22.810
3 плюс 8 е 11.

00:08:22.810 --> 00:08:24.680
Но това не е съвсем добре, нали?

00:08:24.680 --> 00:08:26.510
Защото имаме –11.

00:08:26.510 --> 00:08:29.690
А ако вземем –3 и –8?

00:08:29.690 --> 00:08:35.479
–3 по –8 дава 24,

00:08:35.479 --> 00:08:43.580
а –3 плюс –8 дава –11.

00:08:43.580 --> 00:08:46.600
Така че се получава с –3 и –8.

00:08:46.600 --> 00:08:53.840
Разлагаме x^2 – 11х + 24

00:08:53.840 --> 00:09:02.940
и получаваме (х – 3) по (х – 8).

00:09:02.940 --> 00:09:06.270
Нека решим още едно, подобно на това.

00:09:06.270 --> 00:09:08.330
Всъщност, нека сменим знаците отново.

00:09:08.330 --> 00:09:19.810
Имаме х^2 + 5х – 14.

00:09:19.810 --> 00:09:21.770
Това е различна ситуация.

00:09:21.770 --> 00:09:25.240
Произведението е отрицателно.

00:09:25.240 --> 00:09:28.190
а по b е равно на –14.

00:09:28.190 --> 00:09:29.920
Произведението е отрицателно.

00:09:29.920 --> 00:09:32.930
Това означава, че едното число е
положително, а другото

00:09:32.930 --> 00:09:33.910
е отрицателно.

00:09:33.910 --> 00:09:39.200
И сборът им е 5.

00:09:39.200 --> 00:09:41.360
Да разгледаме делителите на 14.

00:09:41.360 --> 00:09:44.300
И при какви техни комбинации сборът,

00:09:44.300 --> 00:09:46.560
ако едното е положително, 
а другото отрицателно,

00:09:46.560 --> 00:09:49.780
или всъщност разликата им ще е 5?

00:09:49.780 --> 00:09:53.450
С 1 и 14, нека опитаме,

00:09:53.450 --> 00:10:04.240
–1 плюс 14 дава 13,
1 плюс – 14 е –13.

00:10:04.260 --> 00:10:07.430
Нека запишем всички 
възможни комбинации

00:10:07.430 --> 00:10:09.440
и отговорът ще се появи.

00:10:09.440 --> 00:10:16.490
–1 плюс 14 дава 13.

00:10:16.490 --> 00:10:20.460
1 плюс –14 дава –13.

00:10:20.460 --> 00:10:21.380
Не се получава.

00:10:21.380 --> 00:10:22.950
Нямаме равно на 5.

00:10:22.950 --> 00:10:24.860
Ами с 2 и 7?

00:10:24.860 --> 00:10:29.600
Като вземем минус 2...
Нека сменя цвета.

00:10:29.600 --> 00:10:35.290
Ако вземем минус 2 плюс 7, 
получаваме 5.

00:10:35.290 --> 00:10:35.750
Готово!

00:10:35.750 --> 00:10:36.670
Проработи.

00:10:36.670 --> 00:10:39.440
Можехме да опитаме 2 плюс –7, 
но тогава

00:10:39.440 --> 00:10:41.070
щяхме да получим –5, 
което не ни върши работа.

00:10:41.070 --> 00:10:42.960
Но с –2 и 7 се получи.

00:10:42.960 --> 00:10:46.590
И –2 по 7 дава –14.

00:10:46.590 --> 00:10:47.600
Имаме отговора.

00:10:47.600 --> 00:10:53.210
Знаем, че е (х – 2) по (х + 7).

00:10:53.210 --> 00:10:54.330
Това е подредено.

00:10:54.330 --> 00:10:56.950
–2 по 7 дава –14.

00:10:56.950 --> 00:11:03.740
–2 плюс 7 дава 5.

00:11:03.760 --> 00:11:07.680
Да направим още няколко примера, за да

00:11:07.680 --> 00:11:09.520
затвърдим умението.

00:11:09.520 --> 00:11:16.360
Имаме х^2 – х – 56.

00:11:16.360 --> 00:11:21.610
Произведението на двете числа е – 56.

00:11:21.620 --> 00:11:24.430
А разликата им, защото едното ще е положително,

00:11:24.430 --> 00:11:26.280
а другото отрицателно, нали?

00:11:26.280 --> 00:11:28.350
Разликата им е –1.

00:11:28.350 --> 00:11:30.130
Веднага се досещам за числата,

00:11:30.130 --> 00:11:31.900
не знам дали и ти,

00:11:31.900 --> 00:11:33.740
но знаем това
от таблицата за умножение.

00:11:33.740 --> 00:11:36.480
56 е 8 по 7.

00:11:36.480 --> 00:11:37.480
Разбира се, има и други опции.

00:11:37.480 --> 00:11:39.950
28 по 2.

00:11:39.950 --> 00:11:41.140
Има и още.

00:11:41.140 --> 00:11:44.300
Но първо се сещам за 8 и 7, защото

00:11:44.300 --> 00:11:45.470
числата са близки.

00:11:45.470 --> 00:11:47.730
А такива ни трябват.

00:11:47.730 --> 00:11:50.430
И едното трябва да е положително, другото

00:11:50.430 --> 00:11:51.810
отрицателно.

00:11:51.810 --> 00:11:55.250
Фактът, че сборът им е отрицателен, значи,

00:11:55.250 --> 00:11:58.460
че по-голямото ще е отрицателно число.

00:11:58.460 --> 00:12:03.300
Ако вземем –8 по 7, получаваме –56.

00:12:03.320 --> 00:12:08.470
А –8 плюс 7 дава –1,

00:12:08.470 --> 00:12:12.100
което е точно търсеният коефициент.

00:12:12.100 --> 00:12:18.670
Като го разложим, получаваме
(х – 8) по (х + 7).

00:12:18.690 --> 00:12:21.695
Това е една от най-трудните концепции

00:12:21.695 --> 00:12:23.920
в алгебрата, защото има малко магия.

00:12:23.920 --> 00:12:26.710
Трябва да се разгледат всички опции, да

00:12:26.710 --> 00:12:29.710
се проверят знаците, 
за да стане ясно кога едното

00:12:29.710 --> 00:12:31.900
число е положително, кога 
е отрицателно, а сборът

00:12:31.900 --> 00:12:33.590
им да е коефициентът пред х.

00:12:33.590 --> 00:12:35.860
Колкото повече практикуваш, ще видиш,

00:12:35.860 --> 00:12:39.280
че това се превръща в нещо естествено.

00:12:39.280 --> 00:12:42.350
Нека отново качим залозите.

00:12:42.350 --> 00:12:46.140
Имаме –х^2 – всички примери

00:12:46.140 --> 00:12:50.680
досега бяха с положителен коефициент
1 пред х квадрат.

00:12:50.690 --> 00:12:59.430
Сега нека имаме –х^2 – 5х + 24.

00:12:59.440 --> 00:13:00.910
Как ще го решим?

00:13:00.910 --> 00:13:03.420
Най-лесният начин е 
да извадим пред скоби

00:13:03.420 --> 00:13:05.670
–1 и да имаме задача като тези,

00:13:05.670 --> 00:13:07.260
които вече решихме.

00:13:07.260 --> 00:13:11.660
Това е същото като минус едно по плюс

00:13:11.660 --> 00:13:15.990
–1 по (х^2 + 5х – 24).

00:13:15.990 --> 00:13:16.300
Нали така?

00:13:16.300 --> 00:13:18.080
Просто извадих –1 пред скоби.

00:13:18.080 --> 00:13:20.180
Може да умножиш по –1 и

00:13:20.180 --> 00:13:21.690
ще видиш, че е същото.

00:13:21.690 --> 00:13:24.965
Или да разделиш израза на –1.

00:13:24.965 --> 00:13:26.760
И се получава същият резултат.

00:13:26.760 --> 00:13:29.360
Сега същият подход както досега.

00:13:29.360 --> 00:13:33.510
Трябват ми две числа, чието произведение

00:13:33.510 --> 00:13:34.690
е минус 24.

00:13:34.690 --> 00:13:41.535
Едното положително, другото отрицателно

00:13:41.550 --> 00:13:43.770
А сумата им е равна на 5.

00:13:43.770 --> 00:13:48.850
Нека това са 1 и 24.

00:13:48.850 --> 00:13:55.750
Ако имаме –1 и 24, сумата е 23.

00:13:55.750 --> 00:13:57.540
Ако е обратното, –23.

00:13:57.540 --> 00:13:58.500
Не се получава.

00:13:58.500 --> 00:14:01.210
Ако опитаме с 2 и 12?

00:14:01.210 --> 00:14:04.530
Ако имаме отрицателно –
запомни, едното число трябва да е

00:14:04.530 --> 00:14:05.040
отрицателно.

00:14:05.040 --> 00:14:07.570
Ако 2 е отрицателно, сумата им е 10.

00:14:07.570 --> 00:14:09.750
Ако 12 е отрицателно, то имаме –10.

00:14:09.750 --> 00:14:11.300
Отново не се получава.

00:14:11.300 --> 00:14:13.290
3 и 8.

00:14:13.290 --> 00:14:16.850
Ако 3 е отрицателно, сумата им е 5.

00:14:16.850 --> 00:14:17.910
Проработи!

00:14:17.910 --> 00:14:24.620
Ако вземем –3 и 8, получаваме
разлагането.

00:14:24.620 --> 00:14:26.630
Защото –3 плюс 8 е 5.

00:14:26.630 --> 00:14:29.510
–3 по 8 е –24.

00:14:29.510 --> 00:14:31.640
Това ще е равно на...
а и нека не забравяме

00:14:31.640 --> 00:14:35.230
–1 отпред, засега разлагаме
вътрешността.

00:14:35.230 --> 00:14:42.990
–1 по ( (х –3) (х + 8) ).

00:14:42.990 --> 00:14:44.800
Можем да умножим

00:14:44.800 --> 00:14:47.560
минус едно по това и да получим 3 –х.

00:14:47.560 --> 00:14:49.370
Но няма нужда от това.

00:14:49.370 --> 00:14:53.220
Един последен пример.

00:14:53.220 --> 00:14:56.060
Колкото повече практика, толкова по-добре.

00:14:56.060 --> 00:15:06.660
Имаме –х^2 + 18х –72.

00:15:06.690 --> 00:15:09.320
Още веднъж ще извадим –1 пред скоби.

00:15:09.320 --> 00:15:13.040
Получаваме –1 по

00:15:13.040 --> 00:15:16.910
х^2 – 18х + 72.

00:15:16.910 --> 00:15:19.650
Отново трябва да намерим две числа, чието

00:15:19.650 --> 00:15:22.330
произведение е 72.

00:15:22.330 --> 00:15:24.480
Тоест са с еднакъв знак.

00:15:24.480 --> 00:15:26.930
Това прави нещата по-лесни, поне за мен.

00:15:26.930 --> 00:15:29.260
Като ги умножим, получаваме 72.

00:15:29.260 --> 00:15:32.040
Като ги съберем, получаваме –18.

00:15:32.040 --> 00:15:34.410
Те са с еднакъв знак и 
сборът им е отрицателен.

00:15:34.410 --> 00:15:41.560
И двете трябва да са 
отрицателни числа.

00:15:41.560 --> 00:15:43.790
Разглеждаме всички 
делители на 72.

00:15:43.790 --> 00:15:48.510
Нормално да се сетим за 8 и 9,

00:15:48.510 --> 00:15:53.270
но 8 по 9 или –8 и –9, или –8 плюс –9

00:15:53.270 --> 00:15:55.210
не са търсените числа.

00:15:55.210 --> 00:15:58.060
Получаваме 17.

00:15:58.060 --> 00:15:58.860
Близо сме.

00:15:58.860 --> 00:15:59.560
Нека ти покажа.

00:15:59.560 --> 00:16:04.400
–9 плюс –8 е равно на –17.

00:16:04.400 --> 00:16:06.140
Близо, но не е решение.

00:16:06.140 --> 00:16:06.990
Какви други опции имаме?

00:16:06.990 --> 00:16:08.005
6 и 12.

00:16:08.005 --> 00:16:09.705
Това изглежда добре.

00:16:09.705 --> 00:16:15.350
–6 плюс –12 прави –18.

00:16:15.360 --> 00:16:16.590
Забелязваш ли, има малко магия.

00:16:16.590 --> 00:16:18.810
Трябва да се пробва с различни делители.

00:16:18.810 --> 00:16:22.360
Това прави –1, не забравяй числото

00:16:22.360 --> 00:16:29.963
пред скобите, по (х – 6) по (х – 12).