-
Dvě auta přijíždí ke křižovatce
z navzájem kolmých směrů.
-
Rychlost prvního auta
je 50 kilometrů za hodinu
-
a rychlost druhého auta
je 90 kilometrů za hodinu.
-
V jistou chvíli t₀ bylo první
auto vzdáleno x(t₀)...
-
Bylo vzdáleno x(t₀) rovná se
0,5 kilometru od křižovatky
-
a druhé auto bylo vzdáleno y(t₀)
rovná se 1,2 kilometru od křižovatky.
-
Jaká byla rychlost změny vzdálenosti d(t)
mezi auty v tuto chvíli, tedy v čase t₀?
-
Kterou rovnici bychom
k vyřešení této úlohy měli použít?
-
Máme tu na
výběr čtyři rovnice.
-
Můžete si zastavit video
a zkusit to vyřešit sami,
-
nebo se podívejte,
jak bych to řešil já.
-
Nakresleme si, co se tu
děje, to je vždy užitečné.
-
Dvě auta přijíždí ke křižovatce
z navzájem kolmých směrů.
-
Řekněme, že zde
máme jedno auto,
-
které jede ve směru osy x
ke křižovatce, která je tady.
-
Potom máme druhé auto,
které jede ve směru osy y.
-
Řekněme, že
pojede takto.
-
Zde je tedy
druhé auto.
-
Možná jsem to mohl nakreslit při
pohledu seshora, ale to nevadí.
-
Tento čtverec
představuje auto,
-
které jede
tímto směrem.
-
V zadání dále mluví o nějaké chvíli
t₀, tak si tuto chvíli znázorníme.
-
První auto je od křižovatky vzdáleno
x(t₀), které se rovná 0,5 kilometru.
-
Označme si tuto
vzdálenost jako x(t)
-
a tuhle vzdálenost
označme jako y(t).
-
Jak souvisí vzdálenost
mezi auty s x(t) a y(t)?
-
Můžeme použít vzorec
pro výpočet vzdálenosti,
-
což je v zásadě jen
Pythagorova věta.
-
Vzdálenost mezi auty je délka přepony
tohoto pravoúhlého trojúhelníku.
-
Vzpomeňme si, že auta jedou
v navzájem kolmých směrech,
-
takže to bude
pravoúhlý trojúhelník.
-
Tato vzdálenost tak bude
x(t) na druhou plus y(t) na druhou,
-
to celé pod
odmocninou.
-
To plyne z
Pythagorovy věty.
-
Tohle se
rovná d(t).
-
Můžeme také říci, že d(t) na druhou
se rovná x(t) na druhou plus y...
-
Mám tady příliš
mnoho závorek.
-
...plus y(t) na druhou.
-
Toto je vztah mezi
d(t), x(t) a y(t),
-
který se nám hodí
k vyřešení téhle úlohy,
-
protože teď můžeme obě strany
této rovnice zderivovat podle t,
-
k čemuž bychom použili
několik pravidel derivování
-
včetně pravidla pro
derivaci složené funkce.
-
Tím bychom dostali vztah
mezi rychlostí změny d(t),
-
což je d(t) s čárkou,
-
a rychlostmi změny x(t) a y(t)
a samotnými x(t) a y(t).
-
Když se podíváme
na nabízené možnosti,
-
tak vidíme, že D je přesně ten vztah,
který jsme tady použili a který říká,
-
že vzdálenost mezi auty
na druhou se rovná:
-
vzdálenost x od křižovatky na druhou
plus vzdálenost y od křižovatky na druhou.
-
Obě strany téhle rovnice
pak můžeme zderivovat,
-
díky čemuž už vyřešíme tuto úlohu na
derivaci vzájemně souvisejících veličin.
