Pravidlo 72 pro složené úročení

V předchozím videu jsme se podívali na to,

co to je složené úročení,
a jako příklad jsme si uvedli úrok,

který se připisuje každoročně, ne
průběžně, jako se to běžně dělá v bankách.

Co bych však chtěl zdůraznit, je to,

že i když se jedná o jednoduchý princip...

každý rok dostanete 10 % z toho,
co jste měli začátkem onoho roku.

To znamená, že další rok dostanete

10 % nejen z vašeho původního
vkladu, ale i z toho úroku,

který vám byl připsán
v předchozích letech.

Právě proto tento typ
úročení nazýváme složené.

...a i když se jedná
o jednoduchý princip,

viděli jsme, že u počítání
se můžeme trošku zapotit.

S dobrou kalkulačkou sice některé
příklady spočítat lze, pokud víte jak,

ale spočítat je v hlavě je téměř nemožné.

Například na konci předchozího
videa jsme měli příklad,

kde jsme úročili 100 dolarů
s úrokem 10 % ročně...

od toho tady máme tuhle jedničku

...a otázkou bylo: "Za jak dlouho se
těch původních 100 dolarů zdvojí?"

A skončili jsme s touto rovnici.

Jelikož většina kalkulaček neumí
počítat logaritmy při základu 1,1,

abychom tuto rovnici vyřešili,
můžeme si tento výraz přepsat na

x se rovná dekadickému logaritmu ze 2
děleno dekadickým logaritmem z 1,1.

Je to pouze jiný způsob výpočtu
logaritmu při základu 1,1 ze 2.

OPRAVOVÁNÍ CHYBY

Tohle zmiňuji, protože většina kalkulaček
umí počítat s dekadickými logaritmy.

Tyhle dva výrazy jsou ekvivalentní,
což už jsem dokázal v jiných videích.

Takže abychom dovedli říci, za jak dlouho
se nám při úroku 10 % za rok

zdvojí původní vklad, zadáme
tento výraz do kalkulačky...

tady si to spočítáme

...takže máme logaritmus ze 2, což je 0,3,
a to vydělíme logaritmem z 1,1,

a to se rovná 7,27,
takže zhruba 7,3 roky.

Tohle se rovná zhruba 7,3 rokům.

A jak jsme si řekli v předchozím videu,

odvodit tenhle výraz není úplně snadné,
ale i když rozumíte všem těmto krokům,

vůbec není jednoduché
výsledek spočítat v hlavě.

Je to dokonce skoro nemožné.

Takže to, co vám chci ukázat, je způsob,
jak odhadnout odpověď na tuhle otázku,

"Jak dlouho vám bude trvat,
než zdvojnásobíte svůj vklad?"

Tomuhle způsobu říkáme pravidlo 72,
popřípadě pravidlo 70 nebo 69.

Obvykle však narazíte
na název pravidlo 72,

především když se jedná o úročení
po několik celých úrokovacích období.

U průběžného úročení je to
spíše ono pravidlo 69 nebo 70.

Hned vám vysvětlím,
co to všechno znamená.

Takže abychom odpověděli na onu otázku,

řekněme, že máme úrokovou
sazbu 10 % a úrokovací období 1 rok.

Pokud použiji pravidlo 72,

za jak dlouho bude
můj vklad zdvojnásobený?

Jednoduše vezmu 72 (proto pravidlo 72),
vydělím ho úrokovou sazbou v procentech,

tedy v tomto případě vydělím 72 číslem 10.
10 % by se obvykle napsalo jako 0,1,

je to 10 procent, dosadím 10.

Takže 72 děleno 10,
a to se rovná 7,2 roky.

Kdyby se nám peníze úročily měsíčně,
tak by to bylo 7,2 měsíce.

Každopádně, vyšlo nám 7,2 roky,
a to je proklatě blízko oněm 7,3 rokům,

které nám vyšly předtím,
kdy jsme se s tím museli složitě počítat.

Půjdeme na další příklad.

Řekněme, že máme úrokovou sazbu 6 %
a úrokovací období 1 rok.

Abychom použili pravidlo 72,
jednoduše vydělíme 72 číslem 6

a dostaneme číslo 12.

Tudíž bude trvat 12 let, než
se nám zdvojnásobí původní vklad

při sazbě 6 % a úrokovacím období 1 rok.

Zkontrolujeme si to.

Minule jsme se naučili jiný
způsob, jak takový příklad spočítat,

a to sice, že si položíme
logaritmus při libovolném základu ze 2...

ze 2 proto, že chceme
zDVOJnásobit náš vklad

...a ten vydělíme logaritmem
při tom samém základu z...

a v tomhle případě to
nebude 1,1, ale 1,06

...a jak už můžete vidět,
tenhle způsob je o něco složitější.

Vezmeme si kalkulačku,

logaritmus ze 2 děleno logaritmus z 1,06.
To vyjde 11,89, zhruba 11,9.

Po všem tomhle složitém
počítání nám tedy vyjde 11,9.

Opět se můžete přesvědčit,
že se jedná o velmi dobrý odhad.

A spočítat to vlevo je výrazně jednodušší,
než se počítat s tím vpravo,

dokonce bych řekl, že to vlevo
většina lidí zvládne spočítat v hlavě...

To je celkem působivé.

Abychom se ještě utvrdili v tom,
jak šikovné tohle pravidlo je,

tak jsem si připravil tuhle tabulku.

Mám tu různé úrokové sazby.

Tady je doba, za kterou
se mi skutečně zdvojnásobí vklad.

K tomu jsem použil rovnici s logaritmy,
abych zjistil, jak přesně dlouhá bude doba

ke zdvojení původního vkladu.

V tomto případě úročíme ročně,
takže jednotka je jeden rok.

Tedy při sazbě 1 % by nám zdvojení
vkladu trvalo nějakých 70 let,

při sazbě 25 % by nám to trvalo
jen něco málo přes 3 roky.

V tom druhém sloupci tedy máme
správnou, skutečnou dobu, označím ho modře.

Také jsem si k tomu vytvořil graf,
modrá křivka spojuje skutečné hodnoty.

Nezakreslil jsem tam úplně všechno,
začal jsem až u sazby 4 %.

Při sazbě 4 % bude trvat 17,6 let,
než se náš vklad zdvojnásobí.

Při sazbě 4 % je to 17,6 let,
je to tenhle modrý bod úplně vlevo.

Při sazbě 5 % bude trvat 14 let,
než se náš vklad zdvojnásobí.

Tohle vám také pomůže si uvědomit,
že když jde o složené úročení,

každé procento sazby je znát.

Při sazbě 2 % to trvá 35 let,
při sazbě 1 % to trvá 70 let,

váš vklad se vám při 2 % zdvojí
v poloviční době než při 1 %.

Je to tedy opravdu důležitá věc, zvláště,
když chcete svůj vklad výrazně znásobit.

Červeně máme odhady, které
jsem získal použitím pravidla 72.

Tudíž když 72 vydělíme 1 %,
dostaneme 72.

Když 72 vydělíme 4 %,
dostaneme 18.

Pravidlo 72 nám říká, že bude trvat
18 let, než se zdvojnásobí náš vklad.

při úrokové sazbě 4 %.

Ve skutečnosti to bude trvat 17,7 let,
což je ovšem opravdu blízko.

Tyto odhady jsem tedy
označil červeně.

Z těchto hodnot jsem také vytvořil křivku
a můžeme vidět, že si jsou velmi podobné.

Pro nízké úrokové sazby platí,

že pravidlo 72 lehce nadhodnocuje
dobu ke zdvojení vkladu,

kdežto u vyšších sazeb ji
naopak lehce podhodnocuje.

Kdybyste měli pochybnosti o tom,
jestli je 72 skutečně to nejlepší číslo,

k tomu jsem připravil
ten poslední sloupec.

Vynásobíme úrokovou sazbu
a skutečný čas ke zdvojení (modrá).

Vyjde nám několik různých čísel.

Pro nízké sazby se pohybujeme
okolo 69, pro hodně vysoké okolo 78.

Celkově je však poměrně
dobrý odhad právě 72.

Můžeme vidět, že 72 funguje dobře
jak u sazby 4 %, tak u sazby 25 %.

Většina z nás se většinu života
bude potýkat právě s takovými sazbami.

Snad se vám tohle bude hodit,

je to snadný způsob jak zjistit,
za jak dlouho se nám zdvojí vklad.

Zkusíme ještě jeden příklad.

Máme úrokovou sazbu 9 %
s úrokovacím obdobím 1 rok.

Za jak dlouho se nám zdvojí náš vklad?

Jednoduše, 72 děleno 9 se rovná 8 let,

za 8 let se nám zdvojí náš vklad.

Tohle byl jen odhad pomocí pravidla 72,
skutečná hodnota je 8,04 let.

Opět jsme tedy byli schopni z hlavy
udělat velmi přesný odhad.