Additionssætningen for sandsynligheder

Lad os sige, jeg har en pose og

jeg lægger nogle grønne terninger i posen

helt præcist 8 grønne terninger.

Jeg putter også nogle kugler i posen.

Lad os sige, jeg putter 9 kugler i.

Dette er de grønne kugler.

Jeg putter også gule terninger i posen.

Jeg putter 5 af dem.

Jeg putter også gule kugler i posen.

Lad os sige, vi tager 7 af dem.

Jeg har dem alle i den samme posen

og så ryster jeg posen og

hælder indholdet ud og ser hvilket
objekt der først falder ud af posen.

Det vi skal se på i denne video er:

Hvad er sandsynligheden for
at få de forskellige figurer?

Hvad er for eksempel sandsynligheden for

at få en terning i hvilken som helst farve?

Hvad er sandsynligheden
for at få en terning?

En måde at gøre det på er,

at finde ud af,

hvor mange lige sandsynlige udfald er der?

Vi har 8 + 9 er 17 + 5 er 22 + 7 er 29.

Vi har altså 29 objekter i posen.

Gjorde jeg det rigtigt?

Her er 14, ja, der er 29 objekter.

Lad os tegne alle de mulige udfald.

De er repræsenteret af denne firkant.

Det her er de forskellige mulige objekter.

Der er 29 objekter.

Der er 29 lige sandsynlige udfald
i mit eksperiment,

der kan komme ud af posen,
når jeg tømmer den.

Hvis vi går ud fra, at der er lige stor
chance for at få en terning og en kugle.

Hvor mange af dem er terninger?

Jeg har 8 grønne terninger
og 5 gule terninger.

Der er 13 terninger i alt.

Lad os tegne hændelsen terning.

Der er 13 terninger

Lad os tegne dem sådan her

Der er 13 terninger.

Dette er hændelsen terning.

Området, i ikke korrekt skala,
repræsenterer hændelsen terning.

Sandsynligheden for at få en terning er

antallet af ønskede udfald over…

Der er 13 mulige terninger, som alle er
lige sandsynlige for at komme ud af posen.

…over antallet af lige sandsynlige udfald,
som er 29 terninger og kugler.

Lad mig stille et nyt spørgsmål.

Hvad er sandsynligheden for at få gul?

Et gult objekt, en terning eller en kugle.

Hvor mange objekter opfylder vores krav?

Vi har 5 plus 7,
så 12 gule objekter i posen.

Der er 29 lige sandsynlige udfald

--Jeg bruger samme farve--

Ud af 29 lige sandsynlige udfald
er der 12 der opfylder vores krav.

Jeg tegner 12 her.

Dette er hændelsen af gule objekter

og der er 12 gule objekter.

Vi har 12 ud af de i alt 29 udfald.

Sandsynligheden for at få terning er 13/29.

Sandsynligheden for at få gul er 12/29.

Lad os stille et mere
interessant spørgsmål.

Hvad er sandsynligheden for,
at få en gul terning?

Jeg viser det med en gul terning,
da farven nu er vigtig.

Hvad er sandsynligheden for
at få en gul terning?

Der er 29 lige sandsynlige udfald.

Ud af de 29 lige sandsynlige udfald
er der 5 gule terninger.

Sandsynligheden er 5/29.

Hvor kan vi se det i dette Venn diagram?

Et Venn diagram er blot en måde
at visualisere sandsynligheder,

og det er interessant, når hændelser
overlapper eller ikke overlapper.

Nu skal vi bruge udfald,
der er i den gule hændelse,

så de er i denne hændelse

og udfald der er terninger.

Det område lige her,
hvor de to hændelser overlapper.

Dette område repræsenterer udfald,

der både er gule og terninger,

da de er i begge cirkler.

Lad mig skrive det herover.

Der er 5 objekter,
der er både gule og terninger.

Lad os nu spørge, og det her er nok
det mest interessante at spørge om.

Hvad er sandsynligheden for
at få gul eller terning i enhver farve?

Vi ved, nævneren stadig er 29.

Det er alle de mulige udfald i posen,

men hvilke af dem opfylder vores krav?

Der er 12 ting, der opfylder
vores krav om at være gul.

Det er hele denne cirkel.

12 ting opfylder kravet om at være gul.

Så vi kan skrive 12 her,
antallet af gule udfald,

men vi kan ikke bare
lægge antallet af terninger til,

da vi allerede har talt de 5,
der er gule som en del af de 12.

Der er 7 gule ting,
der ikke er terninger - kuglerne.

Der er 5 gule ting, der er terninger og

så er der 8 terninger, der ikke er gule.

Når vi tæller disse 12, antallet af gule,

tæller vi alt det her.

Vi kan ikke lægge alle terningerne til,

da vi så tæller den midterste del igen.

Vi kan derfor lægge antallet
af terninger til, + 13

og trække den midterste del fra, -5,

som er antallet af gule terninger.

Det føles underligt at
skrive ordet gul med grønt.

Antallet af gule terninger.

Lad os lige udregne det.

12 + 13 - 5 er hvad?

Det er 20.

Den er altså lig 20/29.

Mere interessant end selve svaret er at

udtrykke det med de andre sandsynligheder,
vi har fundet tidligere i videoen.

Vi kan omskrive denne brøk til

12/29 + 13/29 - 5/29

Dette er antallet af gule udfald
over mulige udfald,

altså sandsynligheden for at få gul.

Dette er antallet af terninger
over mulige udfald,

så sandsynligheden for at få terning.

Dette er antallet af gule tegninger
over mulige udfald.

Så minus sandsynligheden for
at få gul og terning.

Du kan prøve at lege lidt med tallene,

da de blot er et konkret eksempel.

Men vi kan gøre det mere generelt,

og det giver os en god fornemmelse
for sandsynlighedsregning.

Sandsynligheden for at et udfald,

som er en del af A eller en del af B

er det samme som
sandsynligheden for noget i A

plus sandsynligheden for noget i B

minus sandsynligheden for
noget der tilhører både A og B.

Det her er et meget nyttigt og kaldes for
additionsreglen for sandsynlighedsregning.

Men det er faktisk blot sund fornuft.

Grunden til at man ikke bare kan lægge
disse to sandsynligheder sammen

er at de måske overlapper.

Der er muligt at få dem begge.

Hvis du bare lægger dem sammen,

så tæller du overlappet to gange,

som vi så tidligere i denne video.

Man skal trække overlappet fra en gang,

så man ikke tæller det to gange.

Nogle gange har man sandsynligheder,

hvor der ikke er noget overlap.

Lad os sige, at dette er
mængden af alle udfald.

Dette er hændelse A.

Og det her er hændelse B.

I denne situation er der
ikke noget overlap.

Der er ikke noget udfald i både A og B.

I denne situation er sandsynligheden for
at få et udfald i A og B lig 0.

Der er intet overlap.

I denne situation kaldes
de to hændelser disjunkte.

Når hændelser er disjunkte,

så kan de ikke ske samtidig.

Der er ingen udfald der er i dem begge.

Når vi har disjunkte hændelser,

så kan man sige,
at P(A eller B) = P(A) + P(B)

fordi P(A og B) er lig 0.

Hvis hændelserne ikke er disjunkte,

så skal man trække overlappet fra.

Det nemmeste er nok at sige,

at man altid skal trække overlappet fra,

og hvis hændelserne er disjunkte,

så er P(A og B) lig med 0.