Additionssætningen for sandsynligheder

Lad os sige, jeg har en pose og

jeg lægger nogle grønne terninger i posen

helt præcist 8 grønne terninger.

Jeg putter også nogle kugler i posen.

Lad os sige, jeg putter 9 kugler i.

Dette er de grønne kugler.

Jeg putter også gule terninger i posen.

Jeg putter 5 af dem.

Jeg putter også gule kugler i posen.

Lad os sige, vi tager 7 af dem.

Jeg har dem alle i den samme posen

og så ryster jeg posen og

hælder indholdet ud og ser hvilket
objekt der først falder ud af posen.

Det vi skal se på i denne video er:

Hvad er sandsynligheden for
at få de forskellige figurer?

Hvad er for eksempel sandsynligheden for

at få en terning i hvilken som helst farve?

Hvad er sandsynligheden
for at få en terning?

En måde at gøre det på er,

at finde ud af,

hvor mange lige sandsynlige udfald er der?

Vi har 8 + 9 er 17 + 5 er 22 + 7 er 29.

Vi har altså 29 objekter i posen.

Gjorde jeg det rigtigt?

Her er 14, ja, der er 29 objekter.

Lad os tegne alle de mulige udfald.

De er repræsenteret af denne firkant.

Det her er de forskellige mulige objekter.

Der er 29 objekter.

Der er 29 lige sandsynlige udfald
i mit eksperiment,

der kan komme ud af posen,
når jeg tømmer den.

Hvis vi går ud fra, at der er lige stor
chance for at få en terning og en kugle.

Hvor mange af dem er terninger?

Jeg har 8 grønne terninger
og 5 gule terninger.

Der er 13 terninger i alt.

Lad os tegne hændelsen terning.

Der er 13 terninger

Lad os tegne dem sådan her

Der er 13 terninger.

Dette er hændelsen terning.

Området, i ikke korrekt skala,
repræsenterer hændelsen terning.

Sandsynligheden for at få en terning er

antallet af ønskede udfald over…

Der er 13 mulige terninger, som alle er
lige sandsynlige for at komme ud af posen.

…over antallet af lige sandsynlige udfald,
som er 29 terninger og kugler.

Lad mig stille et nyt spørgsmål.

Hvad er sandsynligheden for at få gul?

Et gult objekt, en terning eller en kugle.

Hvor mange objekter opfylder vores krav?

Vi har 5 plus 7,
så 12 gule objekter i posen.

Der er 29 lige sandsynlige udfald

--Jeg bruger samme farve--

Ud af 29 lige sandsynlige udfald
er der 12 der opfylder vores krav.

Jeg tegner 12 her.

Dette er hændelsen af gule objekter

og der er 12 gule objekter.

Vi har 12 ud af de i alt 29 udfald.

Sandsynligheden for at få terning er 13/29.

Sandsynligheden for at få gul er 12/29.

Lad os stille et mere
interessant spørgsmål.

Hvad er sandsynligheden for,
at få en gul terning?

Jeg viser det med en gul terning,
da farven nu er vigtig.

Hvad er sandsynligheden for
at få en gul terning?

Der er 29 lige sandsynlige udfald.

Ud af de 29 lige sandsynlige udfald
er der 5 gule terninger.

Sandsynligheden er 5/29.

Hvor kan vi se det i dette Venn diagram?

Et Venn diagram er blot en måde
at visualisere sandsynligheder,

og det er interessant, når hændelser
overlapper eller ikke overlapper.

Nu skal vi bruge udfald,
der er i den gule hændelse,

så de er i denne hændelse

og udfald der er terninger.

Det område lige her,
hvor de to hændelser overlapper.

Dette område repræsenterer udfald,

der både er gule og terninger,

da de er i begge cirkler.

Lad mig skrive det herover.

Der er 5 objekter,
der er både gule og terninger.

Lad os nu spørge, og det her er nok
det mest interessante at spørge om.

Hvad er sandsynligheden for
at få gul eller terning i enhver farve?

Vi ved, nævneren stadig er 29.

Det er alle de mulige udfald i posen,

men hvilke af dem opfylder vores krav?

Der er 12 ting, der opfylder
vores krav om at være gul.

Det er hele denne cirkel.

12 ting opfylder kravet om at være gul.

Så vi kan skrive 12 her,
antallet af gule udfald,

men vi kan ikke bare
lægge antallet af terninger til,

da vi allerede har talt de 5,
der er gule som en del af de 12.

Der er 7 gule ting,
der ikke er terninger - kuglerne.

Der er 5 gule ting, der er terninger og

så er der 8 terninger, der ikke er gule.

Når vi tæller disse 12, antallet af gule,

tæller vi alt det her.

Vi kan ikke lægge alle terningerne til,

da vi så tæller den midterste del igen.

Vi kan derfor lægge antallet
af terninger til, + 13

og trække den midterste del fra, -5,

som er antallet af gule terninger.

Det føles underligt at
skrive ordet gul med grønt.

Antallet af gule terninger.

Lad os lige udregne det.

12 + 13 - 5 er hvad?

Det er 20.

Den er altså lig 20/29.

Men hvad der er mere interessant er at

udtrykke hvad de andre sandsynligheder er

som vi fandt ud af tidligere i videoen

.

Vi kan genskrive den brøk herovre

som 12/29 plus 13/29 minus 5/29

og det er det totale antal af gule udfald

Det her var sandsynligheden for at få en gul

Det her var antallet af terninger og det totale antal udfald

Og det her er sandsynligheden for at få en terning

.

Og det her var sandsynligheden for at få en gul terning over det totale antal udfald

og det her var

minus muligheden for at få en gul og en terning

jeg kan skrive det på denne måde

Sandsynligheden for gul, gul skrevet med gul,

.

gul og at få en terning

Så det vi har her

og man kan lege med tallene

tallene jeg lige brugte som eksempel.

For at være mere konkret.

Men du kan se at det er generaliserbar ting

Hvis vi har sandsynligheden for et udfald eller et antal af udfald

lad os omskrive det

Sandsynligheden og jeg vil være lidt mere generel her

for det giver os en god ide om sandsynlighed

sandsynligheden for at få et udfald

af et særligt objekt, som er en del af A eller en del af B

er det samme som sandsynligheden for noget i A

plus sandsynligheden for noget i B

minus sandsynligheden for at få noget der tilhører både A og B

minus sandsynligheden for at det er en del af begge.

Det her er et meget brugbart resultat

og jeg tror at man sommetider kalder dette for "additionsregler for sandsynlighedsregning"

Men jeg vil lige vise jer noget der er helt almindelig sund fornuft

grunden til at man ikke bare kan lægge disse to sandsynligheder sammen

er at de måske har en fællesmængde

Der er en mulighed for at få begge dele

og hvis man bare lægger dem sammen

ville man tilføje fællesmængden flere gange

som vi allerede så tidligere i denne video

Man skal altså huske at trække den ene del af fællesmængden fra

så man ikke tæller den dobbelt.

Jeg vil komme med en ide mere

nogen gange har man ingen fællesmængde

Lad os sige at det her er

er en firkant med alle sandsynligheder

og det her er A

Det her er udfald der hører til A

og det her, jeg laver det lige i en anden farve

Det her er udfald der hører til B

I denne situation er der ingen fællesmængde

Der er ikke noget der er en del af A og B

I denne situation er sandsynligheden for at få noget fra A og B 0

Der er ingen fællesmængde

og den type udfald, eller disse to mængder

kalder man

"gensidigt udelukkende"

så hvis de er gensidigt udelukkende

kan de ikke forekomme på samme tid

der er altså intet udfald der dækker både A og B

og hvis ting er gensidigt udelukkende

så kan man ikke sige at sandsynligheden for A eller B er sandsynlighed A plus sandsynlighed B

fordi den ikke eksisterer

men hvis ting ikke er gensidigt udelukkende

skulle man trække fællesmængden fra

og det letteste, og den bedste måde at tænke over det på,

er at man altid skal trække fællemængden fra

og hvis ting er gensidigt udelukkende

er sandsynligheden for at få A og B naturligvis 0

.