Introduction to logarithm properties (part 2)

Welkom terug! Ik ga jullie nu de laatste twee eigenschappen van logaritmen zien.

Deze,

die ik zelf altijd behoorlijk voor de hand liggend heb gevonden.

Maar maak je geen zorgen als je daar anders over denkt.

Misschien kost het even wat tijd.

Ik adviseer je dan ook goed te experimenteren met deze eigenschappen,

want dat is de enige manier om ze echt goed te leren kennen.

En het doel van wiskunde is niet alleen maar het halen van het volgende examen,

of een 10 te halen op het volgende examen.

Het punt is dat je wiskunde leert begrijpen,

zodat je het later in je leven toe kan passen

zonder het steeds opnieuw te moeten leren.

De volgende eigenschap van logaritmen is als volgt:

stel dat ik A keer de logartime met grondtal B van C neem, als ik A keer dat hele ding neem,

dan is dat gelijk aan de logaritme met grondtal B van C tot de Ade macht.

Fascinerend!

Laten we eens een voorbeeld uitwerken

Stel dat ik 3 maal de logaritme met grondtal 2 van 8 heb.

Dan is dit volgens deze eigenschap

hetzelfde als de logaritme met grondtal 2 van 8 tot de 3de macht.

En dat is precies hetzelfde.

Tenminste, dat is hetzelfde als... we komen er wel achter.

Laten we eens kijken wat dit is.

3 maal de logaritme met grondtal.... Wat is de logaritme met grondtal 2 van 8?

De reden dat ik net even twijfelde was,

omdat ik elke keer als ik iets uit probeer te vinden,

ik zonder na te denken de rekenregels van logaritmen machtsverheffen wil gebruiken.

Dus dat probeer ik voorkomen.

Hoe dan ook, ik ga terug.

Wat is dit precies?

2 tot welke macht is 8?

2 tot de 3de macht is 8, toch?

Dus dat is 3.

We hebben deze 3 hier, dus 3 maal 3.

Dus dit ding hier zou gelijk moeten zijn aan 9.

Als die gelijk is aan 9,

dan weten we dat deze eigenschap in ieder geval werkt voor dit voorbeeld.

Je weet niet of het voor alle voorbeelden werkt

en om daar achter te komen kun je beter even kijken naar het bewijs dat we laten zien in andere films.

Maar dat is een meer gevorderd onderwerp.

Het belangrijkste voor nu is begrijpen hoe je het moet gebruiken.

Eens kijken, wat is 2 tot de 9de macht?

Het zal in ieder geval een groot getal zijn.

In feite weet ik al wat het is... Het is 256.

In de vorige film zijn we er achter gekomen dat 2 tot de

8ste gelijk is aan 256.

Dus 2 tot de 9de moet dan 512 zijn.

Dus 2 tot de 9de moet dan 512 zijn.

Dus als 8 tot de 3de ook 512 is zitten we goed, toch?

Omdat de logaritme met grondtal 2 van 512 gelijk zijn aan 9.

Wat is 8 tot de 3de?

64, toch.

8 in het kwadraat is 64, dus 9 tot de 3de is, even kijken,

4 maal 2 is drie,

6 maal 8, het lijkt in ieder geval op 512

Correct.

Er zijn meer manieren waarop je dit had kunnen doen.

Je had kunnen zeggen dat 8 tot de 3de

hetzelfde is als 2 tot de 9de.

Hoe weten we dat?

Nou, 8 tot de 3de

is gelijk aan twee tot de derde tot de derde, toch?

I heb zojuist achter herschreven.

En we weten van de regels van het machtsverheffen dat twee tot de derde tot de derde

gelijk is aan twee tot de negende.

En in feite is het deze eigenschap van machten, waarbij je kan vermenigvuldigen

als je de macht van iets neemt daar weer de macht van neemt

en in principe kun je dan gewoon de machten vermenigvuldigen

dat is de eigenschap van machten die leidt naar deze eigenschap van logaritmen.

Maar daar ga ik verder niet teveel op in in deze presentatie.

Er is een video waarin dit wat formeler bewezen wordt.

De volgende eigenschap van logaritmen ga ik laten zien,

dan zal ik alles nog even nalopen en misschien nog wat voorbeelden doen.

Dit is waarschijnlijk het meest nuttige logaritme als je verslaafd bent aan je rekenmachine.

En ik zal je laten zien waarom.

Laten we zeggen dat de logaritme met grondtal B heb van A

gelijk is aan de logaritme met grondtal C van A gedeeld door de logaritme met grondtal C van B.

Waarom is dit een handige eigenschap als je verslaafd bent aan je rekenmachine?

Stel, je zit in je klas en je krijgt een toets.

De docent zegt dat je je rekenmachine mag gebruiken,

en dat je met je rekenmachine de logaritme met grondtal 17 van 357.

Je gaat op zoek naar de logaritme met grondtal 17 op je rekenmachine,

maar vindt deze niet.

Want er is geen logaritme met grondtal 17 op je rekenmachine.

Je hebt waarschijnlijk of een 'log' knop

of een 'ln' knop.

En het is maar dat je weet, de 'log' knop op je rekenmachine,

is waarschijnlijk de logaritme met grondtal 10.

En de 'ln' knop op je rekenmachine

is de logaritme met grondtal 'e'.

Als je niet bekend bent met 'e', maak je geen zorgen,

maar het is 2.71 nog iets, nog iets.

Het is een getal.

Het is een verbazingwekkend getal, maar dit komt in een volgende presentatie ter sprake.

Maar goed, er zijn dus slechts logaritmen met 2 grondtallen op je rekenmachine.

Dus als je achter een logaritme met een ander grondtal wil komen,

moet je deze eigenschap gebruiken.

Dus als je dit opgekregen krijgt tijdens een examen,

kun je vol vertrouwen zeggen dat dit hetzelfde is als,

je zal je gele kleur kunnen gebruiken om met zelfvertrouwen te handelen,

logaritme met grondtal, we kunnen kiezen voor e of 10.

We kunnen zeggen dat het is hetzelfde is als de logaritme met grondtal 10 van 357

gedeeld door de logaritme met grondtal 10 van 17.

Dus je zou letterlijk 357 in kunnen typen in je rekenmachine

op de log knop drukken

en er komt dan bla bla bla uit.

Dan, kun je je hem leegmaken

of als je weet hoe je de haakjes op je rekenmachine moet gebruiken zou je dat kunnen doen.

Maar als je daarna 17 intikt op je rekenmachine

en op de log knop drukt krijg je weer bla bla bla.

Als je die vervolgens met elkaar deelt krijg je je antwoord.

Dit is dus een super handige eigenschap voor rekenmachine verslaafden.

Wederom ga ik er niet al te diep op in.

Volgens mij is deze het meest bruikbaar,

maar het is niet volledig...

het valt duidelijk niet onder de eigenschappen van machtsverheffen.

Het is niet heel erg intuitief,

dus het is misschien goed als je het bewijs eens bekijkt

als je niet gelooft waarom dit gebeurt.

Hoe dan ook, dit alles ter zijde,

en dit is waarschijnlijk degene die je het meest zal gebruiken in het dagelijks leven.

Ik gebruik dit nog steeds tijdens mijn werk.

Dat je maar even weet dat logaritmen handig zijn.

Laten we wat voorbeelden uitwerken.

Laten we even wat dingen in eenvoudiger vorm schrijven.

Dus als ik de logaritme met grondtal 2 van de wortel van..

Even iets verzinnen.

Van 32 gedeeld door de derde... Nee, ik neem gewoon de wortel.

Gedeeld door de wortel van 8.

Hoe kan ik dit wat minder rommelig herschrijven?

Laat me hier even over denken.

Dit is hetzelfde als, dit is gelijk aan...

Ik weet niet of ik verticaal of horizontaal moet bewegen.

Ik ga wel verticaal.

Dit is hetzelfde als de logaritme met grondtal 2 van 32

gedeeld door de wortel van 8 tot de 1/2de, oke?

En we weten van de eigenschappen van logaritmen, de derde die we geleerd hebben,

dat dat hetzelfde is als als een half

maal de logaritme van 32 gedeeld door de wortel van 8, toch?

I neem gewoon de exponent

en maak het de coëfficiënt van het hele ding.

Zoals we geleerd hebben aan het begin van deze film.

En nu hebben we een kleine quotient (resultaat van deling) hier, oke?

De logaritme van 32 delen door de logaritme van de wortel van 8.

We kunnen ons andere logaritme gebruiken

laten we die half er buiten houden.

Dat zal gelijk zijn aan, haakjes, de logaritme...

oh, ik vergeet het grondtal.

De logaritme met grondtal 2 van -32, toch?

Omdat dit een quotient is.

Min de logaritme met grondtal 2 van de wortel van 8.

Toch?

Eens kijken.

Hier hebben we wederom een wortel,

dus we zouden kunnen zeggen dat dit gelijk is aan een half keer de logaritme met grondtal 2 van 32.

Min deze 8 tot de halfde,

wat hetzelfde is als een half maal de logaritme met grondtal 2van 8.

Die eigenschap hebben we geleerd in het begin van deze film.

En dan kunnen we deze half van het begin verdelen.

Dit is dan gelijk aan een half maal het logaritme met grondtal 2 van 32 min 4

want we moeten die half verdelen

min een vierde logaritme met grondtal 2 van 8.

Dit is 5 maal een half min, dit is 3.

3 maal een vierde min 3 4de.

of 10 vierde min 3 vierde is 7 vierde.

Ik heb waarschijnlijk wat rekenfoutjes gemaakt, maar je ziet het idee.

Tot snel!