WEBVTT

00:00:01.090 --> 00:00:04.100
Welkom terug! Ik ga jullie nu de laatste twee eigenschappen van logaritmen zien.

00:00:04.100 --> 00:00:04.890
Deze,

00:00:04.900 --> 00:00:08.560
die ik zelf altijd behoorlijk voor de hand liggend heb gevonden.

00:00:08.560 --> 00:00:11.440
Maar maak je geen zorgen als je daar anders over denkt.

00:00:11.450 --> 00:00:13.110
Misschien kost het even wat tijd.

00:00:13.120 --> 00:00:15.690
Ik adviseer je dan ook goed te experimenteren met deze eigenschappen,

00:00:15.690 --> 00:00:18.210
want dat is de enige manier om ze echt goed te leren kennen.

00:00:18.220 --> 00:00:21.350
En het doel van wiskunde is niet alleen maar het halen van het volgende examen,

00:00:21.350 --> 00:00:22.470
of een 10 te halen op het volgende examen.

00:00:22.490 --> 00:00:24.840
Het punt is dat je wiskunde leert begrijpen,

00:00:24.850 --> 00:00:26.400
zodat je het later in je leven toe kan passen

00:00:26.400 --> 00:00:29.980
zonder het steeds opnieuw te moeten leren.

00:00:29.990 --> 00:00:31.260
De volgende eigenschap van logaritmen is als volgt:

00:00:31.270 --> 00:00:43.070
stel dat ik A keer de logartime met grondtal B van C neem, als ik A keer dat hele ding neem,

00:00:43.070 --> 00:00:59.160
dan is dat gelijk aan de logaritme met grondtal B van C tot de Ade macht.

00:00:59.170 --> 00:01:00.520
Fascinerend!

00:01:00.530 --> 00:01:02.290
Laten we eens een voorbeeld uitwerken

00:01:02.290 --> 00:01:17.210
Stel dat ik 3 maal de logaritme met grondtal 2 van 8 heb.

00:01:17.210 --> 00:01:18.850
Dan is dit volgens deze eigenschap

00:01:18.860 --> 00:01:30.240
hetzelfde als de logaritme met grondtal 2 van 8 tot de 3de macht.

00:01:30.250 --> 00:01:32.200
En dat is precies hetzelfde.

00:01:32.200 --> 00:01:38.150
Tenminste, dat is hetzelfde als... we komen er wel achter.

00:01:38.150 --> 00:01:39.490
Laten we eens kijken wat dit is.

00:01:39.500 --> 00:01:43.480
3 maal de logaritme met grondtal.... Wat is de logaritme met grondtal 2 van 8?

00:01:43.480 --> 00:01:45.540
De reden dat ik net even twijfelde was,

00:01:45.540 --> 00:01:48.060
omdat ik elke keer als ik iets uit probeer te vinden,

00:01:48.060 --> 00:01:52.770
ik zonder na te denken de rekenregels van logaritmen machtsverheffen wil gebruiken.

00:01:52.780 --> 00:01:54.200
Dus dat probeer ik voorkomen.

00:01:54.200 --> 00:01:55.660
Hoe dan ook, ik ga terug.

00:01:55.670 --> 00:01:57.350
Wat is dit precies?

00:01:57.350 --> 00:01:58.537
2 tot welke macht is 8?

00:01:58.537 --> 00:02:00.550
2 tot de 3de macht is 8, toch?

00:02:00.560 --> 00:02:01.880
Dus dat is 3.

00:02:01.890 --> 00:02:05.060
We hebben deze 3 hier, dus 3 maal 3.

00:02:05.060 --> 00:02:09.310
Dus dit ding hier zou gelijk moeten zijn aan 9.

00:02:09.310 --> 00:02:10.690
Als die gelijk is aan 9,

00:02:10.690 --> 00:02:12.960
dan weten we dat deze eigenschap in ieder geval werkt voor dit voorbeeld.

00:02:12.960 --> 00:02:14.570
Je weet niet of het voor alle voorbeelden werkt

00:02:14.580 --> 00:02:18.620
en om daar achter te komen kun je beter even kijken naar het bewijs dat we laten zien in andere films.

00:02:18.620 --> 00:02:20.960
Maar dat is een meer gevorderd onderwerp.

00:02:20.960 --> 00:02:24.480
Het belangrijkste voor nu is begrijpen hoe je het moet gebruiken.

00:02:24.490 --> 00:02:27.770
Eens kijken, wat is 2 tot de 9de macht?

00:02:27.770 --> 00:02:29.240
Het zal in ieder geval een groot getal zijn.

00:02:29.250 --> 00:02:32.740
In feite weet ik al wat het is... Het is 256.

00:02:32.740 --> 00:02:34.890
In de vorige film zijn we er achter gekomen dat 2 tot de

00:02:34.900 --> 00:02:38.110
8ste gelijk is aan 256.

00:02:38.110 --> 00:02:43.170
Dus 2 tot de 9de moet dan 512 zijn.

00:02:43.180 --> 00:02:44.880
Dus 2 tot de 9de moet dan 512 zijn.

00:02:44.880 --> 00:02:50.810
Dus als 8 tot de 3de ook 512 is zitten we goed, toch?

00:02:50.810 --> 00:02:57.770
Omdat de logaritme met grondtal 2 van 512 gelijk zijn aan 9.

00:02:57.780 --> 00:02:58.680
Wat is 8 tot de 3de?

00:02:58.680 --> 00:03:00.640
64, toch.

00:03:00.650 --> 00:03:05.430
8 in het kwadraat is 64, dus 9 tot de 3de is, even kijken,

00:03:05.430 --> 00:03:07.730
4 maal 2 is drie,

00:03:07.740 --> 00:03:10.410
6 maal 8, het lijkt in ieder geval op 512

00:03:10.410 --> 00:03:12.140
Correct.

00:03:12.150 --> 00:03:13.650
Er zijn meer manieren waarop je dit had kunnen doen.

00:03:13.650 --> 00:03:15.550
Je had kunnen zeggen dat 8 tot de 3de

00:03:15.560 --> 00:03:16.940
hetzelfde is als 2 tot de 9de.

00:03:16.940 --> 00:03:18.120
Hoe weten we dat?

00:03:18.130 --> 00:03:20.630
Nou, 8 tot de 3de

00:03:20.630 --> 00:03:25.230
is gelijk aan twee tot de derde tot de derde, toch?

00:03:25.240 --> 00:03:28.020
I heb zojuist achter herschreven.

00:03:28.030 --> 00:03:31.290
En we weten van de regels van het machtsverheffen dat twee tot de derde tot de derde

00:03:31.290 --> 00:03:35.280
gelijk is aan twee tot de negende.

00:03:35.280 --> 00:03:39.140
En in feite is het deze eigenschap van machten, waarbij je kan vermenigvuldigen

00:03:39.150 --> 00:03:41.380
als je de macht van iets neemt daar weer de macht van neemt

00:03:41.400 --> 00:03:44.000
en in principe kun je dan gewoon de machten vermenigvuldigen

00:03:44.020 --> 00:03:50.630
dat is de eigenschap van machten die leidt naar deze eigenschap van logaritmen.

00:03:50.650 --> 00:03:54.080
Maar daar ga ik verder niet teveel op in in deze presentatie.

00:03:54.090 --> 00:03:58.450
Er is een video waarin dit wat formeler bewezen wordt.

00:03:58.460 --> 00:04:01.820
De volgende eigenschap van logaritmen ga ik laten zien,

00:04:01.830 --> 00:04:04.580
dan zal ik alles nog even nalopen en misschien nog wat voorbeelden doen.

00:04:04.580 --> 00:04:11.570
Dit is waarschijnlijk het meest nuttige logaritme als je verslaafd bent aan je rekenmachine.

00:04:11.570 --> 00:04:13.690
En ik zal je laten zien waarom.

00:04:13.690 --> 00:04:26.380
Laten we zeggen dat de logaritme met grondtal B heb van A

00:04:26.390 --> 00:04:40.470
gelijk is aan de logaritme met grondtal C van A gedeeld door de logaritme met grondtal C van B.

00:04:40.480 --> 00:04:45.210
Waarom is dit een handige eigenschap als je verslaafd bent aan je rekenmachine?

00:04:45.210 --> 00:04:48.340
Stel, je zit in je klas en je krijgt een toets.

00:04:48.350 --> 00:04:51.160
De docent zegt dat je je rekenmachine mag gebruiken,

00:04:51.160 --> 00:05:03.380
en dat je met je rekenmachine de logaritme met grondtal 17 van 357.

00:05:03.380 --> 00:05:08.460
Je gaat op zoek naar de logaritme met grondtal 17 op je rekenmachine,

00:05:08.470 --> 00:05:09.520
maar vindt deze niet.

00:05:09.520 --> 00:05:14.140
Want er is geen logaritme met grondtal 17 op je rekenmachine.

00:05:14.140 --> 00:05:17.400
Je hebt waarschijnlijk of een 'log' knop

00:05:17.410 --> 00:05:19.040
of een 'ln' knop.

00:05:19.050 --> 00:05:21.800
En het is maar dat je weet, de 'log' knop op je rekenmachine,

00:05:21.800 --> 00:05:24.510
is waarschijnlijk de logaritme met grondtal 10.

00:05:24.510 --> 00:05:28.460
En de 'ln' knop op je rekenmachine

00:05:28.470 --> 00:05:29.550
is de logaritme met grondtal 'e'.

00:05:29.560 --> 00:05:31.730
Als je niet bekend bent met 'e', maak je geen zorgen,

00:05:31.730 --> 00:05:34.070
maar het is 2.71 nog iets, nog iets.

00:05:34.070 --> 00:05:35.030
Het is een getal.

00:05:35.040 --> 00:05:40.870
Het is een verbazingwekkend getal, maar dit komt in een volgende presentatie ter sprake.

00:05:40.870 --> 00:05:44.570
Maar goed, er zijn dus slechts logaritmen met 2 grondtallen op je rekenmachine.

00:05:44.570 --> 00:05:48.360
Dus als je achter een logaritme met een ander grondtal wil komen,

00:05:48.370 --> 00:05:50.010
moet je deze eigenschap gebruiken.

00:05:50.010 --> 00:05:53.160
Dus als je dit opgekregen krijgt tijdens een examen,

00:05:53.170 --> 00:05:57.540
kun je vol vertrouwen zeggen dat dit hetzelfde is als,

00:05:57.540 --> 00:06:01.880
je zal je gele kleur kunnen gebruiken om met zelfvertrouwen te handelen,

00:06:01.880 --> 00:06:05.650
logaritme met grondtal, we kunnen kiezen voor e of 10.

00:06:05.660 --> 00:06:11.280
We kunnen zeggen dat het is hetzelfde is als de logaritme met grondtal 10 van 357

00:06:11.290 --> 00:06:15.800
gedeeld door de logaritme met grondtal 10 van 17.

00:06:15.810 --> 00:06:19.740
Dus je zou letterlijk 357 in kunnen typen in je rekenmachine

00:06:19.740 --> 00:06:20.420
op de log knop drukken

00:06:20.420 --> 00:06:22.220
en er komt dan bla bla bla uit.

00:06:22.230 --> 00:06:23.220
Dan, kun je je hem leegmaken

00:06:23.220 --> 00:06:25.530
of als je weet hoe je de haakjes op je rekenmachine moet gebruiken zou je dat kunnen doen.

00:06:25.540 --> 00:06:28.220
Maar als je daarna 17 intikt op je rekenmachine

00:06:28.220 --> 00:06:29.520
en op de log knop drukt krijg je weer bla bla bla.

00:06:29.520 --> 00:06:31.390
Als je die vervolgens met elkaar deelt krijg je je antwoord.

00:06:31.390 --> 00:06:37.360
Dit is dus een super handige eigenschap voor rekenmachine verslaafden.

00:06:37.370 --> 00:06:40.920
Wederom ga ik er niet al te diep op in.

00:06:40.930 --> 00:06:43.690
Volgens mij is deze het meest bruikbaar,

00:06:43.690 --> 00:06:48.120
maar het is niet volledig...

00:06:48.120 --> 00:06:50.040
het valt duidelijk niet onder de eigenschappen van machtsverheffen.

00:06:50.050 --> 00:06:53.930
Het is niet heel erg intuitief,

00:06:53.930 --> 00:06:55.350
dus het is misschien goed als je het bewijs eens bekijkt

00:06:55.360 --> 00:06:58.320
als je niet gelooft waarom dit gebeurt.

00:06:58.320 --> 00:07:00.130
Hoe dan ook, dit alles ter zijde,

00:07:00.130 --> 00:07:03.120
en dit is waarschijnlijk degene die je het meest zal gebruiken in het dagelijks leven.

00:07:03.120 --> 00:07:05.840
Ik gebruik dit nog steeds tijdens mijn werk.

00:07:05.850 --> 00:07:09.390
Dat je maar even weet dat logaritmen handig zijn.

00:07:09.390 --> 00:07:14.100
Laten we wat voorbeelden uitwerken.

00:07:14.110 --> 00:07:19.220
Laten we even wat dingen in eenvoudiger vorm schrijven.

00:07:19.240 --> 00:07:36.520
Dus als ik de logaritme met grondtal 2 van de wortel van..

00:07:36.520 --> 00:07:37.850
Even iets verzinnen.

00:07:37.860 --> 00:07:50.550
Van 32 gedeeld door de derde... Nee, ik neem gewoon de wortel.

00:07:50.560 --> 00:07:54.120
Gedeeld door de wortel van 8.

00:07:54.120 --> 00:07:59.080
Hoe kan ik dit wat minder rommelig herschrijven?

00:07:59.080 --> 00:08:00.180
Laat me hier even over denken.

00:08:00.190 --> 00:08:04.450
Dit is hetzelfde als, dit is gelijk aan...

00:08:04.450 --> 00:08:05.790
Ik weet niet of ik verticaal of horizontaal moet bewegen.

00:08:05.800 --> 00:08:07.310
Ik ga wel verticaal.

00:08:07.310 --> 00:08:13.120
Dit is hetzelfde als de logaritme met grondtal 2 van 32

00:08:13.130 --> 00:08:17.740
gedeeld door de wortel van 8 tot de 1/2de, oke?

00:08:17.750 --> 00:08:21.130
En we weten van de eigenschappen van logaritmen, de derde die we geleerd hebben,

00:08:21.140 --> 00:08:25.910
dat dat hetzelfde is als als een half

00:08:25.920 --> 00:08:33.830
maal de logaritme van 32 gedeeld door de wortel van 8, toch?

00:08:33.840 --> 00:08:34.840
I neem gewoon de exponent

00:08:34.840 --> 00:08:36.570
en maak het de coëfficiënt van het hele ding.

00:08:36.580 --> 00:08:39.400
Zoals we geleerd hebben aan het begin van deze film.

00:08:39.400 --> 00:08:41.640
En nu hebben we een kleine quotient (resultaat van deling) hier, oke?

00:08:41.640 --> 00:08:45.330
De logaritme van 32 delen door de logaritme van de wortel van 8.

00:08:45.340 --> 00:08:47.020
We kunnen ons andere logaritme gebruiken

00:08:47.020 --> 00:08:49.470
laten we die half er buiten houden.

00:08:49.480 --> 00:08:56.470
Dat zal gelijk zijn aan, haakjes, de logaritme...

00:08:56.470 --> 00:08:57.580
oh, ik vergeet het grondtal.

00:08:57.580 --> 00:09:02.480
De logaritme met grondtal 2 van -32, toch?

00:09:02.490 --> 00:09:04.000
Omdat dit een quotient is.

00:09:04.000 --> 00:09:11.310
Min de logaritme met grondtal 2 van de wortel van 8.

00:09:11.320 --> 00:09:12.650
Toch?

00:09:12.650 --> 00:09:13.400
Eens kijken.

00:09:13.400 --> 00:09:15.860
Hier hebben we wederom een wortel,

00:09:15.870 --> 00:09:22.190
dus we zouden kunnen zeggen dat dit gelijk is aan een half keer de logaritme met grondtal 2 van 32.

00:09:22.190 --> 00:09:24.560
Min deze 8 tot de halfde,

00:09:24.560 --> 00:09:28.850
wat hetzelfde is als een half maal de logaritme met grondtal 2van 8.

00:09:28.860 --> 00:09:31.380
Die eigenschap hebben we geleerd in het begin van deze film.

00:09:31.380 --> 00:09:33.740
En dan kunnen we deze half van het begin verdelen.

00:09:33.750 --> 00:09:42.170
Dit is dan gelijk aan een half maal het logaritme met grondtal 2 van 32 min 4

00:09:42.170 --> 00:09:43.800
want we moeten die half verdelen

00:09:43.800 --> 00:09:46.840
min een vierde logaritme met grondtal 2 van 8.

00:09:46.850 --> 00:09:52.490
Dit is 5 maal een half min, dit is 3.

00:09:52.500 --> 00:09:55.120
3 maal een vierde min 3 4de.

00:09:55.120 --> 00:09:59.440
of 10 vierde min 3 vierde is 7 vierde.

00:09:59.440 --> 00:10:03.140
Ik heb waarschijnlijk wat rekenfoutjes gemaakt, maar je ziet het idee.

00:10:03.140 --> 00:10:04.720
Tot snel!