1
00:00:01,090 --> 00:00:04,100
Welkom terug! Ik ga jullie nu de laatste twee eigenschappen van logaritmen zien.

2
00:00:04,100 --> 00:00:04,890
Deze,

3
00:00:04,900 --> 00:00:08,560
die ik zelf altijd behoorlijk voor de hand liggend heb gevonden.

4
00:00:08,560 --> 00:00:11,440
Maar maak je geen zorgen als je daar anders over denkt.

5
00:00:11,450 --> 00:00:13,110
Misschien kost het even wat tijd.

6
00:00:13,120 --> 00:00:15,690
Ik adviseer je dan ook goed te experimenteren met deze eigenschappen,

7
00:00:15,690 --> 00:00:18,210
want dat is de enige manier om ze echt goed te leren kennen.

8
00:00:18,220 --> 00:00:21,350
En het doel van wiskunde is niet alleen maar het halen van het volgende examen,

9
00:00:21,350 --> 00:00:22,470
of een 10 te halen op het volgende examen.

10
00:00:22,490 --> 00:00:24,840
Het punt is dat je wiskunde leert begrijpen,

11
00:00:24,850 --> 00:00:26,400
zodat je het later in je leven toe kan passen

12
00:00:26,400 --> 00:00:29,980
zonder het steeds opnieuw te moeten leren.

13
00:00:29,990 --> 00:00:31,260
De volgende eigenschap van logaritmen is als volgt:

14
00:00:31,270 --> 00:00:43,070
stel dat ik A keer de logartime met grondtal B van C neem, als ik A keer dat hele ding neem,

15
00:00:43,070 --> 00:00:59,160
dan is dat gelijk aan de logaritme met grondtal B van C tot de Ade macht.

16
00:00:59,170 --> 00:01:00,520
Fascinerend!

17
00:01:00,530 --> 00:01:02,290
Laten we eens een voorbeeld uitwerken

18
00:01:02,290 --> 00:01:17,210
Stel dat ik 3 maal de logaritme met grondtal 2 van 8 heb.

19
00:01:17,210 --> 00:01:18,850
Dan is dit volgens deze eigenschap

20
00:01:18,860 --> 00:01:30,240
hetzelfde als de logaritme met grondtal 2 van 8 tot de 3de macht.

21
00:01:30,250 --> 00:01:32,200
En dat is precies hetzelfde.

22
00:01:32,200 --> 00:01:38,150
Tenminste, dat is hetzelfde als... we komen er wel achter.

23
00:01:38,150 --> 00:01:39,490
Laten we eens kijken wat dit is.

24
00:01:39,500 --> 00:01:43,480
3 maal de logaritme met grondtal.... Wat is de logaritme met grondtal 2 van 8?

25
00:01:43,480 --> 00:01:45,540
De reden dat ik net even twijfelde was,

26
00:01:45,540 --> 00:01:48,060
omdat ik elke keer als ik iets uit probeer te vinden,

27
00:01:48,060 --> 00:01:52,770
ik zonder na te denken de rekenregels van logaritmen machtsverheffen wil gebruiken.

28
00:01:52,780 --> 00:01:54,200
Dus dat probeer ik voorkomen.

29
00:01:54,200 --> 00:01:55,660
Hoe dan ook, ik ga terug.

30
00:01:55,670 --> 00:01:57,350
Wat is dit precies?

31
00:01:57,350 --> 00:01:58,537
2 tot welke macht is 8?

32
00:01:58,537 --> 00:02:00,550
2 tot de 3de macht is 8, toch?

33
00:02:00,560 --> 00:02:01,880
Dus dat is 3.

34
00:02:01,890 --> 00:02:05,060
We hebben deze 3 hier, dus 3 maal 3.

35
00:02:05,060 --> 00:02:09,310
Dus dit ding hier zou gelijk moeten zijn aan 9.

36
00:02:09,310 --> 00:02:10,690
Als die gelijk is aan 9,

37
00:02:10,690 --> 00:02:12,960
dan weten we dat deze eigenschap in ieder geval werkt voor dit voorbeeld.

38
00:02:12,960 --> 00:02:14,570
Je weet niet of het voor alle voorbeelden werkt

39
00:02:14,580 --> 00:02:18,620
en om daar achter te komen kun je beter even kijken naar het bewijs dat we laten zien in andere films.

40
00:02:18,620 --> 00:02:20,960
Maar dat is een meer gevorderd onderwerp.

41
00:02:20,960 --> 00:02:24,480
Het belangrijkste voor nu is begrijpen hoe je het moet gebruiken.

42
00:02:24,490 --> 00:02:27,770
Eens kijken, wat is 2 tot de 9de macht?

43
00:02:27,770 --> 00:02:29,240
Het zal in ieder geval een groot getal zijn.

44
00:02:29,250 --> 00:02:32,740
In feite weet ik al wat het is... Het is 256.

45
00:02:32,740 --> 00:02:34,890
In de vorige film zijn we er achter gekomen dat 2 tot de

46
00:02:34,900 --> 00:02:38,110
8ste gelijk is aan 256.

47
00:02:38,110 --> 00:02:43,170
Dus 2 tot de 9de moet dan 512 zijn.

48
00:02:43,180 --> 00:02:44,880
Dus 2 tot de 9de moet dan 512 zijn.

49
00:02:44,880 --> 00:02:50,810
Dus als 8 tot de 3de ook 512 is zitten we goed, toch?

50
00:02:50,810 --> 00:02:57,770
Omdat de logaritme met grondtal 2 van 512 gelijk zijn aan 9.

51
00:02:57,780 --> 00:02:58,680
Wat is 8 tot de 3de?

52
00:02:58,680 --> 00:03:00,640
64, toch.

53
00:03:00,650 --> 00:03:05,430
8 in het kwadraat is 64, dus 9 tot de 3de is, even kijken,

54
00:03:05,430 --> 00:03:07,730
4 maal 2 is drie,

55
00:03:07,740 --> 00:03:10,410
6 maal 8, het lijkt in ieder geval op 512

56
00:03:10,410 --> 00:03:12,140
Correct.

57
00:03:12,150 --> 00:03:13,650
Er zijn meer manieren waarop je dit had kunnen doen.

58
00:03:13,650 --> 00:03:15,550
Je had kunnen zeggen dat 8 tot de 3de

59
00:03:15,560 --> 00:03:16,940
hetzelfde is als 2 tot de 9de.

60
00:03:16,940 --> 00:03:18,120
Hoe weten we dat?

61
00:03:18,130 --> 00:03:20,630
Nou, 8 tot de 3de

62
00:03:20,630 --> 00:03:25,230
is gelijk aan twee tot de derde tot de derde, toch?

63
00:03:25,240 --> 00:03:28,020
I heb zojuist achter herschreven.

64
00:03:28,030 --> 00:03:31,290
En we weten van de regels van het machtsverheffen dat twee tot de derde tot de derde

65
00:03:31,290 --> 00:03:35,280
gelijk is aan twee tot de negende.

66
00:03:35,280 --> 00:03:39,140
En in feite is het deze eigenschap van machten, waarbij je kan vermenigvuldigen

67
00:03:39,150 --> 00:03:41,380
als je de macht van iets neemt daar weer de macht van neemt

68
00:03:41,400 --> 00:03:44,000
en in principe kun je dan gewoon de machten vermenigvuldigen

69
00:03:44,020 --> 00:03:50,630
dat is de eigenschap van machten die leidt naar deze eigenschap van logaritmen.

70
00:03:50,650 --> 00:03:54,080
Maar daar ga ik verder niet teveel op in in deze presentatie.

71
00:03:54,090 --> 00:03:58,450
Er is een video waarin dit wat formeler bewezen wordt.

72
00:03:58,460 --> 00:04:01,820
De volgende eigenschap van logaritmen ga ik laten zien,

73
00:04:01,830 --> 00:04:04,580
dan zal ik alles nog even nalopen en misschien nog wat voorbeelden doen.

74
00:04:04,580 --> 00:04:11,570
Dit is waarschijnlijk het meest nuttige logaritme als je verslaafd bent aan je rekenmachine.

75
00:04:11,570 --> 00:04:13,690
En ik zal je laten zien waarom.

76
00:04:13,690 --> 00:04:26,380
Laten we zeggen dat de logaritme met grondtal B heb van A

77
00:04:26,390 --> 00:04:40,470
gelijk is aan de logaritme met grondtal C van A gedeeld door de logaritme met grondtal C van B.

78
00:04:40,480 --> 00:04:45,210
Waarom is dit een handige eigenschap als je verslaafd bent aan je rekenmachine?

79
00:04:45,210 --> 00:04:48,340
Stel, je zit in je klas en je krijgt een toets.

80
00:04:48,350 --> 00:04:51,160
De docent zegt dat je je rekenmachine mag gebruiken,

81
00:04:51,160 --> 00:05:03,380
en dat je met je rekenmachine de logaritme met grondtal 17 van 357.

82
00:05:03,380 --> 00:05:08,460
Je gaat op zoek naar de logaritme met grondtal 17 op je rekenmachine,

83
00:05:08,470 --> 00:05:09,520
maar vindt deze niet.

84
00:05:09,520 --> 00:05:14,140
Want er is geen logaritme met grondtal 17 op je rekenmachine.

85
00:05:14,140 --> 00:05:17,400
Je hebt waarschijnlijk of een 'log' knop

86
00:05:17,410 --> 00:05:19,040
of een 'ln' knop.

87
00:05:19,050 --> 00:05:21,800
En het is maar dat je weet, de 'log' knop op je rekenmachine,

88
00:05:21,800 --> 00:05:24,510
is waarschijnlijk de logaritme met grondtal 10.

89
00:05:24,510 --> 00:05:28,460
En de 'ln' knop op je rekenmachine

90
00:05:28,470 --> 00:05:29,550
is de logaritme met grondtal 'e'.

91
00:05:29,560 --> 00:05:31,730
Als je niet bekend bent met 'e', maak je geen zorgen,

92
00:05:31,730 --> 00:05:34,070
maar het is 2.71 nog iets, nog iets.

93
00:05:34,070 --> 00:05:35,030
Het is een getal.

94
00:05:35,040 --> 00:05:40,870
Het is een verbazingwekkend getal, maar dit komt in een volgende presentatie ter sprake.

95
00:05:40,870 --> 00:05:44,570
Maar goed, er zijn dus slechts logaritmen met 2 grondtallen op je rekenmachine.

96
00:05:44,570 --> 00:05:48,360
Dus als je achter een logaritme met een ander grondtal wil komen,

97
00:05:48,370 --> 00:05:50,010
moet je deze eigenschap gebruiken.

98
00:05:50,010 --> 00:05:53,160
Dus als je dit opgekregen krijgt tijdens een examen,

99
00:05:53,170 --> 00:05:57,540
kun je vol vertrouwen zeggen dat dit hetzelfde is als,

100
00:05:57,540 --> 00:06:01,880
je zal je gele kleur kunnen gebruiken om met zelfvertrouwen te handelen,

101
00:06:01,880 --> 00:06:05,650
logaritme met grondtal, we kunnen kiezen voor e of 10.

102
00:06:05,660 --> 00:06:11,280
We kunnen zeggen dat het is hetzelfde is als de logaritme met grondtal 10 van 357

103
00:06:11,290 --> 00:06:15,800
gedeeld door de logaritme met grondtal 10 van 17.

104
00:06:15,810 --> 00:06:19,740
Dus je zou letterlijk 357 in kunnen typen in je rekenmachine

105
00:06:19,740 --> 00:06:20,420
op de log knop drukken

106
00:06:20,420 --> 00:06:22,220
en er komt dan bla bla bla uit.

107
00:06:22,230 --> 00:06:23,220
Dan, kun je je hem leegmaken

108
00:06:23,220 --> 00:06:25,530
of als je weet hoe je de haakjes op je rekenmachine moet gebruiken zou je dat kunnen doen.

109
00:06:25,540 --> 00:06:28,220
Maar als je daarna 17 intikt op je rekenmachine

110
00:06:28,220 --> 00:06:29,520
en op de log knop drukt krijg je weer bla bla bla.

111
00:06:29,520 --> 00:06:31,390
Als je die vervolgens met elkaar deelt krijg je je antwoord.

112
00:06:31,390 --> 00:06:37,360
Dit is dus een super handige eigenschap voor rekenmachine verslaafden.

113
00:06:37,370 --> 00:06:40,920
Wederom ga ik er niet al te diep op in.

114
00:06:40,930 --> 00:06:43,690
Volgens mij is deze het meest bruikbaar,

115
00:06:43,690 --> 00:06:48,120
maar het is niet volledig...

116
00:06:48,120 --> 00:06:50,040
het valt duidelijk niet onder de eigenschappen van machtsverheffen.

117
00:06:50,050 --> 00:06:53,930
Het is niet heel erg intuitief,

118
00:06:53,930 --> 00:06:55,350
dus het is misschien goed als je het bewijs eens bekijkt

119
00:06:55,360 --> 00:06:58,320
als je niet gelooft waarom dit gebeurt.

120
00:06:58,320 --> 00:07:00,130
Hoe dan ook, dit alles ter zijde,

121
00:07:00,130 --> 00:07:03,120
en dit is waarschijnlijk degene die je het meest zal gebruiken in het dagelijks leven.

122
00:07:03,120 --> 00:07:05,840
Ik gebruik dit nog steeds tijdens mijn werk.

123
00:07:05,850 --> 00:07:09,390
Dat je maar even weet dat logaritmen handig zijn.

124
00:07:09,390 --> 00:07:14,100
Laten we wat voorbeelden uitwerken.

125
00:07:14,110 --> 00:07:19,220
Laten we even wat dingen in eenvoudiger vorm schrijven.

126
00:07:19,240 --> 00:07:36,520
Dus als ik de logaritme met grondtal 2 van de wortel van..

127
00:07:36,520 --> 00:07:37,850
Even iets verzinnen.

128
00:07:37,860 --> 00:07:50,550
Van 32 gedeeld door de derde... Nee, ik neem gewoon de wortel.

129
00:07:50,560 --> 00:07:54,120
Gedeeld door de wortel van 8.

130
00:07:54,120 --> 00:07:59,080
Hoe kan ik dit wat minder rommelig herschrijven?

131
00:07:59,080 --> 00:08:00,180
Laat me hier even over denken.

132
00:08:00,190 --> 00:08:04,450
Dit is hetzelfde als, dit is gelijk aan...

133
00:08:04,450 --> 00:08:05,790
Ik weet niet of ik verticaal of horizontaal moet bewegen.

134
00:08:05,800 --> 00:08:07,310
Ik ga wel verticaal.

135
00:08:07,310 --> 00:08:13,120
Dit is hetzelfde als de logaritme met grondtal 2 van 32

136
00:08:13,130 --> 00:08:17,740
gedeeld door de wortel van 8 tot de 1/2de, oke?

137
00:08:17,750 --> 00:08:21,130
En we weten van de eigenschappen van logaritmen, de derde die we geleerd hebben,

138
00:08:21,140 --> 00:08:25,910
dat dat hetzelfde is als als een half

139
00:08:25,920 --> 00:08:33,830
maal de logaritme van 32 gedeeld door de wortel van 8, toch?

140
00:08:33,840 --> 00:08:34,840
I neem gewoon de exponent

141
00:08:34,840 --> 00:08:36,570
en maak het de coëfficiënt van het hele ding.

142
00:08:36,580 --> 00:08:39,400
Zoals we geleerd hebben aan het begin van deze film.

143
00:08:39,400 --> 00:08:41,640
En nu hebben we een kleine quotient (resultaat van deling) hier, oke?

144
00:08:41,640 --> 00:08:45,330
De logaritme van 32 delen door de logaritme van de wortel van 8.

145
00:08:45,340 --> 00:08:47,020
We kunnen ons andere logaritme gebruiken

146
00:08:47,020 --> 00:08:49,470
laten we die half er buiten houden.

147
00:08:49,480 --> 00:08:56,470
Dat zal gelijk zijn aan, haakjes, de logaritme...

148
00:08:56,470 --> 00:08:57,580
oh, ik vergeet het grondtal.

149
00:08:57,580 --> 00:09:02,480
De logaritme met grondtal 2 van -32, toch?

150
00:09:02,490 --> 00:09:04,000
Omdat dit een quotient is.

151
00:09:04,000 --> 00:09:11,310
Min de logaritme met grondtal 2 van de wortel van 8.

152
00:09:11,320 --> 00:09:12,650
Toch?

153
00:09:12,650 --> 00:09:13,400
Eens kijken.

154
00:09:13,400 --> 00:09:15,860
Hier hebben we wederom een wortel,

155
00:09:15,870 --> 00:09:22,190
dus we zouden kunnen zeggen dat dit gelijk is aan een half keer de logaritme met grondtal 2 van 32.

156
00:09:22,190 --> 00:09:24,560
Min deze 8 tot de halfde,

157
00:09:24,560 --> 00:09:28,850
wat hetzelfde is als een half maal de logaritme met grondtal 2van 8.

158
00:09:28,860 --> 00:09:31,380
Die eigenschap hebben we geleerd in het begin van deze film.

159
00:09:31,380 --> 00:09:33,740
En dan kunnen we deze half van het begin verdelen.

160
00:09:33,750 --> 00:09:42,170
Dit is dan gelijk aan een half maal het logaritme met grondtal 2 van 32 min 4

161
00:09:42,170 --> 00:09:43,800
want we moeten die half verdelen

162
00:09:43,800 --> 00:09:46,840
min een vierde logaritme met grondtal 2 van 8.

163
00:09:46,850 --> 00:09:52,490
Dit is 5 maal een half min, dit is 3.

164
00:09:52,500 --> 00:09:55,120
3 maal een vierde min 3 4de.

165
00:09:55,120 --> 00:09:59,440
of 10 vierde min 3 vierde is 7 vierde.

166
00:09:59,440 --> 00:10:03,140
Ik heb waarschijnlijk wat rekenfoutjes gemaakt, maar je ziet het idee.

167
00:10:03,140 --> 00:10:04,720
Tot snel!