Inverse Trig Functions: Arcsin

Se ti dovessi incontrare per strada e ti dicessi: per favore,

dimmi quanto --- oh, non volevo scrivere cosi' spesso --- per favore

dimmi quant'e' il seno di π/4.

E, ovviamente, stiamo assumendo di aver a che fare con i radianti.

Tu o lo sai a memoria o disegni

la circonferenza unitaria.

Non e' la piu' bella circonferenza unitaria del mondo,

ma ha capito.

Andresti su π/4 radianti, che e'

come dire 45°.

Disegneresti quel raggio unitario.

E il seno e' definito come la coordinata y

sulla circonferenza unitaria.

Quindi vorresti semplicemente conoscere questo valore qui.

E diresti immediatamente: Ok.

Questo e' 45°.

Fammi disegnare il triangolo un po' piu' grande.

Il triangolo e' fatto cosi'.

Questo e' 45.

Questo e' 45.

Questo e' 90.

E sai risolvere il triangolo 45-45-90.

L'ipotenusa e' 1.

Questa e' x.

Questa e' x.

Saranno lo stesso valore.

Questo e' un triangolo isoscele, giusto?

Gli angoli della base sono uguali.

Quindi dici: guarda, x^2 + x^2 = 1^2,

che e' semplicemente 1.

2x^2 = 1.

x^2 = 1/2.

x = √(1/2), che e'

1/√2.

Posso metterlo in forma razionale moltiplicandolo per

√(2) / 2.

E ottengo x = √(2) / 2.

Quindi quest'altezza qui e' √(2)/2.

E se volessi conoscere anche questa distanza,

sarebbe sempre la stessa cosa.

Ma ci interessava solo l'altezza.

Perche' il valore del seno, il seno di questo, e'

semplicemente quest'altezza qui.

La coordinata y.

E abbiamo ottenuto √(2) / 2.

Questo e' solo ripasso.

L'abbiamo imparato nel video della circonferenza unitaria.

Ma se qualcun altro --- diciamo che un altro giorno vengo

da te e ti dico: per favore, dimmi quant'e'

l'arcoseno della radice quadrata di 2 fratto 2.

Cos'e' l'arcoseno?

E sei perplesso.

Sei tipo: io lo so cos'e' il seno di un angolo, ma questa

e' una qualche funzione trigonometrica nuova che si e' inventato Sal.

Tutto quello che devi realizzare, quando hai questa parola "arco"

di fronte --- questo alle volte e' anche

chiamato l'inverso del seno.

Sarebbe potuto essere ugualmente riscritto come: quant'e'

l'inverso del seno della radice quadrata di 2 su 2?

Tutto quello che sta chiedendo e' di quale angolo dovrei

prendere il seno in modo da ottenere il valore √(2)/2?

Anche questa chiede di quale angolo dovrei prendere il seno

in modo da ottenere √(2)/2.

Potrei riscrivere entrambe queste affermazioni dicendo

radice --- fammelo fare.

Potrei riscrivere entrambe queste affermazioni come se dicessero seno

di cosa e; uguale a √(2)/2.

E questa, penso, e' una domanda molto piu' semplice

a cui rispondere.

Seno di cosa e' √(2)/2?

Beh, ho appena calcolato che il seno di π/4 e'

√(2)/2.

Quindi, in questo caso, so che il seno di π/4 e' uguale

a √(2)/2.

Quindi il mio punto interrogativo e' π/4.

Oppure l'avrei potuto riscrivere come, l'arcoseno --- scusa ---

arcsin(√(2)/2) = π/4.

Adesso potresti dire: quindi, giusto come ripasso, io ti do' un valore

e ti dico dammi un angolo che mi dia, quando prendo

il seno di quell'angolo mi restituisce quel valore.

Ma ti fai tipo: hey, Sal.

Guarda.

Fammi andare qui.

Fai tipo: guarda, π/2 funzionava.

45° funzionava.

Ma potrei continuare a sommare 360° o potrei

continuare a sommare 2π.

E tutti questi continuerebbero a funzionare perche' mi porterebbero

allo stesso punto della circonferenza unitaria, giusto?

E avresti ragione.

E quindi tutti questi valori, penseresti, sarebbero risposte

valide per questo, giusto>?

Perche' se prendi il seno di ognuno di questi angoli --- potresti

continuare a sommarci 360°.

Se prendi il seno di ognuno di questi, ottieni

√(2)/2.

E questo e' un problema.

Non puoi avere una funzione dove se prendo la funzione ---

non posso avere una funzione, f(x) che mappa

molteplici valori, giusto?

Che mappa a π/4, o mappa a π/4 + 2π,

o π/4 + 4π.

Quindi affinche' sia una funzione valida --- affinche'

l'inverso del seno sia una funzione valida, devo

restringerne l'intervallo.

Tutto il percorso --- ne restringiamo l'intervallo al

posto piu' naturale.

Quindi restringiamone l'intervallo.

In realta', giusto come notaa margine, a cosa

e' ristretto il suo dominio?

Allora, se prendo l'arcoseno di qualcosa.

Quindi se prendo l'arcoseno di x e dico che e' uguale

a θ, a cosa e' ristretto il dominio?

Quali sono i valori validi di x?

x potrebbe essere uguale a cosa?

Beh, se prendo il seno di un qualsiasi angolo, posso solo

ottenere valori tra 1 e -1, giusto?

Quindi x sara' maggiore o uguale a -1 e

minore o uguale a 1.

Questo e' il dominio.

Adesso, affinche' questa sia una funzione valida, devo

restringerne l'intervallo.

I valori possibili.

Devo restringerne l'intervallo.

Adesso per l'arcoseno, la convenzione e' restringerlo

al primo e quarto quadrante.

Per restringere gli angoli possibili a quest'area qui

lungo la circonferenza unitaria.

Quindi θ e' ristretto ad essere minore o uguale a π/2

e maggiore o uguale a -π/2.

Quindi dato cio', adesso capiamo cos'e' l'arcoseno.

Facciamo un altro problema.

Pulisco un po' di spazio.

Facciamo una altro arcoseno.

Diciamo che ti chiedo quant'e' l'arcoseno di

-√(3)/2.

Ora potresti saperlo a memoria.

E dire, lo so immediatamente che il seno di x, o che

sin(θ) = √3/2.

E avresti fatto.

Ma non lo sai a memoria.

Quindi fammi disegnare la circonferenza unitaria.

E quando ho a che fare con arcoseno devo solo

disegnare il primo e il quarto quadrante della circonferenza unitaria.

Questo e' l'asse y.

Questo e' l'asse x.

x e y.

E dove sto?

Se il seno di qualcosa e' -√(3)/2,

cio' significa che la coordinata y sulla circonferenza unitaria e'

-√(3)/2.

Quindi significa che stiamo da queste parti.

Percio' questo e' -√(3)/2.

Questo e' dove stiamo.

Adesso quale angolo me lo da'?

Pensiamoci un attimo.

La mia coordinata y e' -√(3)/2.

L'angolo e' questo.

Sara' un angolo negativo perche' andiamo

sotto l'asse x in senso orario.

E per calcolare --- qui fammi disegnare un triangoletto.

Fammi pescare un colore migliore di questo.

Questo e' un triangolo.

Fammelo fare in questo blu.

Quindi fammi zoomare su quel triangolo.

Cosi'.

Questo e' θ.

Questo e' θ.

E quant'e' questa lunghezza qui?

Beh questa e' la stessa dell'altezza y, suppongo che

tu possa chiamarla cosi'.

Che e' √(3)/2.

E' un meno perche' stiamo andando giu'.

Ma calcoliamo quest'angolo.

E sappiamo che e' un angolo negativo.

Quindi quando vedi una √(3)/2, si spera

tu riconosca che e' un triangolo 30-60-90.

La √(3)/2.

Questo lato e' 1/2.

E poi, ovviamente, questo lato e' 1.

Perche' e' una circonferenza unitaria.

Quindi il raggio e' 1.

Quindi in un triangolo 30-60-90 il lato opposto alla

√(3)/2 e' 60°.

Il lato qui e' 30°.

Quindi sappiamo quant'e' il nostro θ --- e' 60°.

Questa e' la grandezza.

Ma va verso il basso.

Quindi e' -60°.

Quindi θ = -60°.

Ma se hai a che fare con i radianti

non va ancora bene.

Quindi possiamo moltiplicare per 100 --- scusa --- π radianti

per ogni 180°.

I gradi si annullano.

E ci resta θ =

-π/3 radianti.

E quindi possiamo dire --- ora possiamo fare l'affermzaione che

l'arcoseno di -√(3)/2 =

-π/3 radianti.

O potremmo dire l'inverso del seno di

-√(3)/2 = -π/3 radianti.

E per confermarlo, facciamo giusto --- fammi tirar

fuori una calcolatricetta.

L'ho gia' messa in modalita' radianti.

Puoi controllarlo.

Come modalita'.

Sto in modalita' radianti.

Quindi so che otterro', spero, la risposta giusta.

E voglio calcolare l'inverso del seno.

Quindi l'inverso del seno ---- bottone secondo e seno ---

di -√(3)/2.

E' uguale a -1,04.

Quindi mi dice che e' uguale a -1,04 radianti.

Quindi π/3 deve essere uguale a 1,04.

Fammi vedere se riesco a confermarlo.

Quindi se dovessi scrivere -π/3 cosa otterrei?

Ottengo lo stesso identico valore.

Quindi la mia calcolatrice mi ha dato lo stesso identico valore, ma

potrebbe non essere stato poi cosi' utile perche' la mia calcolatrice non

mi dice che questo e' -π/3.