WEBVTT 00:00:00.340 --> 00:00:03.360 Se ti dovessi incontrare per strada e ti dicessi: per favore, 00:00:03.360 --> 00:00:07.450 dimmi quanto --- oh, non volevo scrivere cosi' spesso --- per favore 00:00:07.450 --> 00:00:11.710 dimmi quant'e' il seno di π/4. 00:00:11.710 --> 00:00:14.950 E, ovviamente, stiamo assumendo di aver a che fare con i radianti. 00:00:14.950 --> 00:00:17.510 Tu o lo sai a memoria o disegni 00:00:17.510 --> 00:00:19.920 la circonferenza unitaria. 00:00:19.920 --> 00:00:21.360 Non e' la piu' bella circonferenza unitaria del mondo, 00:00:21.360 --> 00:00:23.080 ma ha capito. 00:00:23.080 --> 00:00:26.960 Andresti su π/4 radianti, che e' 00:00:26.960 --> 00:00:29.760 come dire 45°. 00:00:29.760 --> 00:00:31.840 Disegneresti quel raggio unitario. 00:00:31.840 --> 00:00:35.130 E il seno e' definito come la coordinata y 00:00:35.130 --> 00:00:36.250 sulla circonferenza unitaria. 00:00:36.250 --> 00:00:38.910 Quindi vorresti semplicemente conoscere questo valore qui. 00:00:38.910 --> 00:00:40.210 E diresti immediatamente: Ok. 00:00:40.210 --> 00:00:42.630 Questo e' 45°. 00:00:42.630 --> 00:00:45.530 Fammi disegnare il triangolo un po' piu' grande. 00:00:45.530 --> 00:00:47.530 Il triangolo e' fatto cosi'. 00:00:47.530 --> 00:00:49.210 Questo e' 45. 00:00:49.210 --> 00:00:50.900 Questo e' 45. 00:00:50.900 --> 00:00:53.790 Questo e' 90. 00:00:53.790 --> 00:00:57.330 E sai risolvere il triangolo 45-45-90. 00:00:57.330 --> 00:00:59.040 L'ipotenusa e' 1. 00:00:59.040 --> 00:00:59.960 Questa e' x. 00:00:59.960 --> 00:01:00.640 Questa e' x. 00:01:00.640 --> 00:01:01.930 Saranno lo stesso valore. 00:01:01.930 --> 00:01:04.920 Questo e' un triangolo isoscele, giusto? 00:01:04.920 --> 00:01:06.960 Gli angoli della base sono uguali. 00:01:06.960 --> 00:01:10.690 Quindi dici: guarda, x^2 + x^2 = 1^2, 00:01:10.690 --> 00:01:12.960 che e' semplicemente 1. 00:01:12.960 --> 00:01:15.200 2x^2 = 1. 00:01:15.200 --> 00:01:17.440 x^2 = 1/2. 00:01:17.440 --> 00:01:20.840 x = √(1/2), che e' 00:01:20.840 --> 00:01:22.780 1/√2. 00:01:22.780 --> 00:01:25.960 Posso metterlo in forma razionale moltiplicandolo per 00:01:25.960 --> 00:01:27.330 √(2) / 2. 00:01:31.230 --> 00:01:34.950 E ottengo x = √(2) / 2. 00:01:34.950 --> 00:01:38.770 Quindi quest'altezza qui e' √(2)/2. 00:01:38.770 --> 00:01:40.400 E se volessi conoscere anche questa distanza, 00:01:40.400 --> 00:01:41.710 sarebbe sempre la stessa cosa. 00:01:41.710 --> 00:01:43.090 Ma ci interessava solo l'altezza. 00:01:43.090 --> 00:01:46.600 Perche' il valore del seno, il seno di questo, e' 00:01:46.600 --> 00:01:47.920 semplicemente quest'altezza qui. 00:01:47.920 --> 00:01:49.180 La coordinata y. 00:01:49.180 --> 00:01:52.960 E abbiamo ottenuto √(2) / 2. 00:01:52.960 --> 00:01:53.890 Questo e' solo ripasso. 00:01:53.890 --> 00:02:00.210 L'abbiamo imparato nel video della circonferenza unitaria. 00:02:00.210 --> 00:02:02.290 Ma se qualcun altro --- diciamo che un altro giorno vengo 00:02:02.290 --> 00:02:08.850 da te e ti dico: per favore, dimmi quant'e' 00:02:08.850 --> 00:02:14.820 l'arcoseno della radice quadrata di 2 fratto 2. 00:02:14.820 --> 00:02:16.190 Cos'e' l'arcoseno? 00:02:16.190 --> 00:02:16.970 E sei perplesso. 00:02:16.970 --> 00:02:19.180 Sei tipo: io lo so cos'e' il seno di un angolo, ma questa 00:02:19.180 --> 00:02:24.480 e' una qualche funzione trigonometrica nuova che si e' inventato Sal. 00:02:24.480 --> 00:02:27.770 Tutto quello che devi realizzare, quando hai questa parola "arco" 00:02:27.770 --> 00:02:29.455 di fronte --- questo alle volte e' anche 00:02:29.455 --> 00:02:30.810 chiamato l'inverso del seno. 00:02:30.810 --> 00:02:33.960 Sarebbe potuto essere ugualmente riscritto come: quant'e' 00:02:33.960 --> 00:02:38.420 l'inverso del seno della radice quadrata di 2 su 2? 00:02:38.420 --> 00:02:42.900 Tutto quello che sta chiedendo e' di quale angolo dovrei 00:02:42.900 --> 00:02:48.310 prendere il seno in modo da ottenere il valore √(2)/2? 00:02:48.310 --> 00:02:52.000 Anche questa chiede di quale angolo dovrei prendere il seno 00:02:52.000 --> 00:02:54.610 in modo da ottenere √(2)/2. 00:02:54.610 --> 00:03:00.220 Potrei riscrivere entrambe queste affermazioni dicendo 00:03:00.220 --> 00:03:02.260 radice --- fammelo fare. 00:03:02.260 --> 00:03:06.890 Potrei riscrivere entrambe queste affermazioni come se dicessero seno 00:03:06.890 --> 00:03:11.200 di cosa e; uguale a √(2)/2. 00:03:11.200 --> 00:03:14.910 E questa, penso, e' una domanda molto piu' semplice 00:03:14.910 --> 00:03:15.820 a cui rispondere. 00:03:15.820 --> 00:03:18.400 Seno di cosa e' √(2)/2? 00:03:18.400 --> 00:03:21.950 Beh, ho appena calcolato che il seno di π/4 e' 00:03:21.950 --> 00:03:24.080 √(2)/2. 00:03:24.080 --> 00:03:28.560 Quindi, in questo caso, so che il seno di π/4 e' uguale 00:03:28.560 --> 00:03:30.630 a √(2)/2. 00:03:30.630 --> 00:03:35.760 Quindi il mio punto interrogativo e' π/4. 00:03:35.760 --> 00:03:42.400 Oppure l'avrei potuto riscrivere come, l'arcoseno --- scusa --- 00:03:42.400 --> 00:03:51.940 arcsin(√(2)/2) = π/4. 00:03:51.940 --> 00:03:56.120 Adesso potresti dire: quindi, giusto come ripasso, io ti do' un valore 00:03:56.120 --> 00:03:58.630 e ti dico dammi un angolo che mi dia, quando prendo 00:03:58.630 --> 00:04:01.490 il seno di quell'angolo mi restituisce quel valore. 00:04:01.490 --> 00:04:03.030 Ma ti fai tipo: hey, Sal. 00:04:03.030 --> 00:04:03.950 Guarda. 00:04:03.950 --> 00:04:05.120 Fammi andare qui. 00:04:05.120 --> 00:04:06.960 Fai tipo: guarda, π/2 funzionava. 00:04:06.960 --> 00:04:08.540 45° funzionava. 00:04:08.540 --> 00:04:11.560 Ma potrei continuare a sommare 360° o potrei 00:04:11.560 --> 00:04:13.130 continuare a sommare 2π. 00:04:13.130 --> 00:04:15.330 E tutti questi continuerebbero a funzionare perche' mi porterebbero 00:04:15.330 --> 00:04:18.870 allo stesso punto della circonferenza unitaria, giusto? 00:04:18.870 --> 00:04:19.960 E avresti ragione. 00:04:19.960 --> 00:04:23.350 E quindi tutti questi valori, penseresti, sarebbero risposte 00:04:23.350 --> 00:04:25.290 valide per questo, giusto>? 00:04:25.290 --> 00:04:27.700 Perche' se prendi il seno di ognuno di questi angoli --- potresti 00:04:27.700 --> 00:04:29.720 continuare a sommarci 360°. 00:04:29.720 --> 00:04:31.740 Se prendi il seno di ognuno di questi, ottieni 00:04:31.740 --> 00:04:33.540 √(2)/2. 00:04:33.540 --> 00:04:34.370 E questo e' un problema. 00:04:34.370 --> 00:04:37.070 Non puoi avere una funzione dove se prendo la funzione --- 00:04:37.070 --> 00:04:40.340 non posso avere una funzione, f(x) che mappa 00:04:40.340 --> 00:04:42.230 molteplici valori, giusto? 00:04:42.230 --> 00:04:47.490 Che mappa a π/4, o mappa a π/4 + 2π, 00:04:47.490 --> 00:04:52.280 o π/4 + 4π. 00:04:52.280 --> 00:04:55.320 Quindi affinche' sia una funzione valida --- affinche' 00:04:55.320 --> 00:04:58.450 l'inverso del seno sia una funzione valida, devo 00:04:58.450 --> 00:05:00.340 restringerne l'intervallo. 00:05:00.340 --> 00:05:02.660 Tutto il percorso --- ne restringiamo l'intervallo al 00:05:02.660 --> 00:05:04.710 posto piu' naturale. 00:05:04.710 --> 00:05:06.990 Quindi restringiamone l'intervallo. 00:05:06.990 --> 00:05:08.910 In realta', giusto come notaa margine, a cosa 00:05:08.910 --> 00:05:10.120 e' ristretto il suo dominio? 00:05:10.120 --> 00:05:13.160 Allora, se prendo l'arcoseno di qualcosa. 00:05:13.160 --> 00:05:18.320 Quindi se prendo l'arcoseno di x e dico che e' uguale 00:05:18.320 --> 00:05:21.900 a θ, a cosa e' ristretto il dominio? 00:05:21.900 --> 00:05:24.502 Quali sono i valori validi di x? 00:05:24.502 --> 00:05:27.310 x potrebbe essere uguale a cosa? 00:05:27.310 --> 00:05:30.770 Beh, se prendo il seno di un qualsiasi angolo, posso solo 00:05:30.770 --> 00:05:33.840 ottenere valori tra 1 e -1, giusto? 00:05:33.840 --> 00:05:37.680 Quindi x sara' maggiore o uguale a -1 e 00:05:37.680 --> 00:05:39.310 minore o uguale a 1. 00:05:39.310 --> 00:05:41.570 Questo e' il dominio. 00:05:41.570 --> 00:05:43.930 Adesso, affinche' questa sia una funzione valida, devo 00:05:43.930 --> 00:05:45.180 restringerne l'intervallo. 00:05:45.180 --> 00:05:46.360 I valori possibili. 00:05:46.360 --> 00:05:47.790 Devo restringerne l'intervallo. 00:05:47.790 --> 00:05:50.700 Adesso per l'arcoseno, la convenzione e' restringerlo 00:05:50.700 --> 00:05:52.630 al primo e quarto quadrante. 00:05:52.630 --> 00:05:57.210 Per restringere gli angoli possibili a quest'area qui 00:05:57.210 --> 00:05:58.750 lungo la circonferenza unitaria. 00:05:58.750 --> 00:06:03.840 Quindi θ e' ristretto ad essere minore o uguale a π/2 00:06:03.840 --> 00:06:11.180 e maggiore o uguale a -π/2. 00:06:11.180 --> 00:06:14.150 Quindi dato cio', adesso capiamo cos'e' l'arcoseno. 00:06:14.150 --> 00:06:17.110 Facciamo un altro problema. 00:06:17.110 --> 00:06:20.280 Pulisco un po' di spazio. 00:06:20.280 --> 00:06:21.430 Facciamo una altro arcoseno. 00:06:21.430 --> 00:06:30.450 Diciamo che ti chiedo quant'e' l'arcoseno di 00:06:30.450 --> 00:06:32.390 -√(3)/2. 00:06:36.480 --> 00:06:37.690 Ora potresti saperlo a memoria. 00:06:37.690 --> 00:06:40.100 E dire, lo so immediatamente che il seno di x, o che 00:06:40.100 --> 00:06:41.420 sin(θ) = √3/2. 00:06:41.420 --> 00:06:42.220 E avresti fatto. 00:06:42.220 --> 00:06:44.730 Ma non lo sai a memoria. 00:06:44.730 --> 00:06:46.990 Quindi fammi disegnare la circonferenza unitaria. 00:06:46.990 --> 00:06:48.480 E quando ho a che fare con arcoseno devo solo 00:06:48.480 --> 00:06:53.550 disegnare il primo e il quarto quadrante della circonferenza unitaria. 00:06:53.550 --> 00:06:54.810 Questo e' l'asse y. 00:06:54.810 --> 00:06:56.890 Questo e' l'asse x. 00:06:56.890 --> 00:06:59.690 x e y. 00:06:59.690 --> 00:07:01.300 E dove sto? 00:07:01.300 --> 00:07:04.360 Se il seno di qualcosa e' -√(3)/2, 00:07:04.360 --> 00:07:07.760 cio' significa che la coordinata y sulla circonferenza unitaria e' 00:07:07.760 --> 00:07:09.320 -√(3)/2. 00:07:09.320 --> 00:07:15.020 Quindi significa che stiamo da queste parti. 00:07:15.020 --> 00:07:18.800 Percio' questo e' -√(3)/2. 00:07:18.800 --> 00:07:20.440 Questo e' dove stiamo. 00:07:20.440 --> 00:07:24.160 Adesso quale angolo me lo da'? 00:07:24.160 --> 00:07:26.090 Pensiamoci un attimo. 00:07:26.090 --> 00:07:31.600 La mia coordinata y e' -√(3)/2. 00:07:31.600 --> 00:07:33.460 L'angolo e' questo. 00:07:33.460 --> 00:07:36.110 Sara' un angolo negativo perche' andiamo 00:07:36.110 --> 00:07:39.130 sotto l'asse x in senso orario. 00:07:39.130 --> 00:07:44.240 E per calcolare --- qui fammi disegnare un triangoletto. 00:07:44.240 --> 00:07:45.520 Fammi pescare un colore migliore di questo. 00:07:45.520 --> 00:07:48.040 Questo e' un triangolo. 00:07:48.040 --> 00:07:52.740 Fammelo fare in questo blu. 00:07:52.740 --> 00:07:55.680 Quindi fammi zoomare su quel triangolo. 00:07:55.680 --> 00:07:56.230 Cosi'. 00:07:56.230 --> 00:07:57.950 Questo e' θ. 00:07:57.950 --> 00:07:58.530 Questo e' θ. 00:07:58.530 --> 00:08:00.660 E quant'e' questa lunghezza qui? 00:08:00.660 --> 00:08:03.120 Beh questa e' la stessa dell'altezza y, suppongo che 00:08:03.120 --> 00:08:03.890 tu possa chiamarla cosi'. 00:08:03.890 --> 00:08:06.020 Che e' √(3)/2. 00:08:06.020 --> 00:08:07.560 E' un meno perche' stiamo andando giu'. 00:08:07.560 --> 00:08:08.850 Ma calcoliamo quest'angolo. 00:08:08.850 --> 00:08:11.960 E sappiamo che e' un angolo negativo. 00:08:11.960 --> 00:08:14.540 Quindi quando vedi una √(3)/2, si spera 00:08:14.540 --> 00:08:16.870 tu riconosca che e' un triangolo 30-60-90. 00:08:16.870 --> 00:08:17.980 La √(3)/2. 00:08:17.980 --> 00:08:19.950 Questo lato e' 1/2. 00:08:19.950 --> 00:08:21.250 E poi, ovviamente, questo lato e' 1. 00:08:21.250 --> 00:08:22.880 Perche' e' una circonferenza unitaria. 00:08:22.880 --> 00:08:24.630 Quindi il raggio e' 1. 00:08:24.630 --> 00:08:27.415 Quindi in un triangolo 30-60-90 il lato opposto alla 00:08:27.415 --> 00:08:30.500 √(3)/2 e' 60°. 00:08:30.500 --> 00:08:32.610 Il lato qui e' 30°. 00:08:32.610 --> 00:08:35.140 Quindi sappiamo quant'e' il nostro θ --- e' 60°. 00:08:35.140 --> 00:08:36.100 Questa e' la grandezza. 00:08:36.100 --> 00:08:37.325 Ma va verso il basso. 00:08:37.325 --> 00:08:39.970 Quindi e' -60°. 00:08:39.970 --> 00:08:43.180 Quindi θ = -60°. 00:08:43.180 --> 00:08:44.630 Ma se hai a che fare con i radianti 00:08:44.630 --> 00:08:45.210 non va ancora bene. 00:08:45.210 --> 00:08:52.350 Quindi possiamo moltiplicare per 100 --- scusa --- π radianti 00:08:52.350 --> 00:08:54.540 per ogni 180°. 00:08:54.540 --> 00:08:56.070 I gradi si annullano. 00:08:56.070 --> 00:08:59.500 E ci resta θ = 00:08:59.500 --> 00:09:04.090 -π/3 radianti. 00:09:04.090 --> 00:09:10.630 E quindi possiamo dire --- ora possiamo fare l'affermzaione che 00:09:10.630 --> 00:09:16.780 l'arcoseno di -√(3)/2 = 00:09:16.780 --> 00:09:19.980 -π/3 radianti. 00:09:19.980 --> 00:09:24.680 O potremmo dire l'inverso del seno di 00:09:24.680 --> 00:09:30.840 -√(3)/2 = -π/3 radianti. 00:09:30.840 --> 00:09:34.290 E per confermarlo, facciamo giusto --- fammi tirar 00:09:34.290 --> 00:09:35.310 fuori una calcolatricetta. 00:09:35.310 --> 00:09:38.200 L'ho gia' messa in modalita' radianti. 00:09:38.200 --> 00:09:39.370 Puoi controllarlo. 00:09:39.370 --> 00:09:41.060 Come modalita'. 00:09:41.060 --> 00:09:43.040 Sto in modalita' radianti. 00:09:43.040 --> 00:09:45.490 Quindi so che otterro', spero, la risposta giusta. 00:09:45.490 --> 00:09:47.840 E voglio calcolare l'inverso del seno. 00:09:47.840 --> 00:09:51.610 Quindi l'inverso del seno ---- bottone secondo e seno --- 00:09:51.610 --> 00:09:59.790 di -√(3)/2. 00:09:59.790 --> 00:10:03.800 E' uguale a -1,04. 00:10:03.800 --> 00:10:11.040 Quindi mi dice che e' uguale a -1,04 radianti. 00:10:11.040 --> 00:10:13.970 Quindi π/3 deve essere uguale a 1,04. 00:10:13.970 --> 00:10:16.030 Fammi vedere se riesco a confermarlo. 00:10:16.030 --> 00:10:25.180 Quindi se dovessi scrivere -π/3 cosa otterrei? 00:10:25.180 --> 00:10:26.670 Ottengo lo stesso identico valore. 00:10:26.670 --> 00:10:28.710 Quindi la mia calcolatrice mi ha dato lo stesso identico valore, ma 00:10:28.710 --> 00:10:31.240 potrebbe non essere stato poi cosi' utile perche' la mia calcolatrice non 00:10:31.240 --> 00:10:34.520 mi dice che questo e' -π/3.