Introduktion til invers-sinus

Hvis jeg kommer hen til dig
på gaden og siger fortæl mig

-- det skal vist ikke være så tykt --

hvad er sin(pi/4)?

Naturligvis antager vi,
at vi snakker om radianer.

Du ved allerede, hvad svaret er,
eller du kan tegne en enhedscirkel.

Det er måske ikke den pæneste enhedscirkel

men du kan se, hvad jeg mener.

Du finder pi/4 radianer,

som er det samme som 45 grader.

Du kan tegne retningspunktet.

Sinus er defineret som
y-koordinaten på enhedscirklen.

Så du skal finde denne værdi.

Du svarer med det samme,

okay, det er 45 grader.

Lad mig tegne trekanten en smule større.

Trekanten ser således ud.

Dette er 45.

Dette er 45 grader.

Dette er 90.

Du kan løse for en 45 45 90 trekant.

Hypotenusen er 1.

Dette er x.

Dette er x.

De har den samme værdi.

Dette er en ligebenet trekant.

Disse to grundvinkler er ens.

Du får x² + x² er lig 1²,
som jo blot er 1.

2x² er lig 1.

x² er lig 1/2.

x er lig kvadratroden af 1/2,

som er 1 over kvadratroden af 2.

Jeg kan omskrive det ved at gange med
kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2.

Så får jeg x er lig
kvadratroden af 2 over 2.

Højden er kvadratroden af 2 over 2.

Hvis du vil finde denne afstand,
så er den det samme.

Men vi skal blot finde højden.

Da sinus til dette blot svarer til højden,
altså y-koordinaten.

Vi fik kvadratroden af 2 over 2.

Dette er en gennemgang.

VI har lært dette i en
video om enhedscirklen.

En anden dag kommer jeg hen
til dig og siger fortæl mig

hvad er arcsinus til
kvadratroden af 2 over 2?

Hvad er arcsinus?

Du er overrasket

Du tænker, jeg ved,
hvad sinus til en vinkel er,

men dette er en ny trigonometrisk funktion
som Sal har fundet på.

Alt hvad du behøver at vide er,
når der står arc foran sinus,

som også nogle gange
hedder den inverse sinus

-- der kunne lige så godt have stået

den inverse sinus til
kvadratroden af 2 over 2 --

er at dette betyder,
hvilken vinkel skal jeg

finde sinusværdien til og få
kvadratroden af 2 over 2.

Det siger, hvilken vinkel har sinusværdien
kvadratroden af 2 over 2?

Jeg kan omskrive begge disse udsagn som

sinus til hvilken vinkel er lig
kvadratroden af 2 over 2.

Og jeg tror, at dette er
nemmere for dig at svare på.

Sinus til hvilken vinkel er
kvadratroden af 2 over 2?

Vi har jo lige set, at sinus til pi/4
er kvadratroden af 2 over 2.

Så jeg ved, at sinus til pi/4 er lig
kvadratroden af 2 over 2.

Mit spørgsmålstegn er lig pi/4.

Jeg kan omskrive dette til arcsin til
kvadratroden af 2 over 2 er lig pi/4.

Jeg giver dig en værdi og
beder dig angive den vinkel,

som sinus til giver denne værdi.

Hvortil du siger øh Sal,

-- lad mig lige gå herhen --

pi/2 passer eller 45 grader passer,

men jeg kan blive ved med
at lægge 360 grader eller 2pi til.

Alle disse passer, da jeg jo kommer hen
til det samme punkt på enhedscirklen.

Og du har ret.

Alle disse værdi burde være svar på dette.

Fordi når du tager sinus
til disse vinkler,

hvor du har lagt 360 til flere gange,

så får du kvadratroden af 2 over 2.

Det er et problem.

Du kan ikke have en funktion,
hvor f(x) mapper til flere værdier.

Hvis den mapper over i pi/4 eller
pi/4 + 2pi eller pi/4 + 4pi.

For at dette er en gyldig funktion,

altså for at den inverse sinus
funktion kan defineres

så bliver jeg nødt til at
begrænse dens værdimængde.

Vi begrænser dens værdimængde
det mest naturlige sted.

Hvad er dens definitionsmængde
begrænset til?

Hvis jeg tager arcsinus til x, og jeg siger at det er lig theta

hvad er defintionsmængden så begrænset itl?

Hvad er de gyldige x-værdier.

x kan være lig med?

Hvis jeg tager sinus til en vinkel, så kan jeg

kun få værdier mellem 1 og -1, ikke?

Så x skal være større end eller lig med -1 og

mindre end eller lig 1.

Det er definitionsmængden.

For at gøre dette til en gyldig funktion

så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimængde.

De mulige værdier.

Jeg skal begrænse værdimængden.

For arcsinus siger konventionen at man skal begrænse den til

første og fjerde kvadrant.

Altså begrænse de mulige vinkler til dette område

langs enhedscirklen.

Theta er begrænset til at være mindre end eller lig med pi/2

og større end eller lig med -pi/2.

Når det er givet, så kan vi forstå hvad arcsinus er.

Lad os lave endnu en opgave.

-- lad mig lige lave lidt plads --

Lad mig lave endnu en arcsinus.

Lad os sige jeg spørger dig,
hvad er arcsinus til -kvadratroden af 3 over 2?

s

mulighvis kan du huske svaret.

og siger jeg ved at sinx eller

sinus til theta er kvadratroden af 3 over 2.

Og du er færdig.

men jeg kan ikke huske det.

så lad mig tegne en enhedscirkel.

Når vi snakker arcsinus, så behøver

jeg kun tegne 1. og 4. kvadrant af enhedscirklen.

Dette er y-aksen,

Dette er min x-akse.

x og y.

Hvor er jeg?

Hvis sinus af noget er minus kvadratroden af 3 over 2,

så betyder det at y-koordinaten på enhedscirklen er

minus kvadratroden af 3 over 2.

Det betyder vi er cirka her.

Dette er minus kvadratroden af 3 over 2.

Dette er hvor vi er.

Hvilken vinkel er det?

Lad os se lidt på det.

min y-koordinat er minus kvadratroden af 3 over 2

Dette er vinklen.

Det bliver en negativ vinkel fordi vi går

under x-aksen med uret.

-- lad mig lige lave en trekant --

-- jeg vælger lige en anden farve --

Dette er en trekant.

-- lad mig bruge denne blå farve --

Jeg zoomer lige

sådan

dette er theta

s

Hvad er denne længde?

Det er det samme som y-højden

kan vi kalde den

som er kvadratroden af 3 ver 2.

Det bliver minus fordi vi går nedad.

Men lad os finde denne vinkel.

Vi ved det er en negativ vinkel.

Når du ser kvadratroden af 3 over 2

så husker du forhåbentlig på en
30 60 og 90 trekant.

Kvadratroden af 3 over 2

Denne side er 1/2.

Denne side er naturligvis 1.

Da dette er en enhedscirkel.

Radius er 1.

I en 30 60 90 trekant er vinklen overfor

side på kvadratroden af 3 over 2 er 60 grader.

Denne vinkel her er 30 grader.

Dette er 60 grader.

Det er dens størrelse.

Men den går nedad.

så den er -60 grader.

Theta er lig -60 grader.

Hvis vi bruger radianer

så er det ikke godt nok.

Vi kan gange dette med pi radianer for hver 180 grader.

s

graderne går ud med hinanden.

Tilbage har vi at theta er lig -pi/3 radianer

s

Vi kan nu sige at

arcsinus til minus kvadratroden af 3 over 2 er lig

minus pi/3 radianer.

Eller vi kan sige at den inverse sinus til minus kvadratroden af

3 over 2 erlig .pi/3 radianer.

Lad mig lige finde lommeregneren,

s

Jeg har alelrede sat den til radianer.

Det kan du tjekke her.

Per second mode

jeg er i radianer.

Nu får jeg forhåbentlig det rigtige svar.

Jeg skal bruge den inverse funktion,

Så den inverse sinus
the second og sinus knappen.

til minus kvadratroden af 3 over 2

Det er lig -1,04.

Der står at dette er lig -1,04 radianer.

Derfor må pi/3 var lig 1,04.

Lad os se om jeg kan bekræfte det.

Når jeg skriver -pi divideret med 3, hvad får jeg så?

Jeg får præcis den samme værdi.

Min lommeregner gav mig præcis den samme værdi,

men det havde ikke været særligt nyttigt
hvis min lommeregner ikke

kan fortælle mig at dette er pi/3,