WEBVTT 00:00:00.340 --> 00:00:04.000 Hvis jeg kommer hen til dig på gaden og siger fortæl mig 00:00:04.000 --> 00:00:07.200 -- det skal vist ikke være så tykt -- 00:00:07.200 --> 00:00:11.710 hvad er sin(pi/4)? 00:00:11.710 --> 00:00:14.950 Naturligvis antager vi, at vi snakker om radianer. 00:00:14.950 --> 00:00:19.590 Du ved allerede, hvad svaret er, eller du kan tegne en enhedscirkel. 00:00:19.590 --> 00:00:21.590 Det er måske ikke den pæneste enhedscirkel 00:00:21.590 --> 00:00:23.080 men du kan se, hvad jeg mener. 00:00:23.080 --> 00:00:26.620 Du finder pi/4 radianer, 00:00:26.620 --> 00:00:29.760 som er det samme som 45 grader. 00:00:29.760 --> 00:00:31.840 Du kan tegne retningspunktet. 00:00:31.840 --> 00:00:36.250 Sinus er defineret som y-koordinaten på enhedscirklen. 00:00:36.250 --> 00:00:38.910 Så du skal finde denne værdi. 00:00:38.910 --> 00:00:40.210 Du svarer med det samme, 00:00:40.210 --> 00:00:42.630 okay, det er 45 grader. 00:00:42.630 --> 00:00:45.530 Lad mig tegne trekanten en smule større. 00:00:45.530 --> 00:00:47.530 Trekanten ser således ud. 00:00:47.530 --> 00:00:49.210 Dette er 45. 00:00:49.210 --> 00:00:50.900 Dette er 45 grader. 00:00:50.900 --> 00:00:53.790 Dette er 90. 00:00:53.790 --> 00:00:57.330 Du kan løse for en 45 45 90 trekant. 00:00:57.330 --> 00:00:59.040 Hypotenusen er 1. 00:00:59.040 --> 00:00:59.920 Dette er x. 00:00:59.920 --> 00:01:00.640 Dette er x. 00:01:00.640 --> 00:01:01.930 De har den samme værdi. 00:01:01.930 --> 00:01:04.920 Dette er en ligebenet trekant. 00:01:04.920 --> 00:01:06.960 Disse to grundvinkler er ens. 00:01:06.960 --> 00:01:12.960 Du får x² + x² er lig 1², som jo blot er 1. 00:01:12.960 --> 00:01:15.200 2x² er lig 1. 00:01:15.200 --> 00:01:17.440 x² er lig 1/2. 00:01:17.440 --> 00:01:20.310 x er lig kvadratroden af 1/2, 00:01:20.310 --> 00:01:22.780 som er 1 over kvadratroden af 2. 00:01:22.780 --> 00:01:31.230 Jeg kan omskrive det ved at gange med kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2. 00:01:31.230 --> 00:01:34.950 Så får jeg x er lig kvadratroden af 2 over 2. 00:01:34.950 --> 00:01:38.770 Højden er kvadratroden af 2 over 2. 00:01:38.770 --> 00:01:41.710 Hvis du vil finde denne afstand, så er den det samme. 00:01:41.710 --> 00:01:43.140 Men vi skal blot finde højden. 00:01:43.140 --> 00:01:49.180 Da sinus til dette blot svarer til højden, altså y-koordinaten. 00:01:49.180 --> 00:01:52.890 Vi fik kvadratroden af 2 over 2. 00:01:52.890 --> 00:01:53.990 Dette er en gennemgang. 00:01:53.990 --> 00:02:00.210 VI har lært dette i en video om enhedscirklen. 00:02:00.210 --> 00:02:07.980 En anden dag kommer jeg hen til dig og siger fortæl mig 00:02:07.980 --> 00:02:14.820 hvad er arcsinus til kvadratroden af 2 over 2? 00:02:14.820 --> 00:02:16.190 Hvad er arcsinus? 00:02:16.190 --> 00:02:16.970 Du er overrasket 00:02:16.970 --> 00:02:19.240 Du tænker, jeg ved, hvad sinus til en vinkel er, 00:02:19.240 --> 00:02:24.480 men dette er en ny trigonometrisk funktion som Sal har fundet på. 00:02:24.480 --> 00:02:28.320 Alt hvad du behøver at vide er, når der står arc foran sinus, 00:02:28.320 --> 00:02:30.810 som også nogle gange hedder den inverse sinus 00:02:30.810 --> 00:02:33.960 -- der kunne lige så godt have stået 00:02:33.960 --> 00:02:38.420 den inverse sinus til kvadratroden af 2 over 2 -- 00:02:38.420 --> 00:02:42.900 er at dette betyder, hvilken vinkel skal jeg 00:02:42.900 --> 00:02:48.310 finde sinusværdien til og få kvadratroden af 2 over 2. 00:02:48.310 --> 00:02:54.610 Det siger, hvilken vinkel har sinusværdien kvadratroden af 2 over 2? 00:02:54.610 --> 00:03:05.535 Jeg kan omskrive begge disse udsagn som 00:03:05.535 --> 00:03:11.200 sinus til hvilken vinkel er lig kvadratroden af 2 over 2. 00:03:11.200 --> 00:03:15.820 Og jeg tror, at dette er nemmere for dig at svare på. 00:03:15.820 --> 00:03:18.400 Sinus til hvilken vinkel er kvadratroden af 2 over 2? 00:03:18.400 --> 00:03:24.080 Vi har jo lige set, at sinus til pi/4 er kvadratroden af 2 over 2. 00:03:24.080 --> 00:03:30.630 Så jeg ved, at sinus til pi/4 er lig kvadratroden af 2 over 2. 00:03:30.630 --> 00:03:35.760 Mit spørgsmålstegn er lig pi/4. 00:03:35.760 --> 00:03:51.940 Jeg kan omskrive dette til arcsin til kvadratroden af 2 over 2 er lig pi/4. 00:03:51.940 --> 00:03:58.120 Jeg giver dig en værdi og beder dig angive den vinkel, 00:03:58.120 --> 00:04:01.490 som sinus til giver denne værdi. 00:04:01.490 --> 00:04:03.780 Hvortil du siger øh Sal, 00:04:03.780 --> 00:04:05.120 -- lad mig lige gå herhen -- 00:04:05.120 --> 00:04:08.540 pi/2 passer eller 45 grader passer, 00:04:08.540 --> 00:04:13.220 men jeg kan blive ved med at lægge 360 grader eller 2pi til. 00:04:13.220 --> 00:04:18.870 Alle disse passer, da jeg jo kommer hen til det samme punkt på enhedscirklen. 00:04:18.870 --> 00:04:19.960 Og du har ret. 00:04:19.960 --> 00:04:24.960 Alle disse værdi burde være svar på dette. 00:04:24.960 --> 00:04:28.490 Fordi når du tager sinus til disse vinkler, 00:04:28.490 --> 00:04:31.720 hvor du har lagt 360 til flere gange, 00:04:31.740 --> 00:04:33.540 så får du kvadratroden af 2 over 2. 00:04:33.540 --> 00:04:34.400 Det er et problem. 00:04:34.400 --> 00:04:41.940 Du kan ikke have en funktion, hvor f(x) mapper til flere værdier. 00:04:41.940 --> 00:04:52.280 Hvis den mapper over i pi/4 eller pi/4 + 2pi eller pi/4 + 4pi. 00:04:52.280 --> 00:04:54.970 For at dette er en gyldig funktion, 00:04:54.970 --> 00:04:57.890 altså for at den inverse sinus funktion kan defineres 00:04:57.890 --> 00:05:00.340 så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimængde. 00:05:00.340 --> 00:05:06.753 Vi begrænser dens værdimængde det mest naturlige sted. 00:05:06.753 --> 00:05:10.120 Hvad er dens definitionsmængde begrænset til? 00:05:10.120 --> 00:05:18.320 Hvis jeg tager arcsinus til x, og jeg siger at det er lig theta 00:05:18.320 --> 00:05:21.900 hvad er defintionsmængden så begrænset itl? 00:05:21.900 --> 00:05:24.502 Hvad er de gyldige x-værdier. 00:05:24.502 --> 00:05:27.310 x kan være lig med? 00:05:27.310 --> 00:05:30.770 Hvis jeg tager sinus til en vinkel, så kan jeg 00:05:30.770 --> 00:05:33.840 kun få værdier mellem 1 og -1, ikke? 00:05:33.840 --> 00:05:37.680 Så x skal være større end eller lig med -1 og 00:05:37.680 --> 00:05:39.310 mindre end eller lig 1. 00:05:39.310 --> 00:05:41.570 Det er definitionsmængden. 00:05:41.570 --> 00:05:43.930 For at gøre dette til en gyldig funktion 00:05:43.930 --> 00:05:45.180 så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimængde. 00:05:45.180 --> 00:05:46.360 De mulige værdier. 00:05:46.360 --> 00:05:47.790 Jeg skal begrænse værdimængden. 00:05:47.790 --> 00:05:50.700 For arcsinus siger konventionen at man skal begrænse den til 00:05:50.700 --> 00:05:52.630 første og fjerde kvadrant. 00:05:52.630 --> 00:05:57.210 Altså begrænse de mulige vinkler til dette område 00:05:57.210 --> 00:05:58.750 langs enhedscirklen. 00:05:58.750 --> 00:06:03.840 Theta er begrænset til at være mindre end eller lig med pi/2 00:06:03.840 --> 00:06:11.180 og større end eller lig med -pi/2. 00:06:11.180 --> 00:06:14.150 Når det er givet, så kan vi forstå hvad arcsinus er. 00:06:14.150 --> 00:06:17.110 Lad os lave endnu en opgave. 00:06:17.110 --> 00:06:20.280 -- lad mig lige lave lidt plads -- 00:06:20.280 --> 00:06:21.430 Lad mig lave endnu en arcsinus. 00:06:21.430 --> 00:06:30.450 Lad os sige jeg spørger dig, hvad er arcsinus til -kvadratroden af 3 over 2? 00:06:30.450 --> 00:06:32.390 s 00:06:36.480 --> 00:06:37.690 mulighvis kan du huske svaret. 00:06:37.690 --> 00:06:40.100 og siger jeg ved at sinx eller 00:06:40.100 --> 00:06:41.420 sinus til theta er kvadratroden af 3 over 2. 00:06:41.420 --> 00:06:42.220 Og du er færdig. 00:06:42.220 --> 00:06:44.730 men jeg kan ikke huske det. 00:06:44.730 --> 00:06:46.990 så lad mig tegne en enhedscirkel. 00:06:46.990 --> 00:06:48.480 Når vi snakker arcsinus, så behøver 00:06:48.480 --> 00:06:53.550 jeg kun tegne 1. og 4. kvadrant af enhedscirklen. 00:06:53.550 --> 00:06:54.810 Dette er y-aksen, 00:06:54.810 --> 00:06:56.890 Dette er min x-akse. 00:06:56.890 --> 00:06:59.690 x og y. 00:06:59.690 --> 00:07:01.300 Hvor er jeg? 00:07:01.300 --> 00:07:04.360 Hvis sinus af noget er minus kvadratroden af 3 over 2, 00:07:04.360 --> 00:07:07.760 så betyder det at y-koordinaten på enhedscirklen er 00:07:07.760 --> 00:07:09.320 minus kvadratroden af 3 over 2. 00:07:09.320 --> 00:07:15.020 Det betyder vi er cirka her. 00:07:15.020 --> 00:07:18.800 Dette er minus kvadratroden af 3 over 2. 00:07:18.800 --> 00:07:20.440 Dette er hvor vi er. 00:07:20.440 --> 00:07:24.160 Hvilken vinkel er det? 00:07:24.160 --> 00:07:26.090 Lad os se lidt på det. 00:07:26.090 --> 00:07:31.600 min y-koordinat er minus kvadratroden af 3 over 2 00:07:31.600 --> 00:07:33.460 Dette er vinklen. 00:07:33.460 --> 00:07:36.110 Det bliver en negativ vinkel fordi vi går 00:07:36.110 --> 00:07:39.130 under x-aksen med uret. 00:07:39.130 --> 00:07:44.240 -- lad mig lige lave en trekant -- 00:07:44.240 --> 00:07:45.520 -- jeg vælger lige en anden farve -- 00:07:45.520 --> 00:07:48.040 Dette er en trekant. 00:07:48.040 --> 00:07:52.740 -- lad mig bruge denne blå farve -- 00:07:52.740 --> 00:07:55.680 Jeg zoomer lige 00:07:55.680 --> 00:07:56.230 sådan 00:07:56.230 --> 00:07:57.950 dette er theta 00:07:57.950 --> 00:07:58.530 s 00:07:58.530 --> 00:08:00.660 Hvad er denne længde? 00:08:00.660 --> 00:08:03.120 Det er det samme som y-højden 00:08:03.120 --> 00:08:03.890 kan vi kalde den 00:08:03.890 --> 00:08:06.020 som er kvadratroden af 3 ver 2. 00:08:06.020 --> 00:08:07.560 Det bliver minus fordi vi går nedad. 00:08:07.560 --> 00:08:08.850 Men lad os finde denne vinkel. 00:08:08.850 --> 00:08:11.960 Vi ved det er en negativ vinkel. 00:08:11.960 --> 00:08:14.540 Når du ser kvadratroden af 3 over 2 00:08:14.540 --> 00:08:16.870 så husker du forhåbentlig på en 30 60 og 90 trekant. 00:08:16.870 --> 00:08:17.980 Kvadratroden af 3 over 2 00:08:17.980 --> 00:08:19.950 Denne side er 1/2. 00:08:19.950 --> 00:08:21.250 Denne side er naturligvis 1. 00:08:21.250 --> 00:08:22.880 Da dette er en enhedscirkel. 00:08:22.880 --> 00:08:24.630 Radius er 1. 00:08:24.630 --> 00:08:27.415 I en 30 60 90 trekant er vinklen overfor 00:08:27.415 --> 00:08:30.500 side på kvadratroden af 3 over 2 er 60 grader. 00:08:30.500 --> 00:08:32.610 Denne vinkel her er 30 grader. 00:08:32.610 --> 00:08:35.140 Dette er 60 grader. 00:08:35.140 --> 00:08:36.100 Det er dens størrelse. 00:08:36.100 --> 00:08:37.325 Men den går nedad. 00:08:37.325 --> 00:08:39.970 så den er -60 grader. 00:08:39.970 --> 00:08:43.180 Theta er lig -60 grader. 00:08:43.180 --> 00:08:44.630 Hvis vi bruger radianer 00:08:44.630 --> 00:08:45.210 så er det ikke godt nok. 00:08:45.210 --> 00:08:52.350 Vi kan gange dette med pi radianer for hver 180 grader. 00:08:52.350 --> 00:08:54.540 s 00:08:54.540 --> 00:08:56.070 graderne går ud med hinanden. 00:08:56.070 --> 00:08:59.500 Tilbage har vi at theta er lig -pi/3 radianer 00:08:59.500 --> 00:09:04.090 s 00:09:04.090 --> 00:09:10.630 Vi kan nu sige at 00:09:10.630 --> 00:09:16.780 arcsinus til minus kvadratroden af 3 over 2 er lig 00:09:16.780 --> 00:09:19.980 minus pi/3 radianer. 00:09:19.980 --> 00:09:24.680 Eller vi kan sige at den inverse sinus til minus kvadratroden af 00:09:24.680 --> 00:09:30.840 3 over 2 erlig .pi/3 radianer. 00:09:30.840 --> 00:09:34.290 Lad mig lige finde lommeregneren, 00:09:34.290 --> 00:09:35.310 s 00:09:35.310 --> 00:09:38.200 Jeg har alelrede sat den til radianer. 00:09:38.200 --> 00:09:39.370 Det kan du tjekke her. 00:09:39.370 --> 00:09:41.060 Per second mode 00:09:41.060 --> 00:09:43.040 jeg er i radianer. 00:09:43.040 --> 00:09:45.490 Nu får jeg forhåbentlig det rigtige svar. 00:09:45.490 --> 00:09:47.840 Jeg skal bruge den inverse funktion, 00:09:47.840 --> 00:09:51.610 Så den inverse sinus the second og sinus knappen. 00:09:51.610 --> 00:09:59.790 til minus kvadratroden af 3 over 2 00:09:59.790 --> 00:10:03.800 Det er lig -1,04. 00:10:03.800 --> 00:10:11.040 Der står at dette er lig -1,04 radianer. 00:10:11.040 --> 00:10:13.970 Derfor må pi/3 var lig 1,04. 00:10:13.970 --> 00:10:16.030 Lad os se om jeg kan bekræfte det. 00:10:16.030 --> 00:10:25.180 Når jeg skriver -pi divideret med 3, hvad får jeg så? 00:10:25.180 --> 00:10:26.670 Jeg får præcis den samme værdi. 00:10:26.670 --> 00:10:28.710 Min lommeregner gav mig præcis den samme værdi, 00:10:28.710 --> 00:10:31.240 men det havde ikke været særligt nyttigt hvis min lommeregner ikke 00:10:31.240 --> 00:10:34.520 kan fortælle mig at dette er pi/3,