1
00:00:00,340 --> 00:00:04,000
Hvis jeg kommer hen til dig
på gaden og siger fortæl mig

2
00:00:04,000 --> 00:00:07,200
-- det skal vist ikke være så tykt --

3
00:00:07,200 --> 00:00:11,710
hvad er sin(pi/4)?

4
00:00:11,710 --> 00:00:14,950
Naturligvis antager vi,
at vi snakker om radianer.

5
00:00:14,950 --> 00:00:19,590
Du ved allerede, hvad svaret er,
eller du kan tegne en enhedscirkel.

6
00:00:19,590 --> 00:00:21,590
Det er måske ikke den pæneste enhedscirkel

7
00:00:21,590 --> 00:00:23,080
men du kan se, hvad jeg mener.

8
00:00:23,080 --> 00:00:26,620
Du finder pi/4 radianer,

9
00:00:26,620 --> 00:00:29,760
som er det samme som 45 grader.

10
00:00:29,760 --> 00:00:31,840
Du kan tegne retningspunktet.

11
00:00:31,840 --> 00:00:36,250
Sinus er defineret som
y-koordinaten på enhedscirklen.

12
00:00:36,250 --> 00:00:38,910
Så du skal finde denne værdi.

13
00:00:38,910 --> 00:00:40,210
Du svarer med det samme,

14
00:00:40,210 --> 00:00:42,630
okay, det er 45 grader.

15
00:00:42,630 --> 00:00:45,530
Lad mig tegne trekanten en smule større.

16
00:00:45,530 --> 00:00:47,530
Trekanten ser således ud.

17
00:00:47,530 --> 00:00:49,210
Dette er 45.

18
00:00:49,210 --> 00:00:50,900
Dette er 45 grader.

19
00:00:50,900 --> 00:00:53,790
Dette er 90.

20
00:00:53,790 --> 00:00:57,330
Du kan løse for en 45 45 90 trekant.

21
00:00:57,330 --> 00:00:59,040
Hypotenusen er 1.

22
00:00:59,040 --> 00:00:59,920
Dette er x.

23
00:00:59,920 --> 00:01:00,640
Dette er x.

24
00:01:00,640 --> 00:01:01,930
De har den samme værdi.

25
00:01:01,930 --> 00:01:04,920
Dette er en ligebenet trekant.

26
00:01:04,920 --> 00:01:06,960
Disse to grundvinkler er ens.

27
00:01:06,960 --> 00:01:12,960
Du får x² + x² er lig 1²,
som jo blot er 1.

28
00:01:12,960 --> 00:01:15,200
2x² er lig 1.

29
00:01:15,200 --> 00:01:17,440
x² er lig 1/2.

30
00:01:17,440 --> 00:01:20,310
x er lig kvadratroden af 1/2,

31
00:01:20,310 --> 00:01:22,780
som er 1 over kvadratroden af 2.

32
00:01:22,780 --> 00:01:31,230
Jeg kan omskrive det ved at gange med
kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2.

33
00:01:31,230 --> 00:01:34,950
Så får jeg x er lig
kvadratroden af 2 over 2.

34
00:01:34,950 --> 00:01:38,770
Højden er kvadratroden af 2 over 2.

35
00:01:38,770 --> 00:01:41,710
Hvis du vil finde denne afstand,
så er den det samme.

36
00:01:41,710 --> 00:01:43,140
Men vi skal blot finde højden.

37
00:01:43,140 --> 00:01:49,180
Da sinus til dette blot svarer til højden,
altså y-koordinaten.

38
00:01:49,180 --> 00:01:52,890
Vi fik kvadratroden af 2 over 2.

39
00:01:52,890 --> 00:01:53,990
Dette er en gennemgang.

40
00:01:53,990 --> 00:02:00,210
VI har lært dette i en
video om enhedscirklen.

41
00:02:00,210 --> 00:02:07,980
En anden dag kommer jeg hen
til dig og siger fortæl mig

42
00:02:07,980 --> 00:02:14,820
hvad er arcsinus til
kvadratroden af 2 over 2?

43
00:02:14,820 --> 00:02:16,190
Hvad er arcsinus?

44
00:02:16,190 --> 00:02:16,970
Du er overrasket

45
00:02:16,970 --> 00:02:19,240
Du tænker, jeg ved,
hvad sinus til en vinkel er,

46
00:02:19,240 --> 00:02:24,480
men dette er en ny trigonometrisk funktion
som Sal har fundet på.

47
00:02:24,480 --> 00:02:28,320
Alt hvad du behøver at vide er,
når der står arc foran sinus,

48
00:02:28,320 --> 00:02:30,810
som også nogle gange
hedder den inverse sinus

49
00:02:30,810 --> 00:02:33,960
-- der kunne lige så godt have stået

50
00:02:33,960 --> 00:02:38,420
den inverse sinus til
kvadratroden af 2 over 2 --

51
00:02:38,420 --> 00:02:42,900
er at dette betyder,
hvilken vinkel skal jeg

52
00:02:42,900 --> 00:02:48,310
finde sinusværdien til og få
kvadratroden af 2 over 2.

53
00:02:48,310 --> 00:02:54,610
Det siger, hvilken vinkel har sinusværdien
kvadratroden af 2 over 2?

54
00:02:54,610 --> 00:03:05,535
Jeg kan omskrive begge disse udsagn som

55
00:03:05,535 --> 00:03:11,200
sinus til hvilken vinkel er lig
kvadratroden af 2 over 2.

56
00:03:11,200 --> 00:03:15,820
Og jeg tror, at dette er
nemmere for dig at svare på.

57
00:03:15,820 --> 00:03:18,400
Sinus til hvilken vinkel er
kvadratroden af 2 over 2?

58
00:03:18,400 --> 00:03:24,080
Vi har jo lige set, at sinus til pi/4
er kvadratroden af 2 over 2.

59
00:03:24,080 --> 00:03:30,630
Så jeg ved, at sinus til pi/4 er lig
kvadratroden af 2 over 2.

60
00:03:30,630 --> 00:03:35,760
Mit spørgsmålstegn er lig pi/4.

61
00:03:35,760 --> 00:03:51,940
Jeg kan omskrive dette til arcsin til
kvadratroden af 2 over 2 er lig pi/4.

62
00:03:51,940 --> 00:03:58,120
Jeg giver dig en værdi og 
beder dig angive den vinkel,

63
00:03:58,120 --> 00:04:01,490
som sinus til giver denne værdi.

64
00:04:01,490 --> 00:04:03,780
Hvortil du siger øh Sal,

65
00:04:03,780 --> 00:04:05,120
-- lad mig lige gå herhen --

66
00:04:05,120 --> 00:04:08,540
pi/2 passer eller 45 grader passer,

67
00:04:08,540 --> 00:04:13,220
men jeg kan blive ved med
at lægge 360 grader eller 2pi til.

68
00:04:13,220 --> 00:04:18,870
Alle disse passer, da jeg jo kommer hen
til det samme punkt på enhedscirklen.

69
00:04:18,870 --> 00:04:19,960
Og du har ret.

70
00:04:19,960 --> 00:04:24,960
Alle disse værdi burde være svar på dette.

71
00:04:24,960 --> 00:04:28,490
Fordi når du tager sinus
til disse vinkler,

72
00:04:28,490 --> 00:04:31,720
hvor du har lagt 360 til flere gange,

73
00:04:31,740 --> 00:04:33,540
så får du kvadratroden af 2 over 2.

74
00:04:33,540 --> 00:04:34,400
Det er et problem.

75
00:04:34,400 --> 00:04:41,940
Du kan ikke have en funktion,
hvor f(x) mapper til flere værdier.

76
00:04:41,940 --> 00:04:52,280
Hvis den mapper over i pi/4 eller
pi/4 + 2pi eller pi/4 + 4pi.

77
00:04:52,280 --> 00:04:54,970
For at dette er en gyldig funktion,

78
00:04:54,970 --> 00:04:57,890
altså for at den inverse sinus
funktion kan defineres

79
00:04:57,890 --> 00:05:00,340
så bliver jeg nødt til at
begrænse dens værdimængde.

80
00:05:00,340 --> 00:05:06,753
Vi begrænser dens værdimængde
det mest naturlige sted.

81
00:05:06,753 --> 00:05:10,120
Hvad er dens definitionsmængde
begrænset til?

82
00:05:10,120 --> 00:05:18,320
Hvis jeg tager arcsinus til x, og jeg siger at det er lig theta

83
00:05:18,320 --> 00:05:21,900
hvad er defintionsmængden så begrænset itl?

84
00:05:21,900 --> 00:05:24,502
Hvad er de gyldige x-værdier.

85
00:05:24,502 --> 00:05:27,310
x kan være lig med?

86
00:05:27,310 --> 00:05:30,770
Hvis jeg tager sinus til en vinkel, så kan jeg

87
00:05:30,770 --> 00:05:33,840
kun få værdier mellem 1 og -1, ikke?

88
00:05:33,840 --> 00:05:37,680
Så x skal være større end eller lig med -1 og

89
00:05:37,680 --> 00:05:39,310
mindre end eller lig 1.

90
00:05:39,310 --> 00:05:41,570
Det er definitionsmængden.

91
00:05:41,570 --> 00:05:43,930
For at gøre dette til en gyldig funktion

92
00:05:43,930 --> 00:05:45,180
så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimængde.

93
00:05:45,180 --> 00:05:46,360
De mulige værdier.

94
00:05:46,360 --> 00:05:47,790
Jeg skal begrænse værdimængden.

95
00:05:47,790 --> 00:05:50,700
For arcsinus siger konventionen at man skal begrænse den til

96
00:05:50,700 --> 00:05:52,630
første og fjerde kvadrant.

97
00:05:52,630 --> 00:05:57,210
Altså begrænse de mulige vinkler til dette område

98
00:05:57,210 --> 00:05:58,750
langs enhedscirklen.

99
00:05:58,750 --> 00:06:03,840
Theta er begrænset til at være mindre end eller lig med pi/2

100
00:06:03,840 --> 00:06:11,180
og større end eller lig med -pi/2.

101
00:06:11,180 --> 00:06:14,150
Når det er givet, så kan vi forstå hvad arcsinus er.

102
00:06:14,150 --> 00:06:17,110
Lad os lave endnu en opgave.

103
00:06:17,110 --> 00:06:20,280
-- lad mig lige lave lidt plads --

104
00:06:20,280 --> 00:06:21,430
Lad mig lave endnu en arcsinus.

105
00:06:21,430 --> 00:06:30,450
Lad os sige jeg spørger dig,
hvad er arcsinus til -kvadratroden af 3 over 2?

106
00:06:30,450 --> 00:06:32,390
s

107
00:06:36,480 --> 00:06:37,690
mulighvis kan du huske svaret.

108
00:06:37,690 --> 00:06:40,100
og siger jeg ved at sinx eller

109
00:06:40,100 --> 00:06:41,420
sinus til theta er kvadratroden af 3 over 2.

110
00:06:41,420 --> 00:06:42,220
Og du er færdig.

111
00:06:42,220 --> 00:06:44,730
men jeg kan ikke huske det.

112
00:06:44,730 --> 00:06:46,990
så lad mig tegne en enhedscirkel.

113
00:06:46,990 --> 00:06:48,480
Når vi snakker arcsinus, så behøver

114
00:06:48,480 --> 00:06:53,550
jeg kun tegne 1. og 4. kvadrant af enhedscirklen.

115
00:06:53,550 --> 00:06:54,810
Dette er y-aksen,

116
00:06:54,810 --> 00:06:56,890
Dette er min x-akse.

117
00:06:56,890 --> 00:06:59,690
x og y.

118
00:06:59,690 --> 00:07:01,300
Hvor er jeg?

119
00:07:01,300 --> 00:07:04,360
Hvis sinus af noget er minus kvadratroden af 3 over 2,

120
00:07:04,360 --> 00:07:07,760
så betyder det at y-koordinaten på enhedscirklen er

121
00:07:07,760 --> 00:07:09,320
minus kvadratroden af 3 over 2.

122
00:07:09,320 --> 00:07:15,020
Det betyder vi er cirka her.

123
00:07:15,020 --> 00:07:18,800
Dette er minus kvadratroden af 3 over 2.

124
00:07:18,800 --> 00:07:20,440
Dette er hvor vi er.

125
00:07:20,440 --> 00:07:24,160
Hvilken vinkel er det?

126
00:07:24,160 --> 00:07:26,090
Lad os se lidt på det.

127
00:07:26,090 --> 00:07:31,600
min y-koordinat er minus kvadratroden af 3 over 2

128
00:07:31,600 --> 00:07:33,460
Dette er vinklen.

129
00:07:33,460 --> 00:07:36,110
Det bliver en negativ vinkel fordi vi går

130
00:07:36,110 --> 00:07:39,130
under x-aksen med uret.

131
00:07:39,130 --> 00:07:44,240
-- lad mig lige lave en trekant --

132
00:07:44,240 --> 00:07:45,520
-- jeg vælger lige en anden farve --

133
00:07:45,520 --> 00:07:48,040
Dette er en trekant.

134
00:07:48,040 --> 00:07:52,740
-- lad mig bruge denne blå farve --

135
00:07:52,740 --> 00:07:55,680
Jeg zoomer lige

136
00:07:55,680 --> 00:07:56,230
sådan

137
00:07:56,230 --> 00:07:57,950
dette er theta

138
00:07:57,950 --> 00:07:58,530
s

139
00:07:58,530 --> 00:08:00,660
Hvad er denne længde?

140
00:08:00,660 --> 00:08:03,120
Det er det samme som y-højden

141
00:08:03,120 --> 00:08:03,890
kan vi kalde den

142
00:08:03,890 --> 00:08:06,020
som er kvadratroden af 3 ver 2.

143
00:08:06,020 --> 00:08:07,560
Det bliver minus fordi vi går nedad.

144
00:08:07,560 --> 00:08:08,850
Men lad os finde denne vinkel.

145
00:08:08,850 --> 00:08:11,960
Vi ved det er en negativ vinkel.

146
00:08:11,960 --> 00:08:14,540
Når du ser kvadratroden af 3 over 2

147
00:08:14,540 --> 00:08:16,870
så husker du forhåbentlig på en
30 60 og 90 trekant.

148
00:08:16,870 --> 00:08:17,980
Kvadratroden af 3 over 2

149
00:08:17,980 --> 00:08:19,950
Denne side er 1/2.

150
00:08:19,950 --> 00:08:21,250
Denne side er naturligvis 1.

151
00:08:21,250 --> 00:08:22,880
Da dette er en enhedscirkel.

152
00:08:22,880 --> 00:08:24,630
Radius er 1.

153
00:08:24,630 --> 00:08:27,415
I en 30 60 90 trekant er vinklen overfor

154
00:08:27,415 --> 00:08:30,500
side på kvadratroden af 3 over 2 er 60 grader.

155
00:08:30,500 --> 00:08:32,610
Denne vinkel her er 30 grader.

156
00:08:32,610 --> 00:08:35,140
Dette er 60 grader.

157
00:08:35,140 --> 00:08:36,100
Det er dens størrelse.

158
00:08:36,100 --> 00:08:37,325
Men den går nedad.

159
00:08:37,325 --> 00:08:39,970
så den er -60 grader.

160
00:08:39,970 --> 00:08:43,180
Theta er lig -60 grader.

161
00:08:43,180 --> 00:08:44,630
Hvis vi bruger radianer

162
00:08:44,630 --> 00:08:45,210
så er det ikke godt nok.

163
00:08:45,210 --> 00:08:52,350
Vi kan gange dette med pi radianer for hver 180 grader.

164
00:08:52,350 --> 00:08:54,540
s

165
00:08:54,540 --> 00:08:56,070
graderne går ud med hinanden.

166
00:08:56,070 --> 00:08:59,500
Tilbage har vi at theta er lig -pi/3 radianer

167
00:08:59,500 --> 00:09:04,090
s

168
00:09:04,090 --> 00:09:10,630
Vi kan nu sige at

169
00:09:10,630 --> 00:09:16,780
arcsinus til minus kvadratroden af 3 over 2 er lig

170
00:09:16,780 --> 00:09:19,980
minus pi/3 radianer.

171
00:09:19,980 --> 00:09:24,680
Eller vi kan sige at den inverse sinus til minus kvadratroden af

172
00:09:24,680 --> 00:09:30,840
3 over 2 erlig .pi/3 radianer.

173
00:09:30,840 --> 00:09:34,290
Lad mig lige finde lommeregneren,

174
00:09:34,290 --> 00:09:35,310
s

175
00:09:35,310 --> 00:09:38,200
Jeg har alelrede sat den til radianer.

176
00:09:38,200 --> 00:09:39,370
Det kan du tjekke her.

177
00:09:39,370 --> 00:09:41,060
Per second mode

178
00:09:41,060 --> 00:09:43,040
jeg er i radianer.

179
00:09:43,040 --> 00:09:45,490
Nu får jeg forhåbentlig det rigtige svar.

180
00:09:45,490 --> 00:09:47,840
Jeg skal bruge den inverse funktion,

181
00:09:47,840 --> 00:09:51,610
Så den inverse sinus 
the second og sinus knappen.

182
00:09:51,610 --> 00:09:59,790
til minus kvadratroden af 3 over 2

183
00:09:59,790 --> 00:10:03,800
Det er lig -1,04.

184
00:10:03,800 --> 00:10:11,040
Der står at dette er lig -1,04 radianer.

185
00:10:11,040 --> 00:10:13,970
Derfor må pi/3 var lig 1,04.

186
00:10:13,970 --> 00:10:16,030
Lad os se om jeg kan bekræfte det.

187
00:10:16,030 --> 00:10:25,180
Når jeg skriver -pi divideret med 3, hvad får jeg så?

188
00:10:25,180 --> 00:10:26,670
Jeg får præcis den samme værdi.

189
00:10:26,670 --> 00:10:28,710
Min lommeregner gav mig præcis den samme værdi,

190
00:10:28,710 --> 00:10:31,240
men det havde ikke været særligt nyttigt
hvis min lommeregner ikke

191
00:10:31,240 --> 00:10:34,520
kan fortælle mig at dette er pi/3,