Introduktion til invers-sinus

Hvis jeg kommer hen til dig på gaden
og siger fortæl mig

-- den skulle vist ikke være så tyk --

hvad sin(pi/4) er?

Naturligvis antager vi at vi snakker om radianer.

Du ville enten kende svaret, elelr du kan

tegne en enhedscirkel.

Det er måske ikke den pæneste enhedscirkel

men du kan se, hvad jeg mener.

Du finder pi/4 radianer,

som er det samme som 45 grader.

Du kan tegne sss

Sinus er defineret som y-koordinaten

på enhedscirklen

Så du skal finde denne værdi,

og du svarer med det samme,

okay, det er 45 grader.

Lad mig tegne trekanten en smule større.

Trekanten ser således ud.

Dette er 45.

Dette er 45.

Dette er 90.

Du kan løse en 45 45 90 trekant.

Hypotenusen er 1.

Dette er x.

Dette er x.

De har den samme værdi.

Dette er en ligebenet trekant.

Disse to grundvinkler er ens.

Du får x² + x² er lig 1²,

som jo blot er 1.

2x² er lig 1.

x² er lig 1/2.

x er lig kvadratroden af 1/2,

som er 1 over kvadratroden af 2.

Jeg kan omskrive det ved at gange med

kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2.

Så får jeg x er lig kvadratroden af 2 over 2.

Højen her er kvadratroden af 2 over 2.

Hvis du vil finde denne afstand,

så er den det samme.

Men vi skal blot finde højden.

Da sinus til dette

blot svarer til højden.

altså y-koordinaten.

Og vi vik kvadratroden af 2 over 2.

Dette er en gennemgang.

VI har lært dette i en video om enhedscirklen.

En anden dag kommer jeg han til dig

og siger fortæl mig

hvad er arcsinus til kvadratroden af 2 over 2?

Hvad er arcsinus?

Du er overrasket

Du tænker, jeg ved hvad sinus til en vinkel er,

men dette er en ny trigonometrisk funktion
som Sal har fundet på.

Alt hvad du dog behøver at vide er at
dette ord med arc foran

som også nogle gange hedder

den inverse sinus.

Der kunne lige så godt have stået

den inverse sinus til kvadratroden af 2 over 2.

Dette betyder hvilken vinkel skal jeg have

for at sinusværdien er kvadratroden af 2 over 2.

Det siger hvilken vinkel har jeg
hvis sinus

af den er kvadratroden af 2 over 2.

Jeg kan omskrive begge disse udsagn

f

ved at sige sinus til hvilken vinkel

er lig kvadratroden af 2 over 2.

Og jeg tror dette er nemmere for dig

at svare på.

Sinus til hvilken vinkel er kvadratroden af 2 over 2?

Vi har jo lige set at sinus til pi/4

er kvadratroden af 2 over 2.

Her ved jeg at sinus til pi/4 er lig

kvadratroden af 2 over 2.

Mit spørgsmålstegn er lig pi/4.

Jeg kunne have omskrvet dette som

arcsinus til kvadratroden af 2 over 2 er lig pi/4.

Jeg giver dig en værdi

og jeg siger giv mig en vinkel, der giver mig

når jeg tager sinus til den vinkel denne værdi.

Hvortil du siger øh Sal.

se

Lad mig lige gå herhen.

Du siger pi/2 passer.

45 grader passer.

Men jeg kan blive ved med at lægger 360 grader til

eller lægge 2pi til.

Alle disse passer, da jeg jo

kommer til det samme punkt på enhedscirklen.

Og du har ret.

Alle disse værdi vil være svar på dette.

s

Fordi når du tager sinus til disse vinkler,

hvor du lægger 360 til flere gange,

når du tager sinus til en af dem,

så får du kvadratroden af 2 over 2.

Det er et problem.

Du kan ikke have en funktioner, hvor

f(x), hvor den har flere værdier.

s

Hvis den mapper over i pi/4 eller pi(4 + 2

pi eller pi/4 + 4pi.

For at dette er en funktioner,

altså for at den inverse sinus funktion kan defineres

så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimændgde.

Vi begrænser den værdimængde til

det mest naturlige

Lad os begrænse den.

Hvad er dens defintionsmængde begrænset til?

s

Hvis jeg tager arcsinus til noget,

til x, og jeg siger at det er lig theta

hvad er defintionsmængden så begrænset itl?

Hvad er de gyldige x-værdier.

x kan være lig med?

Hvis jeg tager sinus til en vinkel, så kan jeg

kun få værdier mellem 1 og -1, ikke?

Så x skal være større end eller lig med -1 og

mindre end eller lig 1.

Det er definitionsmængden.

For at gøre dette til en gyldig funktion

så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimængde.

De mulige værdier.

Jeg skal begrænse værdimængden.

For arcsinus siger konventionen at man skal begrænse den til

første og fjerde kvadrant.

Altså begrænse de mulige vinkler til dette område

langs enhedscirklen.

Theta er begrænset til at være mindre end eller lig med pi/2

og større end eller lig med -pi/2.

Når det er givet, så kan vi forstå hvad arcsinus er.

Lad os lave endnu en opgave.

-- lad mig lige lave lidt plads --

Lad mig lave endnu en arcsinus.

Lad os sige jeg spørger dig,
hvad er arcsinus til -kvadratroden af 3 over 2?

s

mulighvis kan du huske svaret.

og siger jeg ved at sinx eller

sinus til theta er kvadratroden af 3 over 2.

Og du er færdig.

men jeg kan ikke huske det.

så lad mig tegne en enhedscirkel.

Når vi snakker arcsinus, så behøver

jeg kun tegne 1. og 4. kvadrant af enhedscirklen.

Dette er y-aksen,

Dette er min x-akse.

x og y.

Hvor er jeg?

Hvis sinus af noget er minus kvadratroden af 3 over 2,

så betyder det at y-koordinaten på enhedscirklen er

minus kvadratroden af 3 over 2.

Det betyder vi er cirka her.

Dette er minus kvadratroden af 3 over 2.

Dette er hvor vi er.

Hvilken vinkel er det?

Lad os se lidt på det.

min y-koordinat er minus kvadratroden af 3 over 2

Dette er vinklen.

Det bliver en negativ vinkel fordi vi går

under x-aksen med uret.

-- lad mig lige lave en trekant --

-- jeg vælger lige en anden farve --

Dette er en trekant.

-- lad mig bruge denne blå farve --

Jeg zoomer lige

sådan

dette er theta

s

Hvad er denne længde?

Det er det samme som y-højden

kan vi kalde den

som er kvadratroden af 3 ver 2.

Det bliver minus fordi vi går nedad.

Men lad os finde denne vinkel.

Vi ved det er en negativ vinkel.

Når du ser kvadratroden af 3 over 2

så husker du forhåbentlig på en
30 60 og 90 trekant.

Kvadratroden af 3 over 2

Denne side er 1/2.

Denne side er naturligvis 1.

Da dette er en enhedscirkel.

Radius er 1.

I en 30 60 90 trekant er vinklen overfor

side på kvadratroden af 3 over 2 er 60 grader.

Denne vinkel her er 30 grader.

Dette er 60 grader.

Det er dens størrelse.

Men den går nedad.

så den er -60 grader.

Theta er lig -60 grader.

Hvis vi bruger radianer

så er det ikke godt nok.

Vi kan gange dette med pi radianer for hver 180 grader.

s

graderne går ud med hinanden.

Tilbage har vi at theta er lig -pi/3 radianer

s

Vi kan nu sige at

arcsinus