0:00:00.340,0:00:03.360
Hvis jeg kommer hen til dig på gaden[br]og siger fortæl mig

0:00:03.360,0:00:07.450
-- den skulle vist ikke være så tyk --

0:00:07.450,0:00:11.710
hvad sin(pi/4) er?

0:00:11.710,0:00:14.950
Naturligvis antager vi at vi snakker om radianer.

0:00:14.950,0:00:17.510
Du ville enten kende svaret, elelr du kan

0:00:17.510,0:00:19.920
tegne en enhedscirkel.

0:00:19.920,0:00:21.360
Det er måske ikke den pæneste enhedscirkel

0:00:21.360,0:00:23.080
men du kan se, hvad jeg mener.

0:00:23.080,0:00:26.960
Du finder pi/4 radianer,

0:00:26.960,0:00:29.760
som er det samme som 45 grader.

0:00:29.760,0:00:31.840
Du kan tegne sss

0:00:31.840,0:00:35.130
Sinus er defineret som y-koordinaten

0:00:35.130,0:00:36.250
på enhedscirklen

0:00:36.250,0:00:38.910
Så du skal finde denne værdi,

0:00:38.910,0:00:40.210
og du svarer med det samme,

0:00:40.210,0:00:42.630
okay, det er 45 grader.

0:00:42.630,0:00:45.530
Lad mig tegne trekanten en smule større.

0:00:45.530,0:00:47.530
Trekanten ser således ud.

0:00:47.530,0:00:49.210
Dette er 45.

0:00:49.210,0:00:50.900
Dette er 45.

0:00:50.900,0:00:53.790
Dette er 90.

0:00:53.790,0:00:57.330
Du kan løse en 45 45 90 trekant.

0:00:57.330,0:00:59.040
Hypotenusen er 1.

0:00:59.040,0:00:59.960
Dette er x.

0:00:59.960,0:01:00.640
Dette er x.

0:01:00.640,0:01:01.930
De har den samme værdi.

0:01:01.930,0:01:04.920
Dette er en ligebenet trekant.

0:01:04.920,0:01:06.960
Disse to grundvinkler er ens.

0:01:06.960,0:01:10.690
Du får x² + x² er lig 1²,

0:01:10.690,0:01:12.960
som jo blot er 1.

0:01:12.960,0:01:15.200
2x² er lig 1.

0:01:15.200,0:01:17.440
x² er lig 1/2.

0:01:17.440,0:01:20.840
x er lig kvadratroden af 1/2,

0:01:20.840,0:01:22.780
som er 1 over kvadratroden af 2.

0:01:22.780,0:01:25.960
Jeg kan omskrive det ved at gange med

0:01:25.960,0:01:27.330
kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2.

0:01:31.230,0:01:34.950
Så får jeg x er lig kvadratroden af 2 over 2.

0:01:34.950,0:01:38.770
Højen her er kvadratroden af 2 over 2.

0:01:38.770,0:01:40.400
Hvis du vil finde denne afstand,

0:01:40.400,0:01:41.710
så er den det samme.

0:01:41.710,0:01:43.090
Men vi skal blot finde højden.

0:01:43.090,0:01:46.600
Da sinus til dette

0:01:46.600,0:01:47.920
blot svarer til højden.

0:01:47.920,0:01:49.180
altså y-koordinaten.

0:01:49.180,0:01:52.960
Og vi vik kvadratroden af 2 over 2.

0:01:52.960,0:01:53.890
Dette er en gennemgang.

0:01:53.890,0:02:00.210
VI har lært dette i en video om enhedscirklen.

0:02:00.210,0:02:02.290
En anden dag kommer jeg han til dig

0:02:02.290,0:02:08.850
og siger fortæl mig

0:02:08.850,0:02:14.820
hvad er arcsinus til kvadratroden af 2 over 2?

0:02:14.820,0:02:16.190
Hvad er arcsinus?

0:02:16.190,0:02:16.970
Du er overrasket

0:02:16.970,0:02:19.180
Du tænker, jeg ved hvad sinus til en vinkel er,

0:02:19.180,0:02:24.480
men dette er en ny trigonometrisk funktion[br]som Sal har fundet på.

0:02:24.480,0:02:27.770
Alt hvad du dog behøver at vide er at[br]dette ord med arc foran

0:02:27.770,0:02:29.455
som også nogle gange hedder

0:02:29.455,0:02:30.810
den inverse sinus.

0:02:30.810,0:02:33.960
Der kunne lige så godt have stået

0:02:33.960,0:02:38.420
den inverse sinus til kvadratroden af 2 over 2.

0:02:38.420,0:02:42.900
Dette betyder hvilken vinkel skal jeg have

0:02:42.900,0:02:48.310
for at sinusværdien er kvadratroden af 2 over 2.

0:02:48.310,0:02:52.000
Det siger hvilken vinkel har jeg[br]hvis sinus

0:02:52.000,0:02:54.610
af den er kvadratroden af 2 over 2.

0:02:54.610,0:03:00.220
Jeg kan omskrive begge disse udsagn

0:03:00.220,0:03:02.260
f

0:03:02.260,0:03:06.890
ved at sige sinus til hvilken vinkel

0:03:06.890,0:03:11.200
er lig kvadratroden af 2 over 2.

0:03:11.200,0:03:14.910
Og jeg tror dette er nemmere for dig

0:03:14.910,0:03:15.820
at svare på.

0:03:15.820,0:03:18.400
Sinus til hvilken vinkel er kvadratroden af 2 over 2?

0:03:18.400,0:03:21.950
Vi har jo lige set at sinus til pi/4

0:03:21.950,0:03:24.080
er kvadratroden af 2 over 2.

0:03:24.080,0:03:28.560
Her ved jeg at sinus til pi/4 er lig

0:03:28.560,0:03:30.630
kvadratroden af 2 over 2.

0:03:30.630,0:03:35.760
Mit spørgsmålstegn er lig pi/4.

0:03:35.760,0:03:42.400
Jeg kunne have omskrvet dette som

0:03:42.400,0:03:51.940
arcsinus til kvadratroden af 2 over 2 er lig pi/4.

0:03:51.940,0:03:56.120
Jeg giver dig en værdi

0:03:56.120,0:03:58.630
og jeg siger giv mig en vinkel, der giver mig

0:03:58.630,0:04:01.490
når jeg tager sinus til den vinkel denne værdi.

0:04:01.490,0:04:03.030
Hvortil du siger øh Sal.

0:04:03.030,0:04:03.950
se

0:04:03.950,0:04:05.120
Lad mig lige gå herhen.

0:04:05.120,0:04:06.960
Du siger pi/2 passer.

0:04:06.960,0:04:08.540
45 grader passer.

0:04:08.540,0:04:11.560
Men jeg kan blive ved med at lægger 360 grader til

0:04:11.560,0:04:13.130
eller lægge 2pi til.

0:04:13.130,0:04:15.330
Alle disse passer, da jeg jo

0:04:15.330,0:04:18.870
kommer til det samme punkt på enhedscirklen.

0:04:18.870,0:04:19.960
Og du har ret.

0:04:19.960,0:04:23.350
Alle disse værdi vil være svar på dette.

0:04:23.350,0:04:25.290
s

0:04:25.290,0:04:27.700
Fordi når du tager sinus til disse vinkler,

0:04:27.700,0:04:29.720
hvor du lægger 360 til flere gange,

0:04:29.720,0:04:31.740
når du tager sinus til en af dem,

0:04:31.740,0:04:33.540
så får du kvadratroden af 2 over 2.

0:04:33.540,0:04:34.370
Det er et problem.

0:04:34.370,0:04:37.070
Du kan ikke have en funktioner, hvor

0:04:37.070,0:04:40.340
f(x), hvor den har flere værdier.

0:04:40.340,0:04:42.230
s

0:04:42.230,0:04:47.490
Hvis den mapper over i pi/4 eller pi(4 + 2

0:04:47.490,0:04:52.280
pi eller pi/4 + 4pi.

0:04:52.280,0:04:55.320
For at dette er en funktioner,

0:04:55.320,0:04:58.450
altså for at den inverse sinus funktion kan defineres

0:04:58.450,0:05:00.340
så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimændgde.

0:05:00.340,0:05:02.660
Vi begrænser den værdimængde til

0:05:02.660,0:05:04.710
det mest naturlige

0:05:04.710,0:05:06.990
Lad os begrænse den.

0:05:06.990,0:05:08.910
Hvad er dens defintionsmængde begrænset til?

0:05:08.910,0:05:10.120
s

0:05:10.120,0:05:13.160
Hvis jeg tager arcsinus til noget,

0:05:13.160,0:05:18.320
til x, og jeg siger at det er lig theta

0:05:18.320,0:05:21.900
hvad er defintionsmængden så begrænset itl?

0:05:21.900,0:05:24.502
Hvad er de gyldige x-værdier.

0:05:24.502,0:05:27.310
x kan være lig med?

0:05:27.310,0:05:30.770
Hvis jeg tager sinus til en vinkel, så kan jeg

0:05:30.770,0:05:33.840
kun få værdier mellem 1 og -1, ikke?

0:05:33.840,0:05:37.680
Så x skal være større end eller lig med -1 og

0:05:37.680,0:05:39.310
mindre end eller lig 1.

0:05:39.310,0:05:41.570
Det er definitionsmængden.

0:05:41.570,0:05:43.930
For at gøre dette til en gyldig funktion

0:05:43.930,0:05:45.180
så bliver jeg nødt til at begrænse dens værdimængde.

0:05:45.180,0:05:46.360
De mulige værdier.

0:05:46.360,0:05:47.790
Jeg skal begrænse værdimængden.

0:05:47.790,0:05:50.700
For arcsinus siger konventionen at man skal begrænse den til

0:05:50.700,0:05:52.630
første og fjerde kvadrant.

0:05:52.630,0:05:57.210
Altså begrænse de mulige vinkler til dette område

0:05:57.210,0:05:58.750
langs enhedscirklen.

0:05:58.750,0:06:03.840
Theta er begrænset til at være mindre end eller lig med pi/2

0:06:03.840,0:06:11.180
og større end eller lig med -pi/2.

0:06:11.180,0:06:14.150
Når det er givet, så kan vi forstå hvad arcsinus er.

0:06:14.150,0:06:17.110
Lad os lave endnu en opgave.

0:06:17.110,0:06:20.280
-- lad mig lige lave lidt plads --

0:06:20.280,0:06:21.430
Lad mig lave endnu en arcsinus.

0:06:21.430,0:06:30.450
Lad os sige jeg spørger dig,[br]hvad er arcsinus til -kvadratroden af 3 over 2?

0:06:30.450,0:06:32.390
s

0:06:36.480,0:06:37.690
mulighvis kan du huske svaret.

0:06:37.690,0:06:40.100
og siger jeg ved at sinx eller

0:06:40.100,0:06:41.420
sinus til theta er kvadratroden af 3 over 2.

0:06:41.420,0:06:42.220
Og du er færdig.

0:06:42.220,0:06:44.730
men jeg kan ikke huske det.

0:06:44.730,0:06:46.990
så lad mig tegne en enhedscirkel.

0:06:46.990,0:06:48.480
Når vi snakker arcsinus, så behøver

0:06:48.480,0:06:53.550
jeg kun tegne 1. og 4. kvadrant af enhedscirklen.

0:06:53.550,0:06:54.810
Dette er y-aksen,

0:06:54.810,0:06:56.890
Dette er min x-akse.

0:06:56.890,0:06:59.690
x og y.

0:06:59.690,0:07:01.300
Hvor er jeg?

0:07:01.300,0:07:04.360
Hvis sinus af noget er minus kvadratroden af 3 over 2,

0:07:04.360,0:07:07.760
så betyder det at y-koordinaten på enhedscirklen er

0:07:07.760,0:07:09.320
minus kvadratroden af 3 over 2.

0:07:09.320,0:07:15.020
Det betyder vi er cirka her.

0:07:15.020,0:07:18.800
Dette er minus kvadratroden af 3 over 2.

0:07:18.800,0:07:20.440
Dette er hvor vi er.

0:07:20.440,0:07:24.160
Hvilken vinkel er det?

0:07:24.160,0:07:26.090
Lad os se lidt på det.

0:07:26.090,0:07:31.600
min y-koordinat er minus kvadratroden af 3 over 2

0:07:31.600,0:07:33.460
Dette er vinklen.

0:07:33.460,0:07:36.110
Det bliver en negativ vinkel fordi vi går

0:07:36.110,0:07:39.130
under x-aksen med uret.

0:07:39.130,0:07:44.240
-- lad mig lige lave en trekant --

0:07:44.240,0:07:45.520
-- jeg vælger lige en anden farve --

0:07:45.520,0:07:48.040
Dette er en trekant.

0:07:48.040,0:07:52.740
-- lad mig bruge denne blå farve --

0:07:52.740,0:07:55.680
Jeg zoomer lige

0:07:55.680,0:07:56.230
sådan

0:07:56.230,0:07:57.950
dette er theta

0:07:57.950,0:07:58.530
s

0:07:58.530,0:08:00.660
Hvad er denne længde?

0:08:00.660,0:08:03.120
Det er det samme som y-højden

0:08:03.120,0:08:03.890
kan vi kalde den

0:08:03.890,0:08:06.020
som er kvadratroden af 3 ver 2.

0:08:06.020,0:08:07.560
Det bliver minus fordi vi går nedad.

0:08:07.560,0:08:08.850
Men lad os finde denne vinkel.

0:08:08.850,0:08:11.960
Vi ved det er en negativ vinkel.

0:08:11.960,0:08:14.540
Når du ser kvadratroden af 3 over 2

0:08:14.540,0:08:16.870
så husker du forhåbentlig på en[br]30 60 og 90 trekant.

0:08:16.870,0:08:17.980
Kvadratroden af 3 over 2

0:08:17.980,0:08:19.950
Denne side er 1/2.

0:08:19.950,0:08:21.250
Denne side er naturligvis 1.

0:08:21.250,0:08:22.880
Da dette er en enhedscirkel.

0:08:22.880,0:08:24.630
Radius er 1.

0:08:24.630,0:08:27.415
I en 30 60 90 trekant er vinklen overfor

0:08:27.415,0:08:30.500
side på kvadratroden af 3 over 2 er 60 grader.

0:08:30.500,0:08:32.610
Denne vinkel her er 30 grader.

0:08:32.610,0:08:35.140
Dette er 60 grader.

0:08:35.140,0:08:36.100
Det er dens størrelse.

0:08:36.100,0:08:37.325
Men den går nedad.

0:08:37.325,0:08:39.970
så den er -60 grader.

0:08:39.970,0:08:43.180
Theta er lig -60 grader.

0:08:43.180,0:08:44.630
Hvis vi bruger radianer

0:08:44.630,0:08:45.210
så er det ikke godt nok.

0:08:45.210,0:08:52.350
Vi kan gange dette med pi radianer for hver 180 grader.

0:08:52.350,0:08:54.540
s

0:08:54.540,0:08:56.070
graderne går ud med hinanden.

0:08:56.070,0:08:59.500
Tilbage har vi at theta er lig -pi/3 radianer

0:08:59.500,0:09:04.090
s

0:09:04.090,0:09:10.630
Vi kan nu sige at

0:09:10.630,0:09:16.780
arcsinus

0:09:16.780,0:09:19.980


0:09:19.980,0:09:24.680


0:09:24.680,0:09:30.840


0:09:30.840,0:09:34.290


0:09:34.290,0:09:35.310


0:09:35.310,0:09:38.200


0:09:38.200,0:09:39.370


0:09:39.370,0:09:41.060


0:09:41.060,0:09:43.040


0:09:43.040,0:09:45.490


0:09:45.490,0:09:47.840


0:09:47.840,0:09:51.610


0:09:51.610,0:09:59.790


0:09:59.790,0:10:03.800


0:10:03.800,0:10:11.040


0:10:11.040,0:10:13.970


0:10:13.970,0:10:16.030


0:10:16.030,0:10:25.180


0:10:25.180,0:10:26.670


0:10:26.670,0:10:28.710


0:10:28.710,0:10:31.240


0:10:31.240,0:10:34.520