Inverse Trig Functions: Arcsin

Pokud bych k vám na ulici přišel
a zeptal se vás:

„Řekněte mi, prosím,
kolik je sin(π lomeno 4),“

přičemž samozřejmě
myslím (π lomeno 4) radiánů,

buď byste si tu hodnotu pamatovali

nebo byste nakreslili
jednotkovou kružnici.

Ta není zrovna nejlépe nakreslená,
ale chápete.

Šli byste k (π lomeno 4),
což je 45 °.

Vedli byste přímku.

Sinus je definován jako y-ová souřadnice
bodu na jednotkové kružnici.

Chtěli byste znát tuto hodnotu zde.

Řekli byste si, že toto je 45 °.

Nakreslím ten trojúhelník trochu větší.

Trojúhelník bude vypadat takto.

Toto je 45 °.

Toto je 45 °.

Toto je 90 °.

Víte, jaké strany
má trojúhelník 45-45-90.

Přepona je rovna 1.

Toto je 'x'.

Toto je 'x'.

Budou stejné.

Je to rovnoramenný trojúhelník.

U základny jsou dva stejné úhly.

Řeknete: „'x na druhou' plus 'x na druhou'
je rovno '1 na druhou'.“

2 krát 'x na druhou' je rovno 1.

'x na druhou' je rovno (1 lomeno 2).

'x' je rovno odmocnině z (1 lomeno 2),

což je rovno
(1 lomeno 'odmocnina ze 2').

Upravím to do lepšího tvaru vynásobením
(odmocnina ze 2 lomeno odmocnina ze 2).

Dostanu 'x' rovno
('odmocnina ze 2' lomeno 2).

Výška je tedy
('odmocnina ze 2' lomeno 2).

Pokud chcete znát tuto vzdálenost,
tak je stejná.

Nás však zajímala výška.

Hodnota sinu je totiž tato výška.

y-ová souřadnice.

To jsme spočítali,
že je rovno ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

To je opakování.

To jsme se naučili
ve videu o jednotkové kružnici.

Ale co kdyby…

Řekněme, že bych za vámi
další den přišel a zeptal se,

kolik je arkus sinus
z ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

Co je to arkus sinus?

Jste zmatení.

Budete si říkat,
že víte co je sinus úhlu,

ale co je to za novou funkci,
kterou Sal vymyslel?

Jen si musíte uvědomit,
že je-li před tím toto slovo „arkus“,

jedná se vlastně o inverzní funkci.

Stejně tak bych se mohl zeptat,

kolik je 'inverzní funkce k sinu'
z hodnoty ('odmocnina ze 2' lomeno 2)?

Jen se tak ptám:

„Sinus jakého úhlu je roven
hodnotě ('odmocnina ze 2' lomeno 2)?

Mohl bych to přepsat…

„Sinus čeho je rovno
('odmocnina ze 2' lomeno 2)?“

Bude pro vás asi snazší
odpovědět na tuto otázku.

„Sinus čeho je roven
('odmocnina ze 2' lomeno 2)?“

Přece vím, že sin(π lomeno 4)
je ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

V tomto případě tedy vím,

že sin(π lomeno 4)
je ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

Můj otazník je tedy roven (π lomeno 4).

Nebo také mohu napsat,

že arkus sinus ('odmocnina ze 2' lomeno 2)
je rovno (π lomeno 4).

Můžete si tedy říct…
Opakování: dávám vám hodnotu

a ptám se na úhel,
jehož sinus je té hodnotě roven.

Ale vás napadne:

„Podívej, (π lomeno 2) funguje,
45 ° funguje,

ale co kdybych přidal 360 °
nebo 2π radiánů?“

„To všechno by fungovalo,

neboť by mě to dostalo
na stejný bod kružnice, že?“

A měli byste pravdu.

Všechny hodnoty,
které by vás napadly, by fungovaly, ne?

Můžete vzít sinus jakéhokoliv úhlu,
můžete přidávat 360 °.

Ať už byste vzali sinus jakéhokoliv,
dostanete ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

A to je problém.

Nemůžu mít funkci f(x),
která mi pro jedno 'x' dá víc hodnot.

Která by mi dala (π lomeno 4)
a zároveň (π lomeno 4) plus 2π

a zároveň (π lomeno 4) plus 4π.

Aby to byla platná funkce,
aby byl arkus sinus dobře definovaný,

musím omezit její obor hodnot.

Omezím obor hodnot
na nejpřirozenější možný.

Omezme tedy obor hodnot.

Malá poznámka na okraj,
jak je omezen definiční obor?

Beru-li arkus sinus nějakého 'x' a říkám,
že je roven θ, jaký je definiční obor?

Jaké jsou platné hodnoty 'x'?

Čemu může být rovno 'x'?

Ať už beru sinus jakéhokoliv úhlu,
mohu dostat jen hodnoty mezi -1 a +1.

'x' bude větší nebo rovno -1
a menší nebo rovno 1.

To je definiční obor.

Aby toto byla platná funkce,
musím omezit obor hodnot.

Možné hodnoty.
Musím omezit obor hodnot.

Pro arkus sinus je konvencí
se omezit na první a čtvrtý kvadrant.

Omezit možné úhly
na tuto oblast jednotkové kružnice.

θ omezím, aby byla menší
nebo rovno (π lomeno 2)

a zároveň větší
nebo rovno (-π lomeno 2).

Na základě toho víme,
co je arkus sinus, značím „arcsin“, zač.

Pojďme na další příklad.

Udělám tu místo.

Další arcsin…

Řekněme, že se ptám na arcsin
hodnoty (-'odmocnina ze 3' lomeno 2).

Možná si to pamatujete.

Okamžitě byste řekli,
pro jaké 'x' nebo 'θ' platí,

že sinθ je
('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

Já si to však nepamatuju.

Nakreslím si tedy jednotkovou kružnici.

Když pracuji s „arcsin“,
stačí mi první a čtvrtý kvadrant.

Toto je osa y.

Toto je osa x.

Kde jsem?

Je-li sinus něčeho
('-odmocnina ze 3' lomeno 2),

znamená to, že souřadnice y
je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

To znamená, že jsme někde zde.

Toto je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

Tady jsme.

Jaký úhel mi to dává?

Zamysleme se nad tím.

y-ová souřadnice
je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

To je ten úhel.

Bude to záporný úhel,
neboť jsme pod osou 'x'.

Abychom to zjistili,
nakresleme si trojúhelník.

Vyberu lepší barvu.

Toto je trojúhelník.

Udělám to modře.

Zvětším si ten trojúhelník.

Takto.

Toto je θ.

Jak velká je tato délka?

Stejná, jako souřadnice 'y'.

To je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

Minus,
neboť jdeme dolů.

Zjistěme tento úhel.

Víme, že je to záporný úhel.

Vidíte-li ('-odmocnina ze 3' lomeno 2),
snad poznáte 30-60-90 trojúhelník.

('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

Tato strana je (1 lomeno 2).

Tato strana je rovna 1.

Jde o jednotkovou kružnici.

Poloměr je roven 1.

V trojúhelníku 30-60-90 je úhel naproti
('-odmocnina ze 3' lomeno 2) roven 60 °.

Tento úhel je 30 °.

Víme, že θ je…
Toto je rovno 60 °.

Jde však směrem dolů,
takže to je -60 °.

θ je tedy rovno -60 °.

Pracujeme s radiány,
to nám nestačí.

To můžeme vynásobit…

π radiánů za každých 180 °.

Stupně se vykrátí.

Zůstane nám θ rovno
(-π lomeno 3) radiánů.

Nyní můžeme tvrdit,

že arcsin ('-odmocnina ze 3' lomeno 2)
je (-π lomeno 3) radiánů.

'Inverzní funkce k sinu'
z ('-odmocnina ze 3' lomeno 2)

se rovná (-π lomeno 3) radiánů.

Abychom si to ověřili,
použiji kalkulačku.

Mám tu mód radiánů.

Můžete si to ověřit.

Mám tu mód radiánů.

Dostanu tedy, snad,
správnou odpověď.

Chci zjistit arkus sinus.

Arkus sinus z hodnoty
('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

To se rovná -1,04.

Kalkulačka mi tvrdí,
že je to rovno -1,04 radiánů.

(π lomeno 3) se tedy musí rovnat 1,04.

Podívejme se, zda to potvrdím.

Napíšu-li tedy (-π lomeno 3),
co dostanu?

Dostanu tu samou hodnotu.

Kalkulačka mi dala stejnou odpověď,
ale nemuselo by mi to být k užitku,

neboť mi neřekla, že je to (-π lomeno 3).