1
00:00:00,388 --> 00:00:02,807
Pokud bych k vám na ulici přišel
a zeptal se vás:

2
00:00:02,972 --> 00:00:11,568
„Řekněte mi, prosím,
kolik je sin(π lomeno 4),“

3
00:00:11,710 --> 00:00:14,660
přičemž samozřejmě
myslím (π lomeno 4) radiánů,

4
00:00:14,881 --> 00:00:16,843
buď byste si tu hodnotu pamatovali

5
00:00:17,013 --> 00:00:19,323
nebo byste nakreslili
jednotkovou kružnici.

6
00:00:19,563 --> 00:00:22,401
Ta není zrovna nejlépe nakreslená,
ale chápete.

7
00:00:22,952 --> 00:00:28,885
Šli byste k (π lomeno 4),
což je 45 °.

8
00:00:29,605 --> 00:00:31,628
Vedli byste přímku.

9
00:00:31,840 --> 00:00:36,057
Sinus je definován jako y-ová souřadnice
bodu na jednotkové kružnici.

10
00:00:36,219 --> 00:00:38,728
Chtěli byste znát tuto hodnotu zde.

11
00:00:38,866 --> 00:00:42,457
Řekli byste si, že toto je 45 °.

12
00:00:42,630 --> 00:00:44,598
Nakreslím ten trojúhelník trochu větší.

13
00:00:45,209 --> 00:00:47,173
Trojúhelník bude vypadat takto.

14
00:00:47,371 --> 00:00:48,858
Toto je 45 °.

15
00:00:49,227 --> 00:00:50,709
Toto je 45 °.

16
00:00:50,921 --> 00:00:53,666
Toto je 90 °.

17
00:00:53,905 --> 00:00:57,187
Víte, jaké strany
má trojúhelník 45-45-90.

18
00:00:57,330 --> 00:00:58,737
Přepona je rovna 1.

19
00:00:58,869 --> 00:00:59,674
Toto je 'x'.

20
00:00:59,820 --> 00:01:00,590
Toto je 'x'.

21
00:01:00,680 --> 00:01:01,854
Budou stejné.

22
00:01:01,930 --> 00:01:04,671
Je to rovnoramenný trojúhelník.

23
00:01:04,804 --> 00:01:06,785
U základny jsou dva stejné úhly.

24
00:01:06,960 --> 00:01:12,676
Řeknete: „'x na druhou' plus 'x na druhou'
je rovno '1 na druhou'.“

25
00:01:12,919 --> 00:01:14,920
2 krát 'x na druhou' je rovno 1.

26
00:01:15,157 --> 00:01:17,133
'x na druhou' je rovno (1 lomeno 2).

27
00:01:17,294 --> 00:01:20,249
'x' je rovno odmocnině z (1 lomeno 2),

28
00:01:20,358 --> 00:01:22,552
což je rovno
(1 lomeno 'odmocnina ze 2').

29
00:01:22,788 --> 00:01:31,095
Upravím to do lepšího tvaru vynásobením
(odmocnina ze 2 lomeno odmocnina ze 2).

30
00:01:31,230 --> 00:01:34,541
Dostanu 'x' rovno
('odmocnina ze 2' lomeno 2).

31
00:01:34,710 --> 00:01:38,578
Výška je tedy
('odmocnina ze 2' lomeno 2).

32
00:01:38,777 --> 00:01:41,406
Pokud chcete znát tuto vzdálenost,
tak je stejná.

33
00:01:41,572 --> 00:01:43,058
Nás však zajímala výška.

34
00:01:43,230 --> 00:01:47,750
Hodnota sinu je totiž tato výška.

35
00:01:47,928 --> 00:01:48,984
y-ová souřadnice.

36
00:01:49,229 --> 00:01:52,653
To jsme spočítali,
že je rovno ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

37
00:01:52,803 --> 00:01:53,748
To je opakování.

38
00:01:53,890 --> 00:01:59,947
To jsme se naučili
ve videu o jednotkové kružnici.

39
00:02:00,132 --> 00:02:01,594
Ale co kdyby…

40
00:02:01,725 --> 00:02:07,603
Řekněme, že bych za vámi
další den přišel a zeptal se,

41
00:02:07,962 --> 00:02:14,268
kolik je arkus sinus
z ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

42
00:02:14,467 --> 00:02:16,035
Co je to arkus sinus?

43
00:02:16,120 --> 00:02:16,885
Jste zmatení.

44
00:02:16,970 --> 00:02:18,993
Budete si říkat,
že víte co je sinus úhlu,

45
00:02:19,194 --> 00:02:24,077
ale co je to za novou funkci,
kterou Sal vymyslel?

46
00:02:24,269 --> 00:02:27,630
Jen si musíte uvědomit,
že je-li před tím toto slovo „arkus“,

47
00:02:27,770 --> 00:02:30,640
jedná se vlastně o inverzní funkci.

48
00:02:30,810 --> 00:02:32,814
Stejně tak bych se mohl zeptat,

49
00:02:32,982 --> 00:02:37,888
kolik je 'inverzní funkce k sinu'
z hodnoty ('odmocnina ze 2' lomeno 2)?

50
00:02:38,051 --> 00:02:40,249
Jen se tak ptám:

51
00:02:40,380 --> 00:02:54,372
„Sinus jakého úhlu je roven
hodnotě ('odmocnina ze 2' lomeno 2)?

52
00:02:54,526 --> 00:03:04,873
Mohl bych to přepsat…

53
00:03:05,330 --> 00:03:10,926
„Sinus čeho je rovno
('odmocnina ze 2' lomeno 2)?“

54
00:03:11,185 --> 00:03:15,598
Bude pro vás asi snazší
odpovědět na tuto otázku.

55
00:03:15,780 --> 00:03:18,169
„Sinus čeho je roven
('odmocnina ze 2' lomeno 2)?“

56
00:03:18,400 --> 00:03:23,306
Přece vím, že sin(π lomeno 4)
je ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

57
00:03:24,113 --> 00:03:25,691
V tomto případě tedy vím,

58
00:03:25,851 --> 00:03:30,254
že sin(π lomeno 4)
je ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

59
00:03:30,630 --> 00:03:35,057
Můj otazník je tedy roven (π lomeno 4).

60
00:03:35,670 --> 00:03:37,796
Nebo také mohu napsat,

61
00:03:38,001 --> 00:03:51,282
že arkus sinus ('odmocnina ze 2' lomeno 2)
je rovno (π lomeno 4).

62
00:03:51,695 --> 00:03:56,005
Můžete si tedy říct…
Opakování: dávám vám hodnotu

63
00:03:56,189 --> 00:04:01,010
a ptám se na úhel,
jehož sinus je té hodnotě roven.

64
00:04:01,207 --> 00:04:02,508
Ale vás napadne:

65
00:04:02,670 --> 00:04:08,358
„Podívej, (π lomeno 2) funguje,
45 ° funguje,

66
00:04:08,540 --> 00:04:12,876
ale co kdybych přidal 360 °
nebo 2π radiánů?“

67
00:04:13,058 --> 00:04:14,310
„To všechno by fungovalo,

68
00:04:14,490 --> 00:04:18,635
neboť by mě to dostalo
na stejný bod kružnice, že?“

69
00:04:18,826 --> 00:04:19,803
A měli byste pravdu.

70
00:04:19,960 --> 00:04:25,133
Všechny hodnoty,
které by vás napadly, by fungovaly, ne?

71
00:04:25,290 --> 00:04:29,463
Můžete vzít sinus jakéhokoliv úhlu,
můžete přidávat 360 °.

72
00:04:29,624 --> 00:04:33,203
Ať už byste vzali sinus jakéhokoliv,
dostanete ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

73
00:04:33,356 --> 00:04:34,303
A to je problém.

74
00:04:34,525 --> 00:04:41,400
Nemůžu mít funkci f(x),
která mi pro jedno 'x' dá víc hodnot.

75
00:04:41,579 --> 00:04:48,135
Která by mi dala (π lomeno 4)
a zároveň (π lomeno 4) plus 2π

76
00:04:48,348 --> 00:04:51,981
a zároveň (π lomeno 4) plus 4π.

77
00:04:52,184 --> 00:04:57,808
Aby to byla platná funkce,
aby byl arkus sinus dobře definovaný,

78
00:04:57,948 --> 00:05:00,140
musím omezit její obor hodnot.

79
00:05:00,360 --> 00:05:04,224
Omezím obor hodnot
na nejpřirozenější možný.

80
00:05:04,453 --> 00:05:06,301
Omezme tedy obor hodnot.

81
00:05:06,530 --> 00:05:09,942
Malá poznámka na okraj,
jak je omezen definiční obor?

82
00:05:10,120 --> 00:05:21,697
Beru-li arkus sinus nějakého 'x' a říkám,
že je roven θ, jaký je definiční obor?

83
00:05:21,900 --> 00:05:23,818
Jaké jsou platné hodnoty 'x'?

84
00:05:24,498 --> 00:05:26,114
Čemu může být rovno 'x'?

85
00:05:27,143 --> 00:05:32,821
Ať už beru sinus jakéhokoliv úhlu,
mohu dostat jen hodnoty mezi -1 a +1.

86
00:05:33,533 --> 00:05:39,156
'x' bude větší nebo rovno -1
a menší nebo rovno 1.

87
00:05:39,310 --> 00:05:40,583
To je definiční obor.

88
00:05:41,506 --> 00:05:45,024
Aby toto byla platná funkce,
musím omezit obor hodnot.

89
00:05:45,180 --> 00:05:47,509
Možné hodnoty.
Musím omezit obor hodnot.

90
00:05:47,693 --> 00:05:52,127
Pro arkus sinus je konvencí
se omezit na první a čtvrtý kvadrant.

91
00:05:52,630 --> 00:05:58,415
Omezit možné úhly
na tuto oblast jednotkové kružnice.

92
00:05:58,665 --> 00:06:04,345
θ omezím, aby byla menší
nebo rovno (π lomeno 2)

93
00:06:04,769 --> 00:06:10,818
a zároveň větší
nebo rovno (-π lomeno 2).

94
00:06:11,093 --> 00:06:14,571
Na základě toho víme,
co je arkus sinus, značím „arcsin“, zač.

95
00:06:14,744 --> 00:06:16,740
Pojďme na další příklad.

96
00:06:17,142 --> 00:06:18,777
Udělám tu místo.

97
00:06:20,001 --> 00:06:21,261
Další arcsin…

98
00:06:21,430 --> 00:06:36,264
Řekněme, že se ptám na arcsin
hodnoty (-'odmocnina ze 3' lomeno 2).

99
00:06:36,460 --> 00:06:37,596
Možná si to pamatujete.

100
00:06:37,797 --> 00:06:40,133
Okamžitě byste řekli,
pro jaké 'x' nebo 'θ' platí,

101
00:06:40,279 --> 00:06:42,147
že sinθ je
('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

102
00:06:42,270 --> 00:06:44,131
Já si to však nepamatuju.

103
00:06:44,733 --> 00:06:46,841
Nakreslím si tedy jednotkovou kružnici.

104
00:06:46,990 --> 00:06:53,245
Když pracuji s „arcsin“,
stačí mi první a čtvrtý kvadrant.

105
00:06:53,460 --> 00:06:54,686
Toto je osa y.

106
00:06:54,810 --> 00:06:56,864
Toto je osa x.

107
00:06:59,390 --> 00:07:00,794
Kde jsem?

108
00:07:01,050 --> 00:07:04,290
Je-li sinus něčeho
('-odmocnina ze 3' lomeno 2),

109
00:07:04,440 --> 00:07:09,150
znamená to, že souřadnice y
je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

110
00:07:09,320 --> 00:07:14,288
To znamená, že jsme někde zde.

111
00:07:14,872 --> 00:07:18,610
Toto je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

112
00:07:18,800 --> 00:07:20,008
Tady jsme.

113
00:07:20,281 --> 00:07:23,921
Jaký úhel mi to dává?

114
00:07:24,160 --> 00:07:25,648
Zamysleme se nad tím.

115
00:07:26,075 --> 00:07:29,810
y-ová souřadnice
je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

116
00:07:31,290 --> 00:07:32,855
To je ten úhel.

117
00:07:33,354 --> 00:07:38,695
Bude to záporný úhel,
neboť jsme pod osou 'x'.

118
00:07:38,996 --> 00:07:43,278
Abychom to zjistili,
nakresleme si trojúhelník.

119
00:07:44,067 --> 00:07:45,361
Vyberu lepší barvu.

120
00:07:45,520 --> 00:07:46,702
Toto je trojúhelník.

121
00:07:47,857 --> 00:07:52,602
Udělám to modře.

122
00:07:52,740 --> 00:07:54,793
Zvětším si ten trojúhelník.

123
00:07:55,367 --> 00:07:56,084
Takto.

124
00:07:56,230 --> 00:07:58,319
Toto je θ.

125
00:07:58,521 --> 00:08:00,341
Jak velká je tato délka?

126
00:08:00,557 --> 00:08:03,587
Stejná, jako souřadnice 'y'.

127
00:08:03,826 --> 00:08:05,936
To je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

128
00:08:06,080 --> 00:08:07,431
Minus,
neboť jdeme dolů.

129
00:08:07,560 --> 00:08:08,728
Zjistěme tento úhel.

130
00:08:08,850 --> 00:08:11,633
Víme, že je to záporný úhel.

131
00:08:11,808 --> 00:08:16,719
Vidíte-li ('-odmocnina ze 3' lomeno 2),
snad poznáte 30-60-90 trojúhelník.

132
00:08:16,820 --> 00:08:17,896
('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

133
00:08:18,010 --> 00:08:19,855
Tato strana je (1 lomeno 2).

134
00:08:19,950 --> 00:08:21,158
Tato strana je rovna 1.

135
00:08:21,250 --> 00:08:22,840
Jde o jednotkovou kružnici.

136
00:08:22,989 --> 00:08:24,402
Poloměr je roven 1.

137
00:08:24,590 --> 00:08:30,256
V trojúhelníku 30-60-90 je úhel naproti
('-odmocnina ze 3' lomeno 2) roven 60 °.

138
00:08:30,462 --> 00:08:32,222
Tento úhel je 30 °.

139
00:08:32,410 --> 00:08:35,878
Víme, že θ je…
Toto je rovno 60 °.

140
00:08:36,095 --> 00:08:39,365
Jde však směrem dolů,
takže to je -60 °.

141
00:08:39,780 --> 00:08:42,915
θ je tedy rovno -60 °.

142
00:08:43,145 --> 00:08:45,017
Pracujeme s radiány,
to nám nestačí.

143
00:08:45,210 --> 00:08:47,177
To můžeme vynásobit…

144
00:08:50,024 --> 00:08:54,364
π radiánů za každých 180 °.

145
00:08:54,540 --> 00:08:55,807
Stupně se vykrátí.

146
00:08:56,081 --> 00:09:03,748
Zůstane nám θ rovno
(-π lomeno 3) radiánů.

147
00:09:04,024 --> 00:09:07,877
Nyní můžeme tvrdit,

148
00:09:08,877 --> 00:09:19,713
že arcsin ('-odmocnina ze 3' lomeno 2)
je (-π lomeno 3) radiánů.

149
00:09:19,966 --> 00:09:26,046
'Inverzní funkce k sinu'
z ('-odmocnina ze 3' lomeno 2)

150
00:09:26,255 --> 00:09:30,612
se rovná (-π lomeno 3) radiánů.

151
00:09:30,814 --> 00:09:35,128
Abychom si to ověřili,
použiji kalkulačku.

152
00:09:35,310 --> 00:09:38,042
Mám tu mód radiánů.

153
00:09:38,200 --> 00:09:39,472
Můžete si to ověřit.

154
00:09:40,987 --> 00:09:42,588
Mám tu mód radiánů.

155
00:09:42,887 --> 00:09:45,258
Dostanu tedy, snad,
správnou odpověď.

156
00:09:45,517 --> 00:09:47,618
Chci zjistit arkus sinus.

157
00:09:47,885 --> 00:09:58,864
Arkus sinus z hodnoty
('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

158
00:09:59,684 --> 00:10:03,633
To se rovná -1,04.

159
00:10:03,800 --> 00:10:10,796
Kalkulačka mi tvrdí,
že je to rovno -1,04 radiánů.

160
00:10:10,993 --> 00:10:13,861
(π lomeno 3) se tedy musí rovnat 1,04.

161
00:10:13,970 --> 00:10:15,796
Podívejme se, zda to potvrdím.

162
00:10:15,944 --> 00:10:24,762
Napíšu-li tedy (-π lomeno 3),
co dostanu?

163
00:10:24,981 --> 00:10:26,464
Dostanu tu samou hodnotu.

164
00:10:26,670 --> 00:10:30,284
Kalkulačka mi dala stejnou odpověď,
ale nemuselo by mi to být k užitku,

165
00:10:30,442 --> 00:10:33,966
neboť mi neřekla, že je to (-π lomeno 3).