0:00:00.388,0:00:02.807
Pokud bych k vám na ulici přišel[br]a zeptal se vás:

0:00:02.972,0:00:11.568
„Řekněte mi, prosím,[br]kolik je sin(π lomeno 4),“

0:00:11.710,0:00:14.660
přičemž samozřejmě[br]myslím (π lomeno 4) radiánů,

0:00:14.881,0:00:16.843
buď byste si tu hodnotu pamatovali

0:00:17.013,0:00:19.323
nebo byste nakreslili[br]jednotkovou kružnici.

0:00:19.563,0:00:22.401
Ta není zrovna nejlépe nakreslená,[br]ale chápete.

0:00:22.952,0:00:28.885
Šli byste k (π lomeno 4),[br]což je 45 °.

0:00:29.605,0:00:31.628
Vedli byste přímku.

0:00:31.840,0:00:36.057
Sinus je definován jako y-ová souřadnice[br]bodu na jednotkové kružnici.

0:00:36.219,0:00:38.728
Chtěli byste znát tuto hodnotu zde.

0:00:38.866,0:00:42.457
Řekli byste si, že toto je 45 °.

0:00:42.630,0:00:44.598
Nakreslím ten trojúhelník trochu větší.

0:00:45.209,0:00:47.173
Trojúhelník bude vypadat takto.

0:00:47.371,0:00:48.858
Toto je 45 °.

0:00:49.227,0:00:50.709
Toto je 45 °.

0:00:50.921,0:00:53.666
Toto je 90 °.

0:00:53.905,0:00:57.187
Víte, jaké strany[br]má trojúhelník 45-45-90.

0:00:57.330,0:00:58.737
Přepona je rovna 1.

0:00:58.869,0:00:59.674
Toto je 'x'.

0:00:59.820,0:01:00.590
Toto je 'x'.

0:01:00.680,0:01:01.854
Budou stejné.

0:01:01.930,0:01:04.671
Je to rovnoramenný trojúhelník.

0:01:04.804,0:01:06.785
U základny jsou dva stejné úhly.

0:01:06.960,0:01:12.676
Řeknete: „'x na druhou' plus 'x na druhou'[br]je rovno '1 na druhou'.“

0:01:12.919,0:01:14.920
2 krát 'x na druhou' je rovno 1.

0:01:15.157,0:01:17.133
'x na druhou' je rovno (1 lomeno 2).

0:01:17.294,0:01:20.249
'x' je rovno odmocnině z (1 lomeno 2),

0:01:20.358,0:01:22.552
což je rovno[br](1 lomeno 'odmocnina ze 2').

0:01:22.788,0:01:31.095
Upravím to do lepšího tvaru vynásobením[br](odmocnina ze 2 lomeno odmocnina ze 2).

0:01:31.230,0:01:34.541
Dostanu 'x' rovno[br]('odmocnina ze 2' lomeno 2).

0:01:34.710,0:01:38.578
Výška je tedy[br]('odmocnina ze 2' lomeno 2).

0:01:38.777,0:01:41.406
Pokud chcete znát tuto vzdálenost,[br]tak je stejná.

0:01:41.572,0:01:43.058
Nás však zajímala výška.

0:01:43.230,0:01:47.750
Hodnota sinu je totiž tato výška.

0:01:47.928,0:01:48.984
y-ová souřadnice.

0:01:49.229,0:01:52.653
To jsme spočítali,[br]že je rovno ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

0:01:52.803,0:01:53.748
To je opakování.

0:01:53.890,0:01:59.947
To jsme se naučili[br]ve videu o jednotkové kružnici.

0:02:00.132,0:02:01.594
Ale co kdyby…

0:02:01.725,0:02:07.603
Řekněme, že bych za vámi[br]další den přišel a zeptal se,

0:02:07.962,0:02:14.268
kolik je arkus sinus[br]z ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

0:02:14.467,0:02:16.035
Co je to arkus sinus?

0:02:16.120,0:02:16.885
Jste zmatení.

0:02:16.970,0:02:18.993
Budete si říkat,[br]že víte co je sinus úhlu,

0:02:19.194,0:02:24.077
ale co je to za novou funkci,[br]kterou Sal vymyslel?

0:02:24.269,0:02:27.630
Jen si musíte uvědomit,[br]že je-li před tím toto slovo „arkus“,

0:02:27.770,0:02:30.640
jedná se vlastně o inverzní funkci.

0:02:30.810,0:02:32.814
Stejně tak bych se mohl zeptat,

0:02:32.982,0:02:37.888
kolik je 'inverzní funkce k sinu'[br]z hodnoty ('odmocnina ze 2' lomeno 2)?

0:02:38.051,0:02:40.249
Jen se tak ptám:

0:02:40.380,0:02:54.372
„Sinus jakého úhlu je roven[br]hodnotě ('odmocnina ze 2' lomeno 2)?

0:02:54.526,0:03:04.873
Mohl bych to přepsat…

0:03:05.330,0:03:10.926
„Sinus čeho je rovno[br]('odmocnina ze 2' lomeno 2)?“

0:03:11.185,0:03:15.598
Bude pro vás asi snazší[br]odpovědět na tuto otázku.

0:03:15.780,0:03:18.169
„Sinus čeho je roven[br]('odmocnina ze 2' lomeno 2)?“

0:03:18.400,0:03:23.306
Přece vím, že sin(π lomeno 4)[br]je ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

0:03:24.113,0:03:25.691
V tomto případě tedy vím,

0:03:25.851,0:03:30.254
že sin(π lomeno 4)[br]je ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

0:03:30.630,0:03:35.057
Můj otazník je tedy roven (π lomeno 4).

0:03:35.670,0:03:37.796
Nebo také mohu napsat,

0:03:38.001,0:03:51.282
že arkus sinus ('odmocnina ze 2' lomeno 2)[br]je rovno (π lomeno 4).

0:03:51.695,0:03:56.005
Můžete si tedy říct…[br]Opakování: dávám vám hodnotu

0:03:56.189,0:04:01.010
a ptám se na úhel,[br]jehož sinus je té hodnotě roven.

0:04:01.207,0:04:02.508
Ale vás napadne:

0:04:02.670,0:04:08.358
„Podívej, (π lomeno 2) funguje,[br]45 ° funguje,

0:04:08.540,0:04:12.876
ale co kdybych přidal 360 °[br]nebo 2π radiánů?“

0:04:13.058,0:04:14.310
„To všechno by fungovalo,

0:04:14.490,0:04:18.635
neboť by mě to dostalo[br]na stejný bod kružnice, že?“

0:04:18.826,0:04:19.803
A měli byste pravdu.

0:04:19.960,0:04:25.133
Všechny hodnoty,[br]které by vás napadly, by fungovaly, ne?

0:04:25.290,0:04:29.463
Můžete vzít sinus jakéhokoliv úhlu,[br]můžete přidávat 360 °.

0:04:29.624,0:04:33.203
Ať už byste vzali sinus jakéhokoliv,[br]dostanete ('odmocnina ze 2' lomeno 2).

0:04:33.356,0:04:34.303
A to je problém.

0:04:34.525,0:04:41.400
Nemůžu mít funkci f(x),[br]která mi pro jedno 'x' dá víc hodnot.

0:04:41.579,0:04:48.135
Která by mi dala (π lomeno 4)[br]a zároveň (π lomeno 4) plus 2π

0:04:48.348,0:04:51.981
a zároveň (π lomeno 4) plus 4π.

0:04:52.184,0:04:57.808
Aby to byla platná funkce,[br]aby byl arkus sinus dobře definovaný,

0:04:57.948,0:05:00.140
musím omezit její obor hodnot.

0:05:00.360,0:05:04.224
Omezím obor hodnot[br]na nejpřirozenější možný.

0:05:04.453,0:05:06.301
Omezme tedy obor hodnot.

0:05:06.530,0:05:09.942
Malá poznámka na okraj,[br]jak je omezen definiční obor?

0:05:10.120,0:05:21.697
Beru-li arkus sinus nějakého 'x' a říkám,[br]že je roven θ, jaký je definiční obor?

0:05:21.900,0:05:23.818
Jaké jsou platné hodnoty 'x'?

0:05:24.498,0:05:26.114
Čemu může být rovno 'x'?

0:05:27.143,0:05:32.821
Ať už beru sinus jakéhokoliv úhlu,[br]mohu dostat jen hodnoty mezi -1 a +1.

0:05:33.533,0:05:39.156
'x' bude větší nebo rovno -1[br]a menší nebo rovno 1.

0:05:39.310,0:05:40.583
To je definiční obor.

0:05:41.506,0:05:45.024
Aby toto byla platná funkce,[br]musím omezit obor hodnot.

0:05:45.180,0:05:47.509
Možné hodnoty.[br]Musím omezit obor hodnot.

0:05:47.693,0:05:52.127
Pro arkus sinus je konvencí[br]se omezit na první a čtvrtý kvadrant.

0:05:52.630,0:05:58.415
Omezit možné úhly[br]na tuto oblast jednotkové kružnice.

0:05:58.665,0:06:04.345
θ omezím, aby byla menší[br]nebo rovno (π lomeno 2)

0:06:04.769,0:06:10.818
a zároveň větší[br]nebo rovno (-π lomeno 2).

0:06:11.093,0:06:14.571
Na základě toho víme,[br]co je arkus sinus, značím „arcsin“, zač.

0:06:14.744,0:06:16.740
Pojďme na další příklad.

0:06:17.142,0:06:18.777
Udělám tu místo.

0:06:20.001,0:06:21.261
Další arcsin…

0:06:21.430,0:06:36.264
Řekněme, že se ptám na arcsin[br]hodnoty (-'odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:06:36.460,0:06:37.596
Možná si to pamatujete.

0:06:37.797,0:06:40.133
Okamžitě byste řekli,[br]pro jaké 'x' nebo 'θ' platí,

0:06:40.279,0:06:42.147
že sinθ je[br]('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:06:42.270,0:06:44.131
Já si to však nepamatuju.

0:06:44.733,0:06:46.841
Nakreslím si tedy jednotkovou kružnici.

0:06:46.990,0:06:53.245
Když pracuji s „arcsin“,[br]stačí mi první a čtvrtý kvadrant.

0:06:53.460,0:06:54.686
Toto je osa y.

0:06:54.810,0:06:56.864
Toto je osa x.

0:06:59.390,0:07:00.794
Kde jsem?

0:07:01.050,0:07:04.290
Je-li sinus něčeho[br]('-odmocnina ze 3' lomeno 2),

0:07:04.440,0:07:09.150
znamená to, že souřadnice y[br]je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:07:09.320,0:07:14.288
To znamená, že jsme někde zde.

0:07:14.872,0:07:18.610
Toto je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:07:18.800,0:07:20.008
Tady jsme.

0:07:20.281,0:07:23.921
Jaký úhel mi to dává?

0:07:24.160,0:07:25.648
Zamysleme se nad tím.

0:07:26.075,0:07:29.810
y-ová souřadnice[br]je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:07:31.290,0:07:32.855
To je ten úhel.

0:07:33.354,0:07:38.695
Bude to záporný úhel,[br]neboť jsme pod osou 'x'.

0:07:38.996,0:07:43.278
Abychom to zjistili,[br]nakresleme si trojúhelník.

0:07:44.067,0:07:45.361
Vyberu lepší barvu.

0:07:45.520,0:07:46.702
Toto je trojúhelník.

0:07:47.857,0:07:52.602
Udělám to modře.

0:07:52.740,0:07:54.793
Zvětším si ten trojúhelník.

0:07:55.367,0:07:56.084
Takto.

0:07:56.230,0:07:58.319
Toto je θ.

0:07:58.521,0:08:00.341
Jak velká je tato délka?

0:08:00.557,0:08:03.587
Stejná, jako souřadnice 'y'.

0:08:03.826,0:08:05.936
To je ('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:08:06.080,0:08:07.431
Minus,[br]neboť jdeme dolů.

0:08:07.560,0:08:08.728
Zjistěme tento úhel.

0:08:08.850,0:08:11.633
Víme, že je to záporný úhel.

0:08:11.808,0:08:16.719
Vidíte-li ('-odmocnina ze 3' lomeno 2),[br]snad poznáte 30-60-90 trojúhelník.

0:08:16.820,0:08:17.896
('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:08:18.010,0:08:19.855
Tato strana je (1 lomeno 2).

0:08:19.950,0:08:21.158
Tato strana je rovna 1.

0:08:21.250,0:08:22.840
Jde o jednotkovou kružnici.

0:08:22.989,0:08:24.402
Poloměr je roven 1.

0:08:24.590,0:08:30.256
V trojúhelníku 30-60-90 je úhel naproti[br]('-odmocnina ze 3' lomeno 2) roven 60 °.

0:08:30.462,0:08:32.222
Tento úhel je 30 °.

0:08:32.410,0:08:35.878
Víme, že θ je…[br]Toto je rovno 60 °.

0:08:36.095,0:08:39.365
Jde však směrem dolů,[br]takže to je -60 °.

0:08:39.780,0:08:42.915
θ je tedy rovno -60 °.

0:08:43.145,0:08:45.017
Pracujeme s radiány,[br]to nám nestačí.

0:08:45.210,0:08:47.177
To můžeme vynásobit…

0:08:50.024,0:08:54.364
π radiánů za každých 180 °.

0:08:54.540,0:08:55.807
Stupně se vykrátí.

0:08:56.081,0:09:03.748
Zůstane nám θ rovno[br](-π lomeno 3) radiánů.

0:09:04.024,0:09:07.877
Nyní můžeme tvrdit,

0:09:08.877,0:09:19.713
že arcsin ('-odmocnina ze 3' lomeno 2)[br]je (-π lomeno 3) radiánů.

0:09:19.966,0:09:26.046
'Inverzní funkce k sinu'[br]z ('-odmocnina ze 3' lomeno 2)

0:09:26.255,0:09:30.612
se rovná (-π lomeno 3) radiánů.

0:09:30.814,0:09:35.128
Abychom si to ověřili,[br]použiji kalkulačku.

0:09:35.310,0:09:38.042
Mám tu mód radiánů.

0:09:38.200,0:09:39.472
Můžete si to ověřit.

0:09:40.987,0:09:42.588
Mám tu mód radiánů.

0:09:42.887,0:09:45.258
Dostanu tedy, snad,[br]správnou odpověď.

0:09:45.517,0:09:47.618
Chci zjistit arkus sinus.

0:09:47.885,0:09:58.864
Arkus sinus z hodnoty[br]('-odmocnina ze 3' lomeno 2).

0:09:59.684,0:10:03.633
To se rovná -1,04.

0:10:03.800,0:10:10.796
Kalkulačka mi tvrdí,[br]že je to rovno -1,04 radiánů.

0:10:10.993,0:10:13.861
(π lomeno 3) se tedy musí rovnat 1,04.

0:10:13.970,0:10:15.796
Podívejme se, zda to potvrdím.

0:10:15.944,0:10:24.762
Napíšu-li tedy (-π lomeno 3),[br]co dostanu?

0:10:24.981,0:10:26.464
Dostanu tu samou hodnotu.

0:10:26.670,0:10:30.284
Kalkulačka mi dala stejnou odpověď,[br]ale nemuselo by mi to být k užitku,

0:10:30.442,0:10:33.966
neboť mi neřekla, že je to (-π lomeno 3).