Inverse Trig Functions: Arcsin

Ако на улицата вървя към теб и те попитам: "Моля

кажи ми колко – не исках да го пиша толкова дебело – моля

кажи ми колко е синус от π/4."

И очевидно приемаме, че работим в радиани.

Ти или помниш това, или ще начертаеш

единична окръжност ето така.

Това не е най-добре изглеждащата единична окръжност,

но схвана идеята.

Ще отидеш до π/4 радиана,

което е същото като 45 градуса.

Ще нанесеш този единичен радиус.

И синусът се определя като y координатата на

пресечната точка с единичната окръжност.

Така че просто ще искаш да знаеш тази стойност тук.

И веднага ще кажеш: "Добре, това е 45 градуса. "

Нека нарисувам триъгълника малко по-голям.

Триъгълникът изглежда така.

Това е 45.

Това е 45.

Това е 90 градуса.

И можеш да решиш един 45-45-90 триъгълник.

Хипотенузата е 1.

Това е х.

Това е х.

Те ще бъдат с една и съща стойност.

Това е равнобедрен триъгълник, нали?

Ъглите при основата са равни.

Така че ще ми кажеш – виж сега, х на квадрат плюс x на квадрат е равно на

1 на квадрат, което е 1.

2 по (x на квадрат) е равно на 1.

х на квадрат е равно на 1/2.

x е равно на корен квадратен от 1/2, което е

1 върху корен квадратен от 2.

Мога да го рационализирам, като умножа това

по корен квадратен от 2 върху 2.

Да умножа това по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2.

И получавам x е равно на корен квадратен от 2 върху 2.

Така че височината тук е корен квадратен от 2 върху 2.

И ако искаш да знаеш и това разстояние, то също

би било същото.

Но нас ни интересува само височината.

Тъй като стойността на синус от това е просто

тази височина тук.

Y координатата.

А ние го получихме като корен квадратен от 2 върху 2.

Това е само преглед.

Научихме това в клипа за единичната окръжност.

Но какво ще стане ако някой друг – да речем в друг ден аз

дойда при теб и ти кажа – моля те кажи ми колко

е аркуссинусът от корен квадратен от 2 върху 2?

Какво е аркуссинус?

Може би се объркваш малко.

Казваш си – знам какво е синус от ъгъл, но това

е някаква нова тригонометрична функция, която Сал си е измислил.

Трябва да разбереш, че когато има думата 'аркус'

пред синус,

това може да се запише и като: "Колко е

обратната функция на синус от корен квадратен от 2 върху 2?"

Единственото, което се пита, е синус от какъв ъгъл трябва да

изчисля, за да получа стойността от корен квадратен от 2 върху 2.

Това също ни пита синус от какъв ъгъл трябва да изчисля,

за да се получи корен квадратен от 2 върху 2.

Мога да преобразувам всяко едно от тези твърдения, казвайки

корен.... Нека го направя.

Мога да пренапиша всяко едно от тези твърдения, казвайки:

"Синус от колко е равен на корен квадратен от 2 върху 2?"

И това, мисля, е много по-лесен въпрос за теб.

Синус от колко е корен квадратен от 2 върху 2?

Ами просто изчислявам, че синус от π/4 е

корен квадратен от 2 върху 2.

В този случай знам, че синус от π /4 е равно

на корен квадратен от 2 върху 2.

Така че моята въпросителна е равна на π/4.

Или можех да пренапиша това като

аркуссинус от корен квадратен от 2 върху 2

е равно на π/4.

Просто като преглед ти давам стойност и те питам:

"Какъв е ъгълът, чиито синус ми дава тази стойност?"

Но ти веднага репликираш: "Хей, Сал. Виж..."

Нека се върна тук.

Казваш ми: "Виж, с π/2 се получи.

С 45 градуса също се получи.

Но аз мога просто да продължа да добавям 360 градуса

или да продължа да добавям 2π.

И всички тези ще стават, защото всички тези ще ме водят

към тази същата точка от единичната окръжност, нали?"

И това ще е така.

Ще си мислиш, че всички тези стойности

ще са верни отговори на това, нали?

Защото ако вземаш синуса на който и да е от тези ъгли,

можеш просто да продължиш да добавяш 360 градуса.

Ако вземеш синуса на който и да е от тях,

ще получиш корен квадратен от 2 върху 2.

И това е проблем.

Не мога да имам функция f(x), която

води до множество стойности, нали?

Която води до π/4 или до π/4 плюс 2π

или до π/4 плюс 4π.

Така че за да бъде това валидна функция – за да

бъде валидна аркуссинус функцията, трябва да

огранича множеството й от допустими стойности.

Просто ще ограничим множеството от стойности

по най-естествения начин.

Нека ограничим функционалното множество (ФМ).

И всъщност, като допълнение –

какво е дефиниционното множество (ДМ)?

Взимам аркуссинуса от нещо.

Ако взема аркуссинус от x, и кажа, че е равен на тита,

какво ще е ДМ на това?

Кои са допустимите стойности за х?

x може да бъде равно на какво?

Ами ако взема синуса от произволен ъгъл, мога да получа само

стойности между 1 и -1, нали?

Така че x ще бъде по-голямо от или равно на -1 и

след това по-малко или равно на 1.

Това е ДМ за х.

Сега, за да направя това валидна функция,

трябва да определя функционалното множество.

Т.е. да определя допустимите стойности за функцията.

Сега за аркуссинуса условието е да се ограничи до

първия и четвъртия квадрант.

Да ограничим възможните ъгли до тази зона тук,

по протежение на единичната окръжност.

Така че тита е определена да бъде по-малка или равна на π/2

и след това по-голяма или равна на -π/2.

Така представено, разбираме какво е аркуссинусът.

Нека да решим още една задача.

Ще разчистя малко място тук.

Нека направим друг аркуссинус.

Да кажем, че те питам колко е аркуссинус от

минус корен квадратен от 3 върху 2.

Минус корен квадратен от 3 върху 2.

Може да знаеш това наизуст.

И да кажеш: "Аз знам, че синус от x, или синус

от тита е корен квадратен от 3 върху 2."

И готово.

Но аз не знам това наизуст.

Така че нека начертая една единична окръжност.

И когато си имам работа с аркуссинус, трябва да начертая

само първия и четвъртия квадрант на единичната окръжност.

Това е оста y.

Това е моята ос x.

x и y.

И къде съм аз?

Ако синус от нещо е минус корен квадратен от 3 върху 2,

това означава, че y координатата на точката от единичната окръжност

е минус корен квадратен от 3 върху 2.

Това означава, че сме точно тук.

Това е минус корен квадратен от 3 върху 2.

Това е мястото, където сме.

Сега, какъв ъгъл ми дава това?

Нека помислим малко.

Моята y координата е минус корен квадратен от 3 върху 2.

Това е ъгълът.

Той ще бъде отрицателен ъгъл, защото слизаме

под оста x по посока на часовниковата стрелка.

И за да го изчисля – нека просто начертая малък триъгълник тук.

Нека избера по-добър цвят от това.

Това е триъгълник.

Нека го направя в този син цвят.

Нека уголемя малко този триъгълник.

Това е тита.

А каква е тази дължина тук?

Ами това е същото като дължината на у,

можем така да я наречем.

Която е корен квадратен от 3 върху 2.

Това е минус, защото сме отдолу.

Но нека да изчислим този ъгъл.

Знаем, че е отрицателен ъгъл.

Когато видиш корен квадратен от 3 върху 2, да се надяваме,

че разпознаваш, че това е 30-60-90 триъгълник.

Корен квадратен от 3 върху 2.

Тази страна е 1/2.

И тогава, разбира се, тази страна е 1.

Защото това е единична окръжност.

Така че нейният радиус е 1.

И така, в един 30-60-90 триъгълник ъгълът, лежащ срещу

корен квадратен от 3 върху 2, е 60 градуса.

Този ъгъл тук е 30 градуса.

Така че знаем, че нашият ъгъл тита е 60 градуса.

Това е величината, но отива надолу,

така че е -60 градуса.

Тита е равен на -60 градуса.

Но ако изчислявахме в радиани, това

не е достатъчно добро.

Така че можем да умножим това по π радиана

за всеки 180 градуса.

Градусите се съкращават.

И ни остава тита е равно на -π/3 радиана.

Сега можем да направим заключението, че

аркуссинусът от минус корен квадратен от 3 върху 2

е равен на -π/3 радиана.

Или бихме могли да кажем, че обратната функция на синус от

минус корен квадратен от 3 върху 2 е -π/3 радиана.

И за да потвърдя това, нека просто извадя един калкулатор.

Вече го настроих в режим за радиани.

Да видим.

В режим радиани съм.

Знам, че ще получа, надявам се, правилния отговор.

И искам да изчисля аркуссинус.

Така че аркуссинус – втория до синус бутона –

от минус корен квадратен от 3 върху 2.

Това е равно на -1,04.

Показва ми, че това е равно на -1,04 радиана.

Така че π/3 трябва да бъде равно на 1,04.

Нека видим дали мога да потвърдя това.

Ако трябваше да напиша -π, делено на 3, какво ще получа?

Получавам точно същата стойност.

Моят калкулатор ми даде абсолютно същата стойност,

но тя може да не е толкова полезна, защото калкулаторът ми

не ми казва, че това е -π/3.