Ако на улицата вървя към теб и те попитам: "Моля
кажи ми колко – не исках да го пиша толкова дебело – моля
кажи ми колко е синус от π/4."
И очевидно приемаме, че работим в радиани.
Ти или помниш това, или ще начертаеш
единична окръжност ето така.
Това не е най-добре изглеждащата единична окръжност,
но схвана идеята.
Ще отидеш до π/4 радиана,
което е същото като 45 градуса.
Ще нанесеш този единичен радиус.
И синусът се определя като y координатата на
пресечната точка с единичната окръжност.
Така че просто ще искаш да знаеш тази стойност тук.
И веднага ще кажеш: "Добре, това е 45 градуса. "
Нека нарисувам триъгълника малко по-голям.
Триъгълникът изглежда така.
Това е 45.
Това е 90 градуса.
И можеш да решиш един 45-45-90 триъгълник.
Хипотенузата е 1.
Това е х.
Те ще бъдат с една и съща стойност.
Това е равнобедрен триъгълник, нали?
Ъглите при основата са равни.
Така че ще ми кажеш – виж сега, х на квадрат плюс x на квадрат е равно на
1 на квадрат, което е 1.
2 по (x на квадрат) е равно на 1.
х на квадрат е равно на 1/2.
x е равно на корен квадратен от 1/2, което е
1 върху корен квадратен от 2.
Мога да го рационализирам, като умножа това
по корен квадратен от 2 върху 2.
Да умножа това по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2.
И получавам x е равно на корен квадратен от 2 върху 2.
Така че височината тук е корен квадратен от 2 върху 2.
И ако искаш да знаеш и това разстояние, то също
би било същото.
Но нас ни интересува само височината.
Тъй като стойността на синус от това е просто
тази височина тук.
Y координатата.
А ние го получихме като корен квадратен от 2 върху 2.
Това е само преглед.
Научихме това в клипа за единичната окръжност.
Но какво ще стане ако някой друг – да речем в друг ден аз
дойда при теб и ти кажа – моля те кажи ми колко
е аркуссинусът от корен квадратен от 2 върху 2?
Какво е аркуссинус?
Може би се объркваш малко.
Казваш си – знам какво е синус от ъгъл, но това
е някаква нова тригонометрична функция, която Сал си е измислил.
Трябва да разбереш, че когато има думата 'аркус'
пред синус,
това може да се запише и като: "Колко е
обратната функция на синус от корен квадратен от 2 върху 2?"
Единственото, което се пита, е синус от какъв ъгъл трябва да
изчисля, за да получа стойността от корен квадратен от 2 върху 2.
Това също ни пита синус от какъв ъгъл трябва да изчисля,
за да се получи корен квадратен от 2 върху 2.
Мога да преобразувам всяко едно от тези твърдения, казвайки
корен.... Нека го направя.
Мога да пренапиша всяко едно от тези твърдения, казвайки:
"Синус от колко е равен на корен квадратен от 2 върху 2?"
И това, мисля, е много по-лесен въпрос за теб.
Синус от колко е корен квадратен от 2 върху 2?
Ами просто изчислявам, че синус от π/4 е
корен квадратен от 2 върху 2.
В този случай знам, че синус от π /4 е равно
на корен квадратен от 2 върху 2.
Така че моята въпросителна е равна на π/4.
Или можех да пренапиша това като
аркуссинус от корен квадратен от 2 върху 2
е равно на π/4.
Просто като преглед ти давам стойност и те питам:
"Какъв е ъгълът, чиито синус ми дава тази стойност?"
Но ти веднага репликираш: "Хей, Сал. Виж..."
Нека се върна тук.
Казваш ми: "Виж, с π/2 се получи.
С 45 градуса също се получи.
Но аз мога просто да продължа да добавям 360 градуса
или да продължа да добавям 2π.
И всички тези ще стават, защото всички тези ще ме водят
към тази същата точка от единичната окръжност, нали?"
И това ще е така.
Ще си мислиш, че всички тези стойности
ще са верни отговори на това, нали?
Защото ако вземаш синуса на който и да е от тези ъгли,
можеш просто да продължиш да добавяш 360 градуса.
Ако вземеш синуса на който и да е от тях,
ще получиш корен квадратен от 2 върху 2.
И това е проблем.
Не мога да имам функция f(x), която
води до множество стойности, нали?
Която води до π/4 или до π/4 плюс 2π
или до π/4 плюс 4π.
Така че за да бъде това валидна функция – за да
бъде валидна аркуссинус функцията, трябва да
огранича множеството й от допустими стойности.
Просто ще ограничим множеството от стойности
по най-естествения начин.
Нека ограничим функционалното множество (ФМ).
И всъщност, като допълнение –
какво е дефиниционното множество (ДМ)?
Взимам аркуссинуса от нещо.
Ако взема аркуссинус от x, и кажа, че е равен на тита,
какво ще е ДМ на това?
Кои са допустимите стойности за х?
x може да бъде равно на какво?
Ами ако взема синуса от произволен ъгъл, мога да получа само
стойности между 1 и -1, нали?
Така че x ще бъде по-голямо от или равно на -1 и
след това по-малко или равно на 1.
Това е ДМ за х.
Сега, за да направя това валидна функция,
трябва да определя функционалното множество.
Т.е. да определя допустимите стойности за функцията.
Сега за аркуссинуса условието е да се ограничи до
първия и четвъртия квадрант.
Да ограничим възможните ъгли до тази зона тук,
по протежение на единичната окръжност.
Така че тита е определена да бъде по-малка или равна на π/2
и след това по-голяма или равна на -π/2.
Така представено, разбираме какво е аркуссинусът.
Нека да решим още една задача.
Ще разчистя малко място тук.
Нека направим друг аркуссинус.
Да кажем, че те питам колко е аркуссинус от
минус корен квадратен от 3 върху 2.
Минус корен квадратен от 3 върху 2.
Може да знаеш това наизуст.
И да кажеш: "Аз знам, че синус от x, или синус
от тита е корен квадратен от 3 върху 2."
И готово.
Но аз не знам това наизуст.
Така че нека начертая една единична окръжност.
И когато си имам работа с аркуссинус, трябва да начертая
само първия и четвъртия квадрант на единичната окръжност.
Това е оста y.
Това е моята ос x.
x и y.
И къде съм аз?
Ако синус от нещо е минус корен квадратен от 3 върху 2,
това означава, че y координатата на точката от единичната окръжност
е минус корен квадратен от 3 върху 2.
Това означава, че сме точно тук.
Това е минус корен квадратен от 3 върху 2.
Това е мястото, където сме.
Сега, какъв ъгъл ми дава това?
Нека помислим малко.
Моята y координата е минус корен квадратен от 3 върху 2.
Това е ъгълът.
Той ще бъде отрицателен ъгъл, защото слизаме
под оста x по посока на часовниковата стрелка.
И за да го изчисля – нека просто начертая малък триъгълник тук.
Нека избера по-добър цвят от това.
Това е триъгълник.
Нека го направя в този син цвят.
Нека уголемя малко този триъгълник.
Това е тита.
А каква е тази дължина тук?
Ами това е същото като дължината на у,
можем така да я наречем.
Която е корен квадратен от 3 върху 2.
Това е минус, защото сме отдолу.
Но нека да изчислим този ъгъл.
Знаем, че е отрицателен ъгъл.
Когато видиш корен квадратен от 3 върху 2, да се надяваме,
че разпознаваш, че това е 30-60-90 триъгълник.
Корен квадратен от 3 върху 2.
Тази страна е 1/2.
И тогава, разбира се, тази страна е 1.
Защото това е единична окръжност.
Така че нейният радиус е 1.
И така, в един 30-60-90 триъгълник ъгълът, лежащ срещу
корен квадратен от 3 върху 2, е 60 градуса.
Този ъгъл тук е 30 градуса.
Така че знаем, че нашият ъгъл тита е 60 градуса.
Това е величината, но отива надолу,
така че е -60 градуса.
Тита е равен на -60 градуса.
Но ако изчислявахме в радиани, това
не е достатъчно добро.
Така че можем да умножим това по π радиана
за всеки 180 градуса.
Градусите се съкращават.
И ни остава тита е равно на -π/3 радиана.
Сега можем да направим заключението, че
аркуссинусът от минус корен квадратен от 3 върху 2
е равен на -π/3 радиана.
Или бихме могли да кажем, че обратната функция на синус от
минус корен квадратен от 3 върху 2 е -π/3 радиана.
И за да потвърдя това, нека просто извадя един калкулатор.
Вече го настроих в режим за радиани.
Да видим.
В режим радиани съм.
Знам, че ще получа, надявам се, правилния отговор.
И искам да изчисля аркуссинус.
Така че аркуссинус – втория до синус бутона –
от минус корен квадратен от 3 върху 2.
Това е равно на -1,04.
Показва ми, че това е равно на -1,04 радиана.
Така че π/3 трябва да бъде равно на 1,04.
Нека видим дали мога да потвърдя това.
Ако трябваше да напиша -π, делено на 3, какво ще получа?
Получавам точно същата стойност.
Моят калкулатор ми даде абсолютно същата стойност,
но тя може да не е толкова полезна, защото калкулаторът ми
не ми казва, че това е -π/3.