1
00:00:00,240 --> 00:00:03,530
Ако на улицата вървя към теб и те попитам: "Моля

2
00:00:03,530 --> 00:00:07,450
кажи ми колко – не исках да го пиша толкова дебело – моля

3
00:00:07,450 --> 00:00:11,710
кажи ми колко е синус от π/4."

4
00:00:11,710 --> 00:00:14,950
И очевидно приемаме, че работим в радиани.

5
00:00:14,950 --> 00:00:17,510
Ти или помниш това, или ще начертаеш

6
00:00:17,510 --> 00:00:19,920
единична окръжност ето така.

7
00:00:19,920 --> 00:00:21,870
Това не е най-добре изглеждащата единична окръжност,

8
00:00:21,870 --> 00:00:23,080
но схвана идеята.

9
00:00:23,080 --> 00:00:26,560
Ще отидеш до π/4 радиана,

10
00:00:26,560 --> 00:00:29,760
което е същото като 45 градуса.

11
00:00:29,760 --> 00:00:31,840
Ще нанесеш този единичен радиус.

12
00:00:31,840 --> 00:00:34,710
И синусът се определя като y координатата на

13
00:00:34,710 --> 00:00:36,250
пресечната точка с единичната окръжност.

14
00:00:36,250 --> 00:00:38,910
Така че просто ще искаш да знаеш тази стойност тук.

15
00:00:38,910 --> 00:00:42,600
И веднага ще кажеш: "Добре, това е 45 градуса. "

16
00:00:42,600 --> 00:00:45,530
Нека нарисувам триъгълника малко по-голям.

17
00:00:45,530 --> 00:00:47,530
Триъгълникът изглежда така.

18
00:00:47,530 --> 00:00:49,210
Това е 45.

19
00:00:49,210 --> 00:00:50,900
Това е 45.

20
00:00:50,900 --> 00:00:53,790
Това е 90 градуса.

21
00:00:53,790 --> 00:00:57,330
И можеш да решиш един 45-45-90 триъгълник.

22
00:00:57,330 --> 00:00:59,040
Хипотенузата е 1.

23
00:00:59,040 --> 00:00:59,960
Това е х.

24
00:00:59,960 --> 00:01:00,640
Това е х.

25
00:01:00,640 --> 00:01:01,930
Те ще бъдат с една и съща стойност.

26
00:01:01,930 --> 00:01:04,920
Това е равнобедрен триъгълник, нали?

27
00:01:04,920 --> 00:01:06,960
Ъглите при основата са равни.

28
00:01:06,960 --> 00:01:10,500
Така че ще ми кажеш – виж сега, х на квадрат плюс x на квадрат е равно на

29
00:01:10,500 --> 00:01:12,960
1 на квадрат, което е 1.

30
00:01:12,960 --> 00:01:15,200
2 по (x на квадрат) е равно на 1.

31
00:01:15,200 --> 00:01:17,440
х на квадрат е равно на 1/2.

32
00:01:17,440 --> 00:01:20,840
x е равно на корен квадратен от 1/2, което е

33
00:01:20,840 --> 00:01:22,780
1 върху корен квадратен от 2.

34
00:01:22,780 --> 00:01:25,700
Мога да го рационализирам, като умножа това

35
00:01:25,700 --> 00:01:27,330
по корен квадратен от 2 върху 2.

36
00:01:27,330 --> 00:01:31,230
Да умножа това по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2.

37
00:01:31,230 --> 00:01:34,950
И получавам x е равно на корен квадратен от 2 върху 2.

38
00:01:34,950 --> 00:01:38,770
Така че височината тук е корен квадратен от 2 върху 2.

39
00:01:38,770 --> 00:01:40,570
И ако искаш да знаеш и това разстояние, то също

40
00:01:40,570 --> 00:01:41,710
би било същото.

41
00:01:41,710 --> 00:01:43,090
Но нас ни интересува само височината.

42
00:01:43,090 --> 00:01:46,580
Тъй като стойността на синус от това е просто

43
00:01:46,580 --> 00:01:47,920
тази височина тук.

44
00:01:47,920 --> 00:01:49,180
Y координатата.

45
00:01:49,180 --> 00:01:52,960
А ние го получихме като корен квадратен от 2 върху 2.

46
00:01:52,960 --> 00:01:53,890
Това е само преглед.

47
00:01:53,890 --> 00:02:00,210
Научихме това в клипа за единичната окръжност.

48
00:02:00,210 --> 00:02:02,550
Но какво ще стане ако някой друг – да речем в друг ден аз

49
00:02:02,550 --> 00:02:08,850
дойда при теб и ти кажа – моля те кажи ми колко

50
00:02:08,850 --> 00:02:14,820
е аркуссинусът от корен квадратен от 2 върху 2?

51
00:02:14,820 --> 00:02:16,190
Какво е аркуссинус?

52
00:02:16,190 --> 00:02:17,170
Може би се объркваш малко.

53
00:02:17,170 --> 00:02:19,180
Казваш си – знам какво е синус от ъгъл, но това

54
00:02:19,180 --> 00:02:24,480
е някаква нова тригонометрична функция, която Сал си е измислил.

55
00:02:24,480 --> 00:02:27,770
Трябва да разбереш, че когато има думата 'аркус'

56
00:02:27,770 --> 00:02:30,685
пред синус,

57
00:02:30,685 --> 00:02:33,960
това може да се запише и като: "Колко е

58
00:02:33,960 --> 00:02:38,420
обратната функция на синус от корен квадратен от 2 върху 2?"

59
00:02:38,420 --> 00:02:43,170
Единственото, което се пита, е синус от какъв ъгъл трябва да

60
00:02:43,170 --> 00:02:48,310
изчисля, за да получа стойността от корен квадратен от 2 върху 2.

61
00:02:48,310 --> 00:02:52,000
Това също ни пита синус от какъв ъгъл трябва да изчисля,

62
00:02:52,000 --> 00:02:54,610
за да се получи корен квадратен от 2 върху 2.

63
00:02:54,610 --> 00:03:00,220
Мога да преобразувам всяко едно от тези твърдения, казвайки

64
00:03:00,220 --> 00:03:02,260
корен.... Нека го направя.

65
00:03:02,260 --> 00:03:06,460
Мога да пренапиша всяко едно от тези твърдения, казвайки:

66
00:03:06,460 --> 00:03:11,200
"Синус от колко е равен на корен квадратен от 2 върху 2?"

67
00:03:11,200 --> 00:03:15,830
И това, мисля, е много по-лесен въпрос за теб.

68
00:03:15,830 --> 00:03:18,400
Синус от колко е корен квадратен от 2 върху 2?

69
00:03:18,400 --> 00:03:21,950
Ами просто изчислявам, че синус от π/4 е

70
00:03:21,950 --> 00:03:24,080
корен квадратен от 2 върху 2.

71
00:03:24,080 --> 00:03:28,560
В този случай знам, че синус от π /4 е равно

72
00:03:28,560 --> 00:03:30,630
на корен квадратен от 2 върху 2.

73
00:03:30,630 --> 00:03:35,760
Така че моята въпросителна е равна на π/4.

74
00:03:35,760 --> 00:03:38,810
Или можех да пренапиша това като

75
00:03:38,810 --> 00:03:47,490
аркуссинус от корен квадратен от 2 върху 2

76
00:03:47,490 --> 00:03:51,940
е равно на π/4.

77
00:03:51,940 --> 00:03:56,120
Просто като преглед ти давам стойност и те питам:

78
00:03:56,120 --> 00:04:01,480
"Какъв е ъгълът, чиито синус ми дава тази стойност?"

79
00:04:01,490 --> 00:04:03,960
Но ти веднага репликираш: "Хей, Сал. Виж..."

80
00:04:03,960 --> 00:04:05,120
Нека се върна тук.

81
00:04:05,120 --> 00:04:06,960
Казваш ми: "Виж, с π/2 се получи.

82
00:04:06,960 --> 00:04:08,540
С 45 градуса също се получи.

83
00:04:08,540 --> 00:04:11,170
Но аз мога просто да продължа да добавям 360 градуса

84
00:04:11,170 --> 00:04:13,130
или да продължа да добавям 2π.

85
00:04:13,130 --> 00:04:15,460
И всички тези ще стават, защото всички тези ще ме водят

86
00:04:15,460 --> 00:04:18,870
към тази същата точка от единичната окръжност, нали?"

87
00:04:18,870 --> 00:04:19,959
И това ще е така.

88
00:04:19,959 --> 00:04:22,620
Ще си мислиш, че всички тези стойности

89
00:04:22,620 --> 00:04:25,290
ще са верни отговори на това, нали?

90
00:04:25,290 --> 00:04:27,700
Защото ако вземаш синуса на който и да е от тези ъгли,

91
00:04:27,700 --> 00:04:29,720
можеш просто да продължиш да добавяш 360 градуса.

92
00:04:29,720 --> 00:04:31,740
Ако вземеш синуса на който и да е от тях,

93
00:04:31,740 --> 00:04:33,540
ще получиш корен квадратен от 2 върху 2.

94
00:04:33,540 --> 00:04:34,370
И това е проблем.

95
00:04:34,370 --> 00:04:38,900
Не мога да имам функция f(x), която

96
00:04:38,900 --> 00:04:42,290
води до множество стойности, нали?

97
00:04:42,290 --> 00:04:48,100
Която води до π/4 или до π/4 плюс 2π

98
00:04:48,100 --> 00:04:52,280
или до π/4 плюс 4π.

99
00:04:52,280 --> 00:04:55,320
Така че за да бъде това валидна функция – за да

100
00:04:55,320 --> 00:04:58,450
бъде валидна аркуссинус функцията, трябва да

101
00:04:58,450 --> 00:05:00,340
огранича множеството й от допустими стойности.

102
00:05:00,340 --> 00:05:02,660
Просто ще ограничим множеството от стойности

103
00:05:02,660 --> 00:05:04,710
по най-естествения начин.

104
00:05:04,710 --> 00:05:06,990
Нека ограничим функционалното множество (ФМ).

105
00:05:06,990 --> 00:05:08,800
И всъщност, като допълнение –

106
00:05:08,800 --> 00:05:10,360
какво е дефиниционното множество (ДМ)?

107
00:05:10,360 --> 00:05:13,160
Взимам аркуссинуса от нещо.

108
00:05:13,160 --> 00:05:19,540
Ако взема аркуссинус от x, и кажа, че е равен на тита,

109
00:05:19,540 --> 00:05:22,180
какво ще е ДМ на това?

110
00:05:22,180 --> 00:05:24,502
Кои са допустимите стойности за х?

111
00:05:24,502 --> 00:05:27,310
x може да бъде равно на какво?

112
00:05:27,310 --> 00:05:30,770
Ами ако взема синуса от произволен ъгъл, мога да получа само

113
00:05:30,770 --> 00:05:33,840
стойности между 1 и -1, нали?

114
00:05:33,840 --> 00:05:37,680
Така че x ще бъде по-голямо от или равно на -1 и

115
00:05:37,680 --> 00:05:39,710
след това по-малко или равно на 1.

116
00:05:39,710 --> 00:05:41,570
Това е ДМ за х.

117
00:05:41,570 --> 00:05:43,760
Сега, за да направя това валидна функция,

118
00:05:43,760 --> 00:05:46,130
трябва да определя функционалното множество.

119
00:05:46,130 --> 00:05:48,110
Т.е. да определя допустимите стойности за функцията.

120
00:05:48,110 --> 00:05:50,700
Сега за аркуссинуса условието е да се ограничи до

121
00:05:50,700 --> 00:05:52,630
първия и четвъртия квадрант.

122
00:05:52,630 --> 00:05:57,210
Да ограничим възможните ъгли до тази зона тук,

123
00:05:57,210 --> 00:05:58,750
по протежение на единичната окръжност.

124
00:05:58,750 --> 00:06:03,840
Така че тита е определена да бъде по-малка или равна на π/2

125
00:06:03,840 --> 00:06:11,180
и след това по-голяма или равна на -π/2.

126
00:06:11,180 --> 00:06:14,350
Така представено, разбираме какво е аркуссинусът.

127
00:06:14,350 --> 00:06:17,110
Нека да решим още една задача.

128
00:06:17,110 --> 00:06:20,140
Ще разчистя малко място тук.

129
00:06:20,140 --> 00:06:21,430
Нека направим друг аркуссинус.

130
00:06:21,430 --> 00:06:29,410
Да кажем, че те питам колко е аркуссинус от

131
00:06:29,410 --> 00:06:32,390
минус корен квадратен от 3 върху 2.

132
00:06:32,390 --> 00:06:36,420
Минус корен квадратен от 3 върху 2.

133
00:06:36,420 --> 00:06:37,920
Може да знаеш това наизуст.

134
00:06:37,920 --> 00:06:40,040
И да кажеш: "Аз знам, че синус от x, или синус

135
00:06:40,040 --> 00:06:41,470
от тита е корен квадратен от 3 върху 2."

136
00:06:41,470 --> 00:06:42,220
И готово.

137
00:06:42,220 --> 00:06:44,730
Но аз не знам това наизуст.

138
00:06:44,730 --> 00:06:47,060
Така че нека начертая една единична окръжност.

139
00:06:47,060 --> 00:06:49,440
И когато си имам работа с аркуссинус, трябва да начертая

140
00:06:49,440 --> 00:06:53,550
само първия и четвъртия квадрант на единичната окръжност.

141
00:06:53,550 --> 00:06:54,810
Това е оста y.

142
00:06:54,810 --> 00:06:56,890
Това е моята ос x.

143
00:06:56,890 --> 00:06:59,690
x и y.

144
00:06:59,690 --> 00:07:01,300
И къде съм аз?

145
00:07:01,300 --> 00:07:04,250
Ако синус от нещо е минус корен квадратен от 3 върху 2,

146
00:07:04,250 --> 00:07:07,180
това означава, че y координатата на точката от единичната окръжност

147
00:07:07,180 --> 00:07:09,400
е минус корен квадратен от 3 върху 2.

148
00:07:09,400 --> 00:07:15,020
Това означава, че сме точно тук.

149
00:07:15,020 --> 00:07:18,800
Това е минус корен квадратен от 3 върху 2.

150
00:07:18,800 --> 00:07:20,440
Това е мястото, където сме.

151
00:07:20,440 --> 00:07:24,160
Сега, какъв ъгъл ми дава това?

152
00:07:24,160 --> 00:07:26,090
Нека помислим малко.

153
00:07:26,090 --> 00:07:31,600
Моята y координата е минус корен квадратен от 3 върху 2.

154
00:07:31,600 --> 00:07:33,460
Това е ъгълът.

155
00:07:33,460 --> 00:07:36,110
Той ще бъде отрицателен ъгъл, защото слизаме

156
00:07:36,110 --> 00:07:39,130
под оста x по посока на часовниковата стрелка.

157
00:07:39,130 --> 00:07:44,240
И за да го изчисля – нека просто начертая малък триъгълник тук.

158
00:07:44,240 --> 00:07:45,520
Нека избера по-добър цвят от това.

159
00:07:45,520 --> 00:07:48,040
Това е триъгълник.

160
00:07:48,040 --> 00:07:52,740
Нека го направя в този син цвят.

161
00:07:52,740 --> 00:07:56,270
Нека уголемя малко този триъгълник.

162
00:07:56,270 --> 00:07:58,540
Това е тита.

163
00:07:58,540 --> 00:08:00,660
А каква е тази дължина тук?

164
00:08:00,660 --> 00:08:02,860
Ами това е същото като дължината на у,

165
00:08:02,860 --> 00:08:03,890
можем така да я наречем.

166
00:08:03,890 --> 00:08:06,220
Която е корен квадратен от 3 върху 2.

167
00:08:06,220 --> 00:08:07,560
Това е минус, защото сме отдолу.

168
00:08:07,560 --> 00:08:08,850
Но нека да изчислим този ъгъл.

169
00:08:08,850 --> 00:08:11,960
Знаем, че е отрицателен ъгъл.

170
00:08:11,960 --> 00:08:14,540
Когато видиш корен квадратен от 3 върху 2, да се надяваме,

171
00:08:14,540 --> 00:08:16,870
че разпознаваш, че това е 30-60-90 триъгълник.

172
00:08:16,870 --> 00:08:17,980
Корен квадратен от 3 върху 2.

173
00:08:17,980 --> 00:08:19,950
Тази страна е 1/2.

174
00:08:19,950 --> 00:08:21,250
И тогава, разбира се, тази страна е 1.

175
00:08:21,250 --> 00:08:22,880
Защото това е единична окръжност.

176
00:08:22,880 --> 00:08:24,630
Така че нейният радиус е 1.

177
00:08:24,630 --> 00:08:27,415
И така, в един 30-60-90 триъгълник ъгълът, лежащ срещу

178
00:08:27,415 --> 00:08:30,500
корен квадратен от 3 върху 2, е 60 градуса.

179
00:08:30,500 --> 00:08:32,610
Този ъгъл тук е 30 градуса.

180
00:08:32,610 --> 00:08:35,030
Така че знаем, че нашият ъгъл тита е 60 градуса.

181
00:08:35,030 --> 00:08:37,360
Това е величината, но отива надолу,

182
00:08:37,360 --> 00:08:39,970
така че е -60 градуса.

183
00:08:39,970 --> 00:08:43,179
Тита е равен на -60 градуса.

184
00:08:43,179 --> 00:08:44,500
Но ако изчислявахме в радиани, това

185
00:08:44,500 --> 00:08:45,500
не е достатъчно добро.

186
00:08:45,500 --> 00:08:52,350
Така че можем да умножим това по π радиана

187
00:08:52,350 --> 00:08:54,540
за всеки 180 градуса.

188
00:08:54,540 --> 00:08:56,070
Градусите се съкращават.

189
00:08:56,070 --> 00:09:04,080
И ни остава тита е равно на -π/3 радиана.

190
00:09:04,090 --> 00:09:10,630
Сега можем да направим заключението, че

191
00:09:10,630 --> 00:09:16,210
аркуссинусът от минус корен квадратен от 3 върху 2

192
00:09:16,210 --> 00:09:19,980
е равен на -π/3 радиана.

193
00:09:19,980 --> 00:09:23,690
Или бихме могли да кажем, че обратната функция на синус от

194
00:09:23,690 --> 00:09:30,840
минус корен квадратен от 3 върху 2 е -π/3 радиана.

195
00:09:30,840 --> 00:09:35,350
И за да потвърдя това, нека просто извадя един калкулатор.

196
00:09:35,350 --> 00:09:39,410
Вече го настроих в режим за радиани.

197
00:09:39,410 --> 00:09:41,060
Да видим.

198
00:09:41,060 --> 00:09:43,040
В режим радиани съм.

199
00:09:43,040 --> 00:09:45,490
Знам, че ще получа, надявам се, правилния отговор.

200
00:09:45,490 --> 00:09:47,840
И искам да изчисля аркуссинус.

201
00:09:47,840 --> 00:09:51,610
Така че аркуссинус – втория до синус бутона –

202
00:09:51,610 --> 00:09:59,790
от минус корен квадратен от 3 върху 2.

203
00:09:59,790 --> 00:10:03,800
Това е равно на -1,04.

204
00:10:03,800 --> 00:10:11,040
Показва ми, че това е равно на -1,04 радиана.

205
00:10:11,040 --> 00:10:13,970
Така че π/3 трябва да бъде равно на 1,04.

206
00:10:13,970 --> 00:10:16,030
Нека видим дали мога да потвърдя това.

207
00:10:16,030 --> 00:10:25,180
Ако трябваше да напиша -π, делено на 3, какво ще получа?

208
00:10:25,180 --> 00:10:26,670
Получавам точно същата стойност.

209
00:10:26,670 --> 00:10:28,710
Моят калкулатор ми даде абсолютно същата стойност,

210
00:10:28,710 --> 00:10:31,360
но тя може да не е толкова полезна, защото калкулаторът ми

211
00:10:31,360 --> 00:10:34,520
не ми казва, че това е -π/3.