0:00:00.240,0:00:03.530 Ако на улицата вървя към теб и те попитам: "Моля 0:00:03.530,0:00:07.450 кажи ми колко – не исках да го пиша толкова дебело – моля 0:00:07.450,0:00:11.710 кажи ми колко е синус от π/4." 0:00:11.710,0:00:14.950 И очевидно приемаме, че работим в радиани. 0:00:14.950,0:00:17.510 Ти или помниш това, или ще начертаеш 0:00:17.510,0:00:19.920 единична окръжност ето така. 0:00:19.920,0:00:21.870 Това не е най-добре изглеждащата единична окръжност, 0:00:21.870,0:00:23.080 но схвана идеята. 0:00:23.080,0:00:26.560 Ще отидеш до π/4 радиана, 0:00:26.560,0:00:29.760 което е същото като 45 градуса. 0:00:29.760,0:00:31.840 Ще нанесеш този единичен радиус. 0:00:31.840,0:00:34.710 И синусът се определя като y координатата на 0:00:34.710,0:00:36.250 пресечната точка с единичната окръжност. 0:00:36.250,0:00:38.910 Така че просто ще искаш да знаеш тази стойност тук. 0:00:38.910,0:00:42.600 И веднага ще кажеш: "Добре, това е 45 градуса. " 0:00:42.600,0:00:45.530 Нека нарисувам триъгълника малко по-голям. 0:00:45.530,0:00:47.530 Триъгълникът изглежда така. 0:00:47.530,0:00:49.210 Това е 45. 0:00:49.210,0:00:50.900 Това е 45. 0:00:50.900,0:00:53.790 Това е 90 градуса. 0:00:53.790,0:00:57.330 И можеш да решиш един 45-45-90 триъгълник. 0:00:57.330,0:00:59.040 Хипотенузата е 1. 0:00:59.040,0:00:59.960 Това е х. 0:00:59.960,0:01:00.640 Това е х. 0:01:00.640,0:01:01.930 Те ще бъдат с една и съща стойност. 0:01:01.930,0:01:04.920 Това е равнобедрен триъгълник, нали? 0:01:04.920,0:01:06.960 Ъглите при основата са равни. 0:01:06.960,0:01:10.500 Така че ще ми кажеш – виж сега, х на квадрат плюс x на квадрат е равно на 0:01:10.500,0:01:12.960 1 на квадрат, което е 1. 0:01:12.960,0:01:15.200 2 по (x на квадрат) е равно на 1. 0:01:15.200,0:01:17.440 х на квадрат е равно на 1/2. 0:01:17.440,0:01:20.840 x е равно на корен квадратен от 1/2, което е 0:01:20.840,0:01:22.780 1 върху корен квадратен от 2. 0:01:22.780,0:01:25.700 Мога да го рационализирам, като умножа това 0:01:25.700,0:01:27.330 по корен квадратен от 2 върху 2. 0:01:27.330,0:01:31.230 Да умножа това по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2. 0:01:31.230,0:01:34.950 И получавам x е равно на корен квадратен от 2 върху 2. 0:01:34.950,0:01:38.770 Така че височината тук е корен квадратен от 2 върху 2. 0:01:38.770,0:01:40.570 И ако искаш да знаеш и това разстояние, то също 0:01:40.570,0:01:41.710 би било същото. 0:01:41.710,0:01:43.090 Но нас ни интересува само височината. 0:01:43.090,0:01:46.580 Тъй като стойността на синус от това е просто 0:01:46.580,0:01:47.920 тази височина тук. 0:01:47.920,0:01:49.180 Y координатата. 0:01:49.180,0:01:52.960 А ние го получихме като корен квадратен от 2 върху 2. 0:01:52.960,0:01:53.890 Това е само преглед. 0:01:53.890,0:02:00.210 Научихме това в клипа за единичната окръжност. 0:02:00.210,0:02:02.550 Но какво ще стане ако някой друг – да речем в друг ден аз 0:02:02.550,0:02:08.850 дойда при теб и ти кажа – моля те кажи ми колко 0:02:08.850,0:02:14.820 е аркуссинусът от корен квадратен от 2 върху 2? 0:02:14.820,0:02:16.190 Какво е аркуссинус? 0:02:16.190,0:02:17.170 Може би се объркваш малко. 0:02:17.170,0:02:19.180 Казваш си – знам какво е синус от ъгъл, но това 0:02:19.180,0:02:24.480 е някаква нова тригонометрична функция, която Сал си е измислил. 0:02:24.480,0:02:27.770 Трябва да разбереш, че когато има думата 'аркус' 0:02:27.770,0:02:30.685 пред синус, 0:02:30.685,0:02:33.960 това може да се запише и като: "Колко е 0:02:33.960,0:02:38.420 обратната функция на синус от корен квадратен от 2 върху 2?" 0:02:38.420,0:02:43.170 Единственото, което се пита, е синус от какъв ъгъл трябва да 0:02:43.170,0:02:48.310 изчисля, за да получа стойността от корен квадратен от 2 върху 2. 0:02:48.310,0:02:52.000 Това също ни пита синус от какъв ъгъл трябва да изчисля, 0:02:52.000,0:02:54.610 за да се получи корен квадратен от 2 върху 2. 0:02:54.610,0:03:00.220 Мога да преобразувам всяко едно от тези твърдения, казвайки 0:03:00.220,0:03:02.260 корен.... Нека го направя. 0:03:02.260,0:03:06.460 Мога да пренапиша всяко едно от тези твърдения, казвайки: 0:03:06.460,0:03:11.200 "Синус от колко е равен на корен квадратен от 2 върху 2?" 0:03:11.200,0:03:15.830 И това, мисля, е много по-лесен въпрос за теб. 0:03:15.830,0:03:18.400 Синус от колко е корен квадратен от 2 върху 2? 0:03:18.400,0:03:21.950 Ами просто изчислявам, че синус от π/4 е 0:03:21.950,0:03:24.080 корен квадратен от 2 върху 2. 0:03:24.080,0:03:28.560 В този случай знам, че синус от π /4 е равно 0:03:28.560,0:03:30.630 на корен квадратен от 2 върху 2. 0:03:30.630,0:03:35.760 Така че моята въпросителна е равна на π/4. 0:03:35.760,0:03:38.810 Или можех да пренапиша това като 0:03:38.810,0:03:47.490 аркуссинус от корен квадратен от 2 върху 2 0:03:47.490,0:03:51.940 е равно на π/4. 0:03:51.940,0:03:56.120 Просто като преглед ти давам стойност и те питам: 0:03:56.120,0:04:01.480 "Какъв е ъгълът, чиито синус ми дава тази стойност?" 0:04:01.490,0:04:03.960 Но ти веднага репликираш: "Хей, Сал. Виж..." 0:04:03.960,0:04:05.120 Нека се върна тук. 0:04:05.120,0:04:06.960 Казваш ми: "Виж, с π/2 се получи. 0:04:06.960,0:04:08.540 С 45 градуса също се получи. 0:04:08.540,0:04:11.170 Но аз мога просто да продължа да добавям 360 градуса 0:04:11.170,0:04:13.130 или да продължа да добавям 2π. 0:04:13.130,0:04:15.460 И всички тези ще стават, защото всички тези ще ме водят 0:04:15.460,0:04:18.870 към тази същата точка от единичната окръжност, нали?" 0:04:18.870,0:04:19.959 И това ще е така. 0:04:19.959,0:04:22.620 Ще си мислиш, че всички тези стойности 0:04:22.620,0:04:25.290 ще са верни отговори на това, нали? 0:04:25.290,0:04:27.700 Защото ако вземаш синуса на който и да е от тези ъгли, 0:04:27.700,0:04:29.720 можеш просто да продължиш да добавяш 360 градуса. 0:04:29.720,0:04:31.740 Ако вземеш синуса на който и да е от тях, 0:04:31.740,0:04:33.540 ще получиш корен квадратен от 2 върху 2. 0:04:33.540,0:04:34.370 И това е проблем. 0:04:34.370,0:04:38.900 Не мога да имам функция f(x), която 0:04:38.900,0:04:42.290 води до множество стойности, нали? 0:04:42.290,0:04:48.100 Която води до π/4 или до π/4 плюс 2π 0:04:48.100,0:04:52.280 или до π/4 плюс 4π. 0:04:52.280,0:04:55.320 Така че за да бъде това валидна функция – за да 0:04:55.320,0:04:58.450 бъде валидна аркуссинус функцията, трябва да 0:04:58.450,0:05:00.340 огранича множеството й от допустими стойности. 0:05:00.340,0:05:02.660 Просто ще ограничим множеството от стойности 0:05:02.660,0:05:04.710 по най-естествения начин. 0:05:04.710,0:05:06.990 Нека ограничим функционалното множество (ФМ). 0:05:06.990,0:05:08.800 И всъщност, като допълнение – 0:05:08.800,0:05:10.360 какво е дефиниционното множество (ДМ)? 0:05:10.360,0:05:13.160 Взимам аркуссинуса от нещо. 0:05:13.160,0:05:19.540 Ако взема аркуссинус от x, и кажа, че е равен на тита, 0:05:19.540,0:05:22.180 какво ще е ДМ на това? 0:05:22.180,0:05:24.502 Кои са допустимите стойности за х? 0:05:24.502,0:05:27.310 x може да бъде равно на какво? 0:05:27.310,0:05:30.770 Ами ако взема синуса от произволен ъгъл, мога да получа само 0:05:30.770,0:05:33.840 стойности между 1 и -1, нали? 0:05:33.840,0:05:37.680 Така че x ще бъде по-голямо от или равно на -1 и 0:05:37.680,0:05:39.710 след това по-малко или равно на 1. 0:05:39.710,0:05:41.570 Това е ДМ за х. 0:05:41.570,0:05:43.760 Сега, за да направя това валидна функция, 0:05:43.760,0:05:46.130 трябва да определя функционалното множество. 0:05:46.130,0:05:48.110 Т.е. да определя допустимите стойности за функцията. 0:05:48.110,0:05:50.700 Сега за аркуссинуса условието е да се ограничи до 0:05:50.700,0:05:52.630 първия и четвъртия квадрант. 0:05:52.630,0:05:57.210 Да ограничим възможните ъгли до тази зона тук, 0:05:57.210,0:05:58.750 по протежение на единичната окръжност. 0:05:58.750,0:06:03.840 Така че тита е определена да бъде по-малка или равна на π/2 0:06:03.840,0:06:11.180 и след това по-голяма или равна на -π/2. 0:06:11.180,0:06:14.350 Така представено, разбираме какво е аркуссинусът. 0:06:14.350,0:06:17.110 Нека да решим още една задача. 0:06:17.110,0:06:20.140 Ще разчистя малко място тук. 0:06:20.140,0:06:21.430 Нека направим друг аркуссинус. 0:06:21.430,0:06:29.410 Да кажем, че те питам колко е аркуссинус от 0:06:29.410,0:06:32.390 минус корен квадратен от 3 върху 2. 0:06:32.390,0:06:36.420 Минус корен квадратен от 3 върху 2. 0:06:36.420,0:06:37.920 Може да знаеш това наизуст. 0:06:37.920,0:06:40.040 И да кажеш: "Аз знам, че синус от x, или синус 0:06:40.040,0:06:41.470 от тита е корен квадратен от 3 върху 2." 0:06:41.470,0:06:42.220 И готово. 0:06:42.220,0:06:44.730 Но аз не знам това наизуст. 0:06:44.730,0:06:47.060 Така че нека начертая една единична окръжност. 0:06:47.060,0:06:49.440 И когато си имам работа с аркуссинус, трябва да начертая 0:06:49.440,0:06:53.550 само първия и четвъртия квадрант на единичната окръжност. 0:06:53.550,0:06:54.810 Това е оста y. 0:06:54.810,0:06:56.890 Това е моята ос x. 0:06:56.890,0:06:59.690 x и y. 0:06:59.690,0:07:01.300 И къде съм аз? 0:07:01.300,0:07:04.250 Ако синус от нещо е минус корен квадратен от 3 върху 2, 0:07:04.250,0:07:07.180 това означава, че y координатата на точката от единичната окръжност 0:07:07.180,0:07:09.400 е минус корен квадратен от 3 върху 2. 0:07:09.400,0:07:15.020 Това означава, че сме точно тук. 0:07:15.020,0:07:18.800 Това е минус корен квадратен от 3 върху 2. 0:07:18.800,0:07:20.440 Това е мястото, където сме. 0:07:20.440,0:07:24.160 Сега, какъв ъгъл ми дава това? 0:07:24.160,0:07:26.090 Нека помислим малко. 0:07:26.090,0:07:31.600 Моята y координата е минус корен квадратен от 3 върху 2. 0:07:31.600,0:07:33.460 Това е ъгълът. 0:07:33.460,0:07:36.110 Той ще бъде отрицателен ъгъл, защото слизаме 0:07:36.110,0:07:39.130 под оста x по посока на часовниковата стрелка. 0:07:39.130,0:07:44.240 И за да го изчисля – нека просто начертая малък триъгълник тук. 0:07:44.240,0:07:45.520 Нека избера по-добър цвят от това. 0:07:45.520,0:07:48.040 Това е триъгълник. 0:07:48.040,0:07:52.740 Нека го направя в този син цвят. 0:07:52.740,0:07:56.270 Нека уголемя малко този триъгълник. 0:07:56.270,0:07:58.540 Това е тита. 0:07:58.540,0:08:00.660 А каква е тази дължина тук? 0:08:00.660,0:08:02.860 Ами това е същото като дължината на у, 0:08:02.860,0:08:03.890 можем така да я наречем. 0:08:03.890,0:08:06.220 Която е корен квадратен от 3 върху 2. 0:08:06.220,0:08:07.560 Това е минус, защото сме отдолу. 0:08:07.560,0:08:08.850 Но нека да изчислим този ъгъл. 0:08:08.850,0:08:11.960 Знаем, че е отрицателен ъгъл. 0:08:11.960,0:08:14.540 Когато видиш корен квадратен от 3 върху 2, да се надяваме, 0:08:14.540,0:08:16.870 че разпознаваш, че това е 30-60-90 триъгълник. 0:08:16.870,0:08:17.980 Корен квадратен от 3 върху 2. 0:08:17.980,0:08:19.950 Тази страна е 1/2. 0:08:19.950,0:08:21.250 И тогава, разбира се, тази страна е 1. 0:08:21.250,0:08:22.880 Защото това е единична окръжност. 0:08:22.880,0:08:24.630 Така че нейният радиус е 1. 0:08:24.630,0:08:27.415 И така, в един 30-60-90 триъгълник ъгълът, лежащ срещу 0:08:27.415,0:08:30.500 корен квадратен от 3 върху 2, е 60 градуса. 0:08:30.500,0:08:32.610 Този ъгъл тук е 30 градуса. 0:08:32.610,0:08:35.030 Така че знаем, че нашият ъгъл тита е 60 градуса. 0:08:35.030,0:08:37.360 Това е величината, но отива надолу, 0:08:37.360,0:08:39.970 така че е -60 градуса. 0:08:39.970,0:08:43.179 Тита е равен на -60 градуса. 0:08:43.179,0:08:44.500 Но ако изчислявахме в радиани, това 0:08:44.500,0:08:45.500 не е достатъчно добро. 0:08:45.500,0:08:52.350 Така че можем да умножим това по π радиана 0:08:52.350,0:08:54.540 за всеки 180 градуса. 0:08:54.540,0:08:56.070 Градусите се съкращават. 0:08:56.070,0:09:04.080 И ни остава тита е равно на -π/3 радиана. 0:09:04.090,0:09:10.630 Сега можем да направим заключението, че 0:09:10.630,0:09:16.210 аркуссинусът от минус корен квадратен от 3 върху 2 0:09:16.210,0:09:19.980 е равен на -π/3 радиана. 0:09:19.980,0:09:23.690 Или бихме могли да кажем, че обратната функция на синус от 0:09:23.690,0:09:30.840 минус корен квадратен от 3 върху 2 е -π/3 радиана. 0:09:30.840,0:09:35.350 И за да потвърдя това, нека просто извадя един калкулатор. 0:09:35.350,0:09:39.410 Вече го настроих в режим за радиани. 0:09:39.410,0:09:41.060 Да видим. 0:09:41.060,0:09:43.040 В режим радиани съм. 0:09:43.040,0:09:45.490 Знам, че ще получа, надявам се, правилния отговор. 0:09:45.490,0:09:47.840 И искам да изчисля аркуссинус. 0:09:47.840,0:09:51.610 Така че аркуссинус – втория до синус бутона – 0:09:51.610,0:09:59.790 от минус корен квадратен от 3 върху 2. 0:09:59.790,0:10:03.800 Това е равно на -1,04. 0:10:03.800,0:10:11.040 Показва ми, че това е равно на -1,04 радиана. 0:10:11.040,0:10:13.970 Така че π/3 трябва да бъде равно на 1,04. 0:10:13.970,0:10:16.030 Нека видим дали мога да потвърдя това. 0:10:16.030,0:10:25.180 Ако трябваше да напиша -π, делено на 3, какво ще получа? 0:10:25.180,0:10:26.670 Получавам точно същата стойност. 0:10:26.670,0:10:28.710 Моят калкулатор ми даде абсолютно същата стойност, 0:10:28.710,0:10:31.360 но тя може да не е толкова полезна, защото калкулаторът ми 0:10:31.360,0:10:34.520 не ми казва, че това е -π/3.