WEBVTT

00:00:00.240 --> 00:00:03.530
Ако на улицата вървя към теб и те попитам: "Моля

00:00:03.530 --> 00:00:07.450
кажи ми колко – не исках да го пиша толкова дебело – моля

00:00:07.450 --> 00:00:11.710
кажи ми колко е синус от π/4."

00:00:11.710 --> 00:00:14.950
И очевидно приемаме, че работим в радиани.

00:00:14.950 --> 00:00:17.510
Ти или помниш това, или ще начертаеш

00:00:17.510 --> 00:00:19.920
единична окръжност ето така.

00:00:19.920 --> 00:00:21.870
Това не е най-добре изглеждащата единична окръжност,

00:00:21.870 --> 00:00:23.080
но схвана идеята.

00:00:23.080 --> 00:00:26.560
Ще отидеш до π/4 радиана,

00:00:26.560 --> 00:00:29.760
което е същото като 45 градуса.

00:00:29.760 --> 00:00:31.840
Ще нанесеш този единичен радиус.

00:00:31.840 --> 00:00:34.710
И синусът се определя като y координатата на

00:00:34.710 --> 00:00:36.250
пресечната точка с единичната окръжност.

00:00:36.250 --> 00:00:38.910
Така че просто ще искаш да знаеш тази стойност тук.

00:00:38.910 --> 00:00:42.600
И веднага ще кажеш: "Добре, това е 45 градуса. "

00:00:42.600 --> 00:00:45.530
Нека нарисувам триъгълника малко по-голям.

00:00:45.530 --> 00:00:47.530
Триъгълникът изглежда така.

00:00:47.530 --> 00:00:49.210
Това е 45.

00:00:49.210 --> 00:00:50.900
Това е 45.

00:00:50.900 --> 00:00:53.790
Това е 90 градуса.

00:00:53.790 --> 00:00:57.330
И можеш да решиш един 45-45-90 триъгълник.

00:00:57.330 --> 00:00:59.040
Хипотенузата е 1.

00:00:59.040 --> 00:00:59.960
Това е х.

00:00:59.960 --> 00:01:00.640
Това е х.

00:01:00.640 --> 00:01:01.930
Те ще бъдат с една и съща стойност.

00:01:01.930 --> 00:01:04.920
Това е равнобедрен триъгълник, нали?

00:01:04.920 --> 00:01:06.960
Ъглите при основата са равни.

00:01:06.960 --> 00:01:10.500
Така че ще ми кажеш – виж сега, х на квадрат плюс x на квадрат е равно на

00:01:10.500 --> 00:01:12.960
1 на квадрат, което е 1.

00:01:12.960 --> 00:01:15.200
2 по (x на квадрат) е равно на 1.

00:01:15.200 --> 00:01:17.440
х на квадрат е равно на 1/2.

00:01:17.440 --> 00:01:20.840
x е равно на корен квадратен от 1/2, което е

00:01:20.840 --> 00:01:22.780
1 върху корен квадратен от 2.

00:01:22.780 --> 00:01:25.700
Мога да го рационализирам, като умножа това

00:01:25.700 --> 00:01:27.330
по корен квадратен от 2 върху 2.

00:01:27.330 --> 00:01:31.230
Да умножа това по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 2.

00:01:31.230 --> 00:01:34.950
И получавам x е равно на корен квадратен от 2 върху 2.

00:01:34.950 --> 00:01:38.770
Така че височината тук е корен квадратен от 2 върху 2.

00:01:38.770 --> 00:01:40.570
И ако искаш да знаеш и това разстояние, то също

00:01:40.570 --> 00:01:41.710
би било същото.

00:01:41.710 --> 00:01:43.090
Но нас ни интересува само височината.

00:01:43.090 --> 00:01:46.580
Тъй като стойността на синус от това е просто

00:01:46.580 --> 00:01:47.920
тази височина тук.

00:01:47.920 --> 00:01:49.180
Y координатата.

00:01:49.180 --> 00:01:52.960
А ние го получихме като корен квадратен от 2 върху 2.

00:01:52.960 --> 00:01:53.890
Това е само преглед.

00:01:53.890 --> 00:02:00.210
Научихме това в клипа за единичната окръжност.

00:02:00.210 --> 00:02:02.550
Но какво ще стане ако някой друг – да речем в друг ден аз

00:02:02.550 --> 00:02:08.850
дойда при теб и ти кажа – моля те кажи ми колко

00:02:08.850 --> 00:02:14.820
е аркуссинусът от корен квадратен от 2 върху 2?

00:02:14.820 --> 00:02:16.190
Какво е аркуссинус?

00:02:16.190 --> 00:02:17.170
Може би се объркваш малко.

00:02:17.170 --> 00:02:19.180
Казваш си – знам какво е синус от ъгъл, но това

00:02:19.180 --> 00:02:24.480
е някаква нова тригонометрична функция, която Сал си е измислил.

00:02:24.480 --> 00:02:27.770
Трябва да разбереш, че когато има думата 'аркус'

00:02:27.770 --> 00:02:30.685
пред синус,

00:02:30.685 --> 00:02:33.960
това може да се запише и като: "Колко е

00:02:33.960 --> 00:02:38.420
обратната функция на синус от корен квадратен от 2 върху 2?"

00:02:38.420 --> 00:02:43.170
Единственото, което се пита, е синус от какъв ъгъл трябва да

00:02:43.170 --> 00:02:48.310
изчисля, за да получа стойността от корен квадратен от 2 върху 2.

00:02:48.310 --> 00:02:52.000
Това също ни пита синус от какъв ъгъл трябва да изчисля,

00:02:52.000 --> 00:02:54.610
за да се получи корен квадратен от 2 върху 2.

00:02:54.610 --> 00:03:00.220
Мога да преобразувам всяко едно от тези твърдения, казвайки

00:03:00.220 --> 00:03:02.260
корен.... Нека го направя.

00:03:02.260 --> 00:03:06.460
Мога да пренапиша всяко едно от тези твърдения, казвайки:

00:03:06.460 --> 00:03:11.200
"Синус от колко е равен на корен квадратен от 2 върху 2?"

00:03:11.200 --> 00:03:15.830
И това, мисля, е много по-лесен въпрос за теб.

00:03:15.830 --> 00:03:18.400
Синус от колко е корен квадратен от 2 върху 2?

00:03:18.400 --> 00:03:21.950
Ами просто изчислявам, че синус от π/4 е

00:03:21.950 --> 00:03:24.080
корен квадратен от 2 върху 2.

00:03:24.080 --> 00:03:28.560
В този случай знам, че синус от π /4 е равно

00:03:28.560 --> 00:03:30.630
на корен квадратен от 2 върху 2.

00:03:30.630 --> 00:03:35.760
Така че моята въпросителна е равна на π/4.

00:03:35.760 --> 00:03:38.810
Или можех да пренапиша това като

00:03:38.810 --> 00:03:47.490
аркуссинус от корен квадратен от 2 върху 2

00:03:47.490 --> 00:03:51.940
е равно на π/4.

00:03:51.940 --> 00:03:56.120
Просто като преглед ти давам стойност и те питам:

00:03:56.120 --> 00:04:01.480
"Какъв е ъгълът, чиито синус ми дава тази стойност?"

00:04:01.490 --> 00:04:03.960
Но ти веднага репликираш: "Хей, Сал. Виж..."

00:04:03.960 --> 00:04:05.120
Нека се върна тук.

00:04:05.120 --> 00:04:06.960
Казваш ми: "Виж, с π/2 се получи.

00:04:06.960 --> 00:04:08.540
С 45 градуса също се получи.

00:04:08.540 --> 00:04:11.170
Но аз мога просто да продължа да добавям 360 градуса

00:04:11.170 --> 00:04:13.130
или да продължа да добавям 2π.

00:04:13.130 --> 00:04:15.460
И всички тези ще стават, защото всички тези ще ме водят

00:04:15.460 --> 00:04:18.870
към тази същата точка от единичната окръжност, нали?"

00:04:18.870 --> 00:04:19.959
И това ще е така.

00:04:19.959 --> 00:04:22.620
Ще си мислиш, че всички тези стойности

00:04:22.620 --> 00:04:25.290
ще са верни отговори на това, нали?

00:04:25.290 --> 00:04:27.700
Защото ако вземаш синуса на който и да е от тези ъгли,

00:04:27.700 --> 00:04:29.720
можеш просто да продължиш да добавяш 360 градуса.

00:04:29.720 --> 00:04:31.740
Ако вземеш синуса на който и да е от тях,

00:04:31.740 --> 00:04:33.540
ще получиш корен квадратен от 2 върху 2.

00:04:33.540 --> 00:04:34.370
И това е проблем.

00:04:34.370 --> 00:04:38.900
Не мога да имам функция f(x), която

00:04:38.900 --> 00:04:42.290
води до множество стойности, нали?

00:04:42.290 --> 00:04:48.100
Която води до π/4 или до π/4 плюс 2π

00:04:48.100 --> 00:04:52.280
или до π/4 плюс 4π.

00:04:52.280 --> 00:04:55.320
Така че за да бъде това валидна функция – за да

00:04:55.320 --> 00:04:58.450
бъде валидна аркуссинус функцията, трябва да

00:04:58.450 --> 00:05:00.340
огранича множеството й от допустими стойности.

00:05:00.340 --> 00:05:02.660
Просто ще ограничим множеството от стойности

00:05:02.660 --> 00:05:04.710
по най-естествения начин.

00:05:04.710 --> 00:05:06.990
Нека ограничим функционалното множество (ФМ).

00:05:06.990 --> 00:05:08.800
И всъщност, като допълнение –

00:05:08.800 --> 00:05:10.360
какво е дефиниционното множество (ДМ)?

00:05:10.360 --> 00:05:13.160
Взимам аркуссинуса от нещо.

00:05:13.160 --> 00:05:19.540
Ако взема аркуссинус от x, и кажа, че е равен на тита,

00:05:19.540 --> 00:05:22.180
какво ще е ДМ на това?

00:05:22.180 --> 00:05:24.502
Кои са допустимите стойности за х?

00:05:24.502 --> 00:05:27.310
x може да бъде равно на какво?

00:05:27.310 --> 00:05:30.770
Ами ако взема синуса от произволен ъгъл, мога да получа само

00:05:30.770 --> 00:05:33.840
стойности между 1 и -1, нали?

00:05:33.840 --> 00:05:37.680
Така че x ще бъде по-голямо от или равно на -1 и

00:05:37.680 --> 00:05:39.710
след това по-малко или равно на 1.

00:05:39.710 --> 00:05:41.570
Това е ДМ за х.

00:05:41.570 --> 00:05:43.760
Сега, за да направя това валидна функция,

00:05:43.760 --> 00:05:46.130
трябва да определя функционалното множество.

00:05:46.130 --> 00:05:48.110
Т.е. да определя допустимите стойности за функцията.

00:05:48.110 --> 00:05:50.700
Сега за аркуссинуса условието е да се ограничи до

00:05:50.700 --> 00:05:52.630
първия и четвъртия квадрант.

00:05:52.630 --> 00:05:57.210
Да ограничим възможните ъгли до тази зона тук,

00:05:57.210 --> 00:05:58.750
по протежение на единичната окръжност.

00:05:58.750 --> 00:06:03.840
Така че тита е определена да бъде по-малка или равна на π/2

00:06:03.840 --> 00:06:11.180
и след това по-голяма или равна на -π/2.

00:06:11.180 --> 00:06:14.350
Така представено, разбираме какво е аркуссинусът.

00:06:14.350 --> 00:06:17.110
Нека да решим още една задача.

00:06:17.110 --> 00:06:20.140
Ще разчистя малко място тук.

00:06:20.140 --> 00:06:21.430
Нека направим друг аркуссинус.

00:06:21.430 --> 00:06:29.410
Да кажем, че те питам колко е аркуссинус от

00:06:29.410 --> 00:06:32.390
минус корен квадратен от 3 върху 2.

00:06:32.390 --> 00:06:36.420
Минус корен квадратен от 3 върху 2.

00:06:36.420 --> 00:06:37.920
Може да знаеш това наизуст.

00:06:37.920 --> 00:06:40.040
И да кажеш: "Аз знам, че синус от x, или синус

00:06:40.040 --> 00:06:41.470
от тита е корен квадратен от 3 върху 2."

00:06:41.470 --> 00:06:42.220
И готово.

00:06:42.220 --> 00:06:44.730
Но аз не знам това наизуст.

00:06:44.730 --> 00:06:47.060
Така че нека начертая една единична окръжност.

00:06:47.060 --> 00:06:49.440
И когато си имам работа с аркуссинус, трябва да начертая

00:06:49.440 --> 00:06:53.550
само първия и четвъртия квадрант на единичната окръжност.

00:06:53.550 --> 00:06:54.810
Това е оста y.

00:06:54.810 --> 00:06:56.890
Това е моята ос x.

00:06:56.890 --> 00:06:59.690
x и y.

00:06:59.690 --> 00:07:01.300
И къде съм аз?

00:07:01.300 --> 00:07:04.250
Ако синус от нещо е минус корен квадратен от 3 върху 2,

00:07:04.250 --> 00:07:07.180
това означава, че y координатата на точката от единичната окръжност

00:07:07.180 --> 00:07:09.400
е минус корен квадратен от 3 върху 2.

00:07:09.400 --> 00:07:15.020
Това означава, че сме точно тук.

00:07:15.020 --> 00:07:18.800
Това е минус корен квадратен от 3 върху 2.

00:07:18.800 --> 00:07:20.440
Това е мястото, където сме.

00:07:20.440 --> 00:07:24.160
Сега, какъв ъгъл ми дава това?

00:07:24.160 --> 00:07:26.090
Нека помислим малко.

00:07:26.090 --> 00:07:31.600
Моята y координата е минус корен квадратен от 3 върху 2.

00:07:31.600 --> 00:07:33.460
Това е ъгълът.

00:07:33.460 --> 00:07:36.110
Той ще бъде отрицателен ъгъл, защото слизаме

00:07:36.110 --> 00:07:39.130
под оста x по посока на часовниковата стрелка.

00:07:39.130 --> 00:07:44.240
И за да го изчисля – нека просто начертая малък триъгълник тук.

00:07:44.240 --> 00:07:45.520
Нека избера по-добър цвят от това.

00:07:45.520 --> 00:07:48.040
Това е триъгълник.

00:07:48.040 --> 00:07:52.740
Нека го направя в този син цвят.

00:07:52.740 --> 00:07:56.270
Нека уголемя малко този триъгълник.

00:07:56.270 --> 00:07:58.540
Това е тита.

00:07:58.540 --> 00:08:00.660
А каква е тази дължина тук?

00:08:00.660 --> 00:08:02.860
Ами това е същото като дължината на у,

00:08:02.860 --> 00:08:03.890
можем така да я наречем.

00:08:03.890 --> 00:08:06.220
Която е корен квадратен от 3 върху 2.

00:08:06.220 --> 00:08:07.560
Това е минус, защото сме отдолу.

00:08:07.560 --> 00:08:08.850
Но нека да изчислим този ъгъл.

00:08:08.850 --> 00:08:11.960
Знаем, че е отрицателен ъгъл.

00:08:11.960 --> 00:08:14.540
Когато видиш корен квадратен от 3 върху 2, да се надяваме,

00:08:14.540 --> 00:08:16.870
че разпознаваш, че това е 30-60-90 триъгълник.

00:08:16.870 --> 00:08:17.980
Корен квадратен от 3 върху 2.

00:08:17.980 --> 00:08:19.950
Тази страна е 1/2.

00:08:19.950 --> 00:08:21.250
И тогава, разбира се, тази страна е 1.

00:08:21.250 --> 00:08:22.880
Защото това е единична окръжност.

00:08:22.880 --> 00:08:24.630
Така че нейният радиус е 1.

00:08:24.630 --> 00:08:27.415
И така, в един 30-60-90 триъгълник ъгълът, лежащ срещу

00:08:27.415 --> 00:08:30.500
корен квадратен от 3 върху 2, е 60 градуса.

00:08:30.500 --> 00:08:32.610
Този ъгъл тук е 30 градуса.

00:08:32.610 --> 00:08:35.030
Така че знаем, че нашият ъгъл тита е 60 градуса.

00:08:35.030 --> 00:08:37.360
Това е величината, но отива надолу,

00:08:37.360 --> 00:08:39.970
така че е -60 градуса.

00:08:39.970 --> 00:08:43.179
Тита е равен на -60 градуса.

00:08:43.179 --> 00:08:44.500
Но ако изчислявахме в радиани, това

00:08:44.500 --> 00:08:45.500
не е достатъчно добро.

00:08:45.500 --> 00:08:52.350
Така че можем да умножим това по π радиана

00:08:52.350 --> 00:08:54.540
за всеки 180 градуса.

00:08:54.540 --> 00:08:56.070
Градусите се съкращават.

00:08:56.070 --> 00:09:04.080
И ни остава тита е равно на -π/3 радиана.

00:09:04.090 --> 00:09:10.630
Сега можем да направим заключението, че

00:09:10.630 --> 00:09:16.210
аркуссинусът от минус корен квадратен от 3 върху 2

00:09:16.210 --> 00:09:19.980
е равен на -π/3 радиана.

00:09:19.980 --> 00:09:23.690
Или бихме могли да кажем, че обратната функция на синус от

00:09:23.690 --> 00:09:30.840
минус корен квадратен от 3 върху 2 е -π/3 радиана.

00:09:30.840 --> 00:09:35.350
И за да потвърдя това, нека просто извадя един калкулатор.

00:09:35.350 --> 00:09:39.410
Вече го настроих в режим за радиани.

00:09:39.410 --> 00:09:41.060
Да видим.

00:09:41.060 --> 00:09:43.040
В режим радиани съм.

00:09:43.040 --> 00:09:45.490
Знам, че ще получа, надявам се, правилния отговор.

00:09:45.490 --> 00:09:47.840
И искам да изчисля аркуссинус.

00:09:47.840 --> 00:09:51.610
Така че аркуссинус – втория до синус бутона –

00:09:51.610 --> 00:09:59.790
от минус корен квадратен от 3 върху 2.

00:09:59.790 --> 00:10:03.800
Това е равно на -1,04.

00:10:03.800 --> 00:10:11.040
Показва ми, че това е равно на -1,04 радиана.

00:10:11.040 --> 00:10:13.970
Така че π/3 трябва да бъде равно на 1,04.

00:10:13.970 --> 00:10:16.030
Нека видим дали мога да потвърдя това.

00:10:16.030 --> 00:10:25.180
Ако трябваше да напиша -π, делено на 3, какво ще получа?

00:10:25.180 --> 00:10:26.670
Получавам точно същата стойност.

00:10:26.670 --> 00:10:28.710
Моят калкулатор ми даде абсолютно същата стойност,

00:10:28.710 --> 00:10:31.360
но тя може да не е толкова полезна, защото калкулаторът ми

00:10:31.360 --> 00:10:34.520
не ми казва, че това е -π/3.