-
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność
wyrażeń: 15x, 20 i (x² + 5x).
-
Aby znaleźć najmniejszą
wspólną wielokrotność kilku liczb
-
rozbijamy je na najmniejsze dzielniki.
-
W przypadku zwykłych liczb,
nie zmiennych
-
tymi najmniejszymi dzielnikami
są czynniki pierwsze.
-
Gdy zaś mamy do czynienia
z takimi wyrażeniami
-
próbujemy je rozbić
na jak najprostsze elementy
-
bo nie da się ich rozłożyć
na czynniki pierwsze.
-
Spróbujmy.
-
W takim przypadku, najmniejszą
wspólną wielokrotnością
-
będzie najmniejsze wyrażenie
podzielne przez to wszystko
-
czyli mające wszystkie
elementy tych wyrażeń.
-
Rozbijmy każde z nich.
-
Wyrażenie 15x to jest to samo, co…
-
Jego rozkład to 15 × x.
-
A rozkład 15 na czynniki pierwsze to 3 × 5.
-
Obie te liczby są pierwsze.
-
Zatem pełny rozkład to:
3 × 5 × x
-
Liczbowy współczynnik rozbiliśmy
na czynniki pierwsze
-
natomiast ze zmienną x nie jesteśmy
w stanie nic więcej zrobić.
-
Nie wiemy, czy jest liczbą pierwszą,
bo to zmienna.
-
Potraktujmy tak samo 20.
-
20 da się rozłożyć na 2 i 10
-
a 10 da się rozłożyć na 2 i 5
-
więc rozkład 20 to 2 × 2 × 5.
-
To najzwyklejszy rozkład na czynniki.
-
Teraz x² + 5x.
-
x² + 5x
-
Możemy wydzielić z tego x, bo oba
składniki są podzielne przez x.
-
To się równa
x × (x + 5)
-
Bierzemy x z x² i zostaje x.
-
Bierzemy x z 5x i zostaje 5.
-
Zapiszmy więc: najmniejsza
wspólna wielokrotność…
-
to najmniejsza liczba
-
zawierająca wszystkie te
elementarne wyrażenia.
-
Wypiszmy najpierw liczby pierwsze,
a potem zmienne.
-
Musi zawierać co najmniej dwie dwójki,
które mamy tutaj.
-
Nie występują w innych
wyrażeniach, ale są tu.
-
Napiszmy je tym samym kolorem.
-
Musi zawierać dwie dwójki,
jeśli ma być podzielna przez 20.
-
Musi mieć też 5, ale to za chwilę.
-
A więc co najmniej dwie dwójki
-
oraz co najmniej jedną trójkę.
-
Musi zawierać jedną trójkę,
aby miała szansę być podzielna przez 15x.
-
Muszę dopisać co najmniej jedną trójkę.
-
Mamy załatwione te dwa.
-
Co najmniej jedna trójka.
-
Teraz 5.
-
Aby miała szansę być podzielna
przez 15x, musi mieć jedną piątkę
-
i aby miała szansę być podzielna
przez 20, też musi mieć jedną piątkę.
-
Więc co najmniej jedna piątka.
-
Ta jedna piątka zapewni podzielność
zarówno przez 15x, jak i przez 20
-
gdy będą tu wszystkie czynniki.
-
Ta liczba już dzieli się przez 20,
bo mamy 2 × 2 × 5.
-
Nie dzieli się jeszcze przez 15x,
bo jeszcze nie mamy x.
-
Ale dzieli się już przez 15,
bo mamy 3 × 5.
-
W tym wyrażeniu jest już 3 × 5.
-
Przejdźmy do zmiennej.
To wyrażenie ma tylko jedno x
-
więc aby zapewnić podzielność przez 15x
wystarczy dopisać tu jeden x.
-
To wyrażenie dzieli się już przez 15x,
bo zawiera 3 × 5 × x.
-
Dzieli się już też przez 20,
bo zawiera 2 × 2 × 5, czyli 20.
-
Czy dzieli się przez (x² + 5x)?
-
Zawiera już x, ale nie ma jeszcze (x + 5).
-
Dopiszę ten dzielnik na pomarańczowo.
-
Najmniejsza wspólna wielokrotność
musi też zawierać dzielnik (x + 5).
-
To nasza najmniejsza wspólna
wielokrotność. Uprośćmy ją.
-
2 razy 2 to 4,
4 razy 3 to 12
-
12 razy 5 to… 60
-
60 razy x to 60x
-
Zapiszmy: 60x razy…
-
(x + 5) w nawiasie.
-
Można to jeszcze uprościć.
-
60x(x + 5) to 60x²…
-
Po prostu mnożę 60x przez oba składniki.
-
…60x² plus… 60 razy 5 to 300, czyli 300x.
-
Obliczyliśmy najmniejszą wspólną
wielokrotność.
