WEBVTT 00:00:00.544 --> 00:00:06.860 Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność wyrażeń: 15x, 20 i (x² + 5x). 00:00:07.143 --> 00:00:10.957 Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb 00:00:11.057 --> 00:00:13.721 rozbijamy je na najmniejsze dzielniki. 00:00:13.821 --> 00:00:16.828 W przypadku zwykłych liczb, nie zmiennych 00:00:16.928 --> 00:00:21.287 tymi najmniejszymi dzielnikami są czynniki pierwsze. 00:00:21.387 --> 00:00:24.435 Gdy zaś mamy do czynienia z takimi wyrażeniami 00:00:24.535 --> 00:00:27.603 próbujemy je rozbić na jak najprostsze elementy 00:00:27.703 --> 00:00:30.711 bo nie da się ich rozłożyć na czynniki pierwsze. 00:00:30.811 --> 00:00:31.811 Spróbujmy. 00:00:31.911 --> 00:00:35.713 W takim przypadku, najmniejszą wspólną wielokrotnością 00:00:35.813 --> 00:00:39.830 będzie najmniejsze wyrażenie podzielne przez to wszystko 00:00:39.930 --> 00:00:42.454 czyli mające wszystkie elementy tych wyrażeń. 00:00:42.554 --> 00:00:44.170 Rozbijmy każde z nich. 00:00:44.270 --> 00:00:48.124 Wyrażenie 15x to jest to samo, co… 00:00:48.589 --> 00:00:51.938 Jego rozkład to 15 × x. 00:00:52.038 --> 00:00:56.741 A rozkład 15 na czynniki pierwsze to 3 × 5. 00:00:56.841 --> 00:00:59.222 Obie te liczby są pierwsze. 00:00:59.384 --> 00:01:04.449 Zatem pełny rozkład to: 3 × 5 × x 00:01:04.549 --> 00:01:09.096 Liczbowy współczynnik rozbiliśmy na czynniki pierwsze 00:01:09.196 --> 00:01:12.803 natomiast ze zmienną x nie jesteśmy w stanie nic więcej zrobić. 00:01:12.903 --> 00:01:15.769 Nie wiemy, czy jest liczbą pierwszą, bo to zmienna. 00:01:15.869 --> 00:01:17.827 Potraktujmy tak samo 20. 00:01:18.573 --> 00:01:22.427 20 da się rozłożyć na 2 i 10 00:01:22.527 --> 00:01:26.059 a 10 da się rozłożyć na 2 i 5 00:01:26.201 --> 00:01:30.620 więc rozkład 20 to 2 × 2 × 5. 00:01:30.720 --> 00:01:33.404 To najzwyklejszy rozkład na czynniki. 00:01:33.687 --> 00:01:36.270 Teraz x² + 5x. 00:01:36.370 --> 00:01:38.812 x² + 5x 00:01:38.912 --> 00:01:42.747 Możemy wydzielić z tego x, bo oba składniki są podzielne przez x. 00:01:42.847 --> 00:01:48.175 To się równa x × (x + 5) 00:01:48.397 --> 00:01:51.121 Bierzemy x z x² i zostaje x. 00:01:51.221 --> 00:01:55.237 Bierzemy x z 5x i zostaje 5. 00:01:55.337 --> 00:02:00.786 Zapiszmy więc: najmniejsza wspólna wielokrotność… 00:02:01.069 --> 00:02:03.914 to najmniejsza liczba 00:02:04.014 --> 00:02:08.454 zawierająca wszystkie te elementarne wyrażenia. 00:02:08.554 --> 00:02:11.723 Wypiszmy najpierw liczby pierwsze, a potem zmienne. 00:02:11.904 --> 00:02:15.738 Musi zawierać co najmniej dwie dwójki, które mamy tutaj. 00:02:15.838 --> 00:02:18.846 Nie występują w innych wyrażeniach, ale są tu. 00:02:19.451 --> 00:02:22.679 Napiszmy je tym samym kolorem. 00:02:22.800 --> 00:02:27.361 Musi zawierać dwie dwójki, jeśli ma być podzielna przez 20. 00:02:28.661 --> 00:02:29.661 Musi mieć też 5, ale to za chwilę. 00:02:29.761 --> 00:02:31.598 A więc co najmniej dwie dwójki 00:02:31.698 --> 00:02:34.342 oraz co najmniej jedną trójkę. 00:02:34.442 --> 00:02:39.064 Musi zawierać jedną trójkę, aby miała szansę być podzielna przez 15x. 00:02:39.164 --> 00:02:41.445 Muszę dopisać co najmniej jedną trójkę. 00:02:41.607 --> 00:02:43.201 Mamy załatwione te dwa. 00:02:43.301 --> 00:02:45.259 Co najmniej jedna trójka. 00:02:45.359 --> 00:02:46.913 Teraz 5. 00:02:47.013 --> 00:02:51.373 Aby miała szansę być podzielna przez 15x, musi mieć jedną piątkę 00:02:51.473 --> 00:02:55.731 i aby miała szansę być podzielna przez 20, też musi mieć jedną piątkę. 00:02:56.337 --> 00:02:58.576 Więc co najmniej jedna piątka. 00:02:58.676 --> 00:03:04.004 Ta jedna piątka zapewni podzielność zarówno przez 15x, jak i przez 20 00:03:04.104 --> 00:03:05.901 gdy będą tu wszystkie czynniki. 00:03:06.001 --> 00:03:10.219 Ta liczba już dzieli się przez 20, bo mamy 2 × 2 × 5. 00:03:10.319 --> 00:03:13.993 Nie dzieli się jeszcze przez 15x, bo jeszcze nie mamy x. 00:03:14.093 --> 00:03:17.907 Ale dzieli się już przez 15, bo mamy 3 × 5. 00:03:18.007 --> 00:03:20.147 W tym wyrażeniu jest już 3 × 5. 00:03:20.308 --> 00:03:24.606 Przejdźmy do zmiennej. To wyrażenie ma tylko jedno x 00:03:24.706 --> 00:03:29.086 więc aby zapewnić podzielność przez 15x wystarczy dopisać tu jeden x. 00:03:29.186 --> 00:03:34.998 To wyrażenie dzieli się już przez 15x, bo zawiera 3 × 5 × x. 00:03:35.098 --> 00:03:41.112 Dzieli się już też przez 20, bo zawiera 2 × 2 × 5, czyli 20. 00:03:41.596 --> 00:03:44.179 Czy dzieli się przez (x² + 5x)? 00:03:44.279 --> 00:03:48.437 Zawiera już x, ale nie ma jeszcze (x + 5). 00:03:48.537 --> 00:03:52.573 Dopiszę ten dzielnik na pomarańczowo. 00:03:52.673 --> 00:03:59.091 Najmniejsza wspólna wielokrotność musi też zawierać dzielnik (x + 5). 00:03:59.293 --> 00:04:04.377 To nasza najmniejsza wspólna wielokrotność. Uprośćmy ją. 00:04:04.680 --> 00:04:08.958 2 razy 2 to 4, 4 razy 3 to 12 00:04:09.058 --> 00:04:14.467 12 razy 5 to… 60 00:04:14.567 --> 00:04:17.291 60 razy x to 60x 00:04:17.391 --> 00:04:20.702 Zapiszmy: 60x razy… 00:04:20.802 --> 00:04:23.143 (x + 5) w nawiasie. 00:04:23.243 --> 00:04:24.757 Można to jeszcze uprościć. 00:04:24.857 --> 00:04:27.623 60x(x + 5) to 60x²… 00:04:27.723 --> 00:04:30.145 Po prostu mnożę 60x przez oba składniki. 00:04:30.427 --> 00:04:35.956 …60x² plus… 60 razy 5 to 300, czyli 300x. 00:04:36.056 --> 00:04:38.822 Obliczyliśmy najmniejszą wspólną wielokrotność.