1 00:00:00,544 --> 00:00:06,860 Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność wyrażeń: 15x, 20 i (x² + 5x). 2 00:00:07,143 --> 00:00:10,957 Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb 3 00:00:11,057 --> 00:00:13,721 rozbijamy je na najmniejsze dzielniki. 4 00:00:13,821 --> 00:00:16,828 W przypadku zwykłych liczb, nie zmiennych 5 00:00:16,928 --> 00:00:21,287 tymi najmniejszymi dzielnikami są czynniki pierwsze. 6 00:00:21,387 --> 00:00:24,435 Gdy zaś mamy do czynienia z takimi wyrażeniami 7 00:00:24,535 --> 00:00:27,603 próbujemy je rozbić na jak najprostsze elementy 8 00:00:27,703 --> 00:00:30,711 bo nie da się ich rozłożyć na czynniki pierwsze. 9 00:00:30,811 --> 00:00:31,811 Spróbujmy. 10 00:00:31,911 --> 00:00:35,713 W takim przypadku, najmniejszą wspólną wielokrotnością 11 00:00:35,813 --> 00:00:39,830 będzie najmniejsze wyrażenie podzielne przez to wszystko 12 00:00:39,930 --> 00:00:42,454 czyli mające wszystkie elementy tych wyrażeń. 13 00:00:42,554 --> 00:00:44,170 Rozbijmy każde z nich. 14 00:00:44,270 --> 00:00:48,124 Wyrażenie 15x to jest to samo, co… 15 00:00:48,589 --> 00:00:51,938 Jego rozkład to 15 × x. 16 00:00:52,038 --> 00:00:56,741 A rozkład 15 na czynniki pierwsze to 3 × 5. 17 00:00:56,841 --> 00:00:59,222 Obie te liczby są pierwsze. 18 00:00:59,384 --> 00:01:04,449 Zatem pełny rozkład to: 3 × 5 × x 19 00:01:04,549 --> 00:01:09,096 Liczbowy współczynnik rozbiliśmy na czynniki pierwsze 20 00:01:09,196 --> 00:01:12,803 natomiast ze zmienną x nie jesteśmy w stanie nic więcej zrobić. 21 00:01:12,903 --> 00:01:15,769 Nie wiemy, czy jest liczbą pierwszą, bo to zmienna. 22 00:01:15,869 --> 00:01:17,827 Potraktujmy tak samo 20. 23 00:01:18,573 --> 00:01:22,427 20 da się rozłożyć na 2 i 10 24 00:01:22,527 --> 00:01:26,059 a 10 da się rozłożyć na 2 i 5 25 00:01:26,201 --> 00:01:30,620 więc rozkład 20 to 2 × 2 × 5. 26 00:01:30,720 --> 00:01:33,404 To najzwyklejszy rozkład na czynniki. 27 00:01:33,687 --> 00:01:36,270 Teraz x² + 5x. 28 00:01:36,370 --> 00:01:38,812 x² + 5x 29 00:01:38,912 --> 00:01:42,747 Możemy wydzielić z tego x, bo oba składniki są podzielne przez x. 30 00:01:42,847 --> 00:01:48,175 To się równa x × (x + 5) 31 00:01:48,397 --> 00:01:51,121 Bierzemy x z x² i zostaje x. 32 00:01:51,221 --> 00:01:55,237 Bierzemy x z 5x i zostaje 5. 33 00:01:55,337 --> 00:02:00,786 Zapiszmy więc: najmniejsza wspólna wielokrotność… 34 00:02:01,069 --> 00:02:03,914 to najmniejsza liczba 35 00:02:04,014 --> 00:02:08,454 zawierająca wszystkie te elementarne wyrażenia. 36 00:02:08,554 --> 00:02:11,723 Wypiszmy najpierw liczby pierwsze, a potem zmienne. 37 00:02:11,904 --> 00:02:15,738 Musi zawierać co najmniej dwie dwójki, które mamy tutaj. 38 00:02:15,838 --> 00:02:18,846 Nie występują w innych wyrażeniach, ale są tu. 39 00:02:19,451 --> 00:02:22,679 Napiszmy je tym samym kolorem. 40 00:02:22,800 --> 00:02:27,361 Musi zawierać dwie dwójki, jeśli ma być podzielna przez 20. 41 00:02:28,661 --> 00:02:29,661 Musi mieć też 5, ale to za chwilę. 42 00:02:29,761 --> 00:02:31,598 A więc co najmniej dwie dwójki 43 00:02:31,698 --> 00:02:34,342 oraz co najmniej jedną trójkę. 44 00:02:34,442 --> 00:02:39,064 Musi zawierać jedną trójkę, aby miała szansę być podzielna przez 15x. 45 00:02:39,164 --> 00:02:41,445 Muszę dopisać co najmniej jedną trójkę. 46 00:02:41,607 --> 00:02:43,201 Mamy załatwione te dwa. 47 00:02:43,301 --> 00:02:45,259 Co najmniej jedna trójka. 48 00:02:45,359 --> 00:02:46,913 Teraz 5. 49 00:02:47,013 --> 00:02:51,373 Aby miała szansę być podzielna przez 15x, musi mieć jedną piątkę 50 00:02:51,473 --> 00:02:55,731 i aby miała szansę być podzielna przez 20, też musi mieć jedną piątkę. 51 00:02:56,337 --> 00:02:58,576 Więc co najmniej jedna piątka. 52 00:02:58,676 --> 00:03:04,004 Ta jedna piątka zapewni podzielność zarówno przez 15x, jak i przez 20 53 00:03:04,104 --> 00:03:05,901 gdy będą tu wszystkie czynniki. 54 00:03:06,001 --> 00:03:10,219 Ta liczba już dzieli się przez 20, bo mamy 2 × 2 × 5. 55 00:03:10,319 --> 00:03:13,993 Nie dzieli się jeszcze przez 15x, bo jeszcze nie mamy x. 56 00:03:14,093 --> 00:03:17,907 Ale dzieli się już przez 15, bo mamy 3 × 5. 57 00:03:18,007 --> 00:03:20,147 W tym wyrażeniu jest już 3 × 5. 58 00:03:20,308 --> 00:03:24,606 Przejdźmy do zmiennej. To wyrażenie ma tylko jedno x 59 00:03:24,706 --> 00:03:29,086 więc aby zapewnić podzielność przez 15x wystarczy dopisać tu jeden x. 60 00:03:29,186 --> 00:03:34,998 To wyrażenie dzieli się już przez 15x, bo zawiera 3 × 5 × x. 61 00:03:35,098 --> 00:03:41,112 Dzieli się już też przez 20, bo zawiera 2 × 2 × 5, czyli 20. 62 00:03:41,596 --> 00:03:44,179 Czy dzieli się przez (x² + 5x)? 63 00:03:44,279 --> 00:03:48,437 Zawiera już x, ale nie ma jeszcze (x + 5). 64 00:03:48,537 --> 00:03:52,573 Dopiszę ten dzielnik na pomarańczowo. 65 00:03:52,673 --> 00:03:59,091 Najmniejsza wspólna wielokrotność musi też zawierać dzielnik (x + 5). 66 00:03:59,293 --> 00:04:04,377 To nasza najmniejsza wspólna wielokrotność. Uprośćmy ją. 67 00:04:04,680 --> 00:04:08,958 2 razy 2 to 4, 4 razy 3 to 12 68 00:04:09,058 --> 00:04:14,467 12 razy 5 to… 60 69 00:04:14,567 --> 00:04:17,291 60 razy x to 60x 70 00:04:17,391 --> 00:04:20,702 Zapiszmy: 60x razy… 71 00:04:20,802 --> 00:04:23,143 (x + 5) w nawiasie. 72 00:04:23,243 --> 00:04:24,757 Można to jeszcze uprościć. 73 00:04:24,857 --> 00:04:27,623 60x(x + 5) to 60x²… 74 00:04:27,723 --> 00:04:30,145 Po prostu mnożę 60x przez oba składniki. 75 00:04:30,427 --> 00:04:35,956 …60x² plus… 60 razy 5 to 300, czyli 300x. 76 00:04:36,056 --> 00:04:38,822 Obliczyliśmy najmniejszą wspólną wielokrotność.