Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność wyrażeń: 15x, 20 i (x² + 5x).
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb
rozbijamy je na najmniejsze dzielniki.
W przypadku zwykłych liczb, nie zmiennych
tymi najmniejszymi dzielnikami są czynniki pierwsze.
Gdy zaś mamy do czynienia z takimi wyrażeniami
próbujemy je rozbić na jak najprostsze elementy
bo nie da się ich rozłożyć na czynniki pierwsze.
Spróbujmy.
W takim przypadku, najmniejszą wspólną wielokrotnością
będzie najmniejsze wyrażenie podzielne przez to wszystko
czyli mające wszystkie elementy tych wyrażeń.
Rozbijmy każde z nich.
Wyrażenie 15x to jest to samo, co…
Jego rozkład to 15 × x.
A rozkład 15 na czynniki pierwsze to 3 × 5.
Obie te liczby są pierwsze.
Zatem pełny rozkład to: 3 × 5 × x
Liczbowy współczynnik rozbiliśmy na czynniki pierwsze
natomiast ze zmienną x nie jesteśmy w stanie nic więcej zrobić.
Nie wiemy, czy jest liczbą pierwszą, bo to zmienna.
Potraktujmy tak samo 20.
20 da się rozłożyć na 2 i 10
a 10 da się rozłożyć na 2 i 5
więc rozkład 20 to 2 × 2 × 5.
To najzwyklejszy rozkład na czynniki.
Teraz x² + 5x.
x² + 5x
Możemy wydzielić z tego x, bo oba składniki są podzielne przez x.
To się równa x × (x + 5)
Bierzemy x z x² i zostaje x.
Bierzemy x z 5x i zostaje 5.
Zapiszmy więc: najmniejsza wspólna wielokrotność…
to najmniejsza liczba
zawierająca wszystkie te elementarne wyrażenia.
Wypiszmy najpierw liczby pierwsze, a potem zmienne.
Musi zawierać co najmniej dwie dwójki, które mamy tutaj.
Nie występują w innych wyrażeniach, ale są tu.
Napiszmy je tym samym kolorem.
Musi zawierać dwie dwójki, jeśli ma być podzielna przez 20.
Musi mieć też 5, ale to za chwilę.
A więc co najmniej dwie dwójki
oraz co najmniej jedną trójkę.
Musi zawierać jedną trójkę, aby miała szansę być podzielna przez 15x.
Muszę dopisać co najmniej jedną trójkę.
Mamy załatwione te dwa.
Co najmniej jedna trójka.
Teraz 5.
Aby miała szansę być podzielna przez 15x, musi mieć jedną piątkę
i aby miała szansę być podzielna przez 20, też musi mieć jedną piątkę.
Więc co najmniej jedna piątka.
Ta jedna piątka zapewni podzielność zarówno przez 15x, jak i przez 20
gdy będą tu wszystkie czynniki.
Ta liczba już dzieli się przez 20, bo mamy 2 × 2 × 5.
Nie dzieli się jeszcze przez 15x, bo jeszcze nie mamy x.
Ale dzieli się już przez 15, bo mamy 3 × 5.
W tym wyrażeniu jest już 3 × 5.
Przejdźmy do zmiennej. To wyrażenie ma tylko jedno x
więc aby zapewnić podzielność przez 15x wystarczy dopisać tu jeden x.
To wyrażenie dzieli się już przez 15x, bo zawiera 3 × 5 × x.
Dzieli się już też przez 20, bo zawiera 2 × 2 × 5, czyli 20.
Czy dzieli się przez (x² + 5x)?
Zawiera już x, ale nie ma jeszcze (x + 5).
Dopiszę ten dzielnik na pomarańczowo.
Najmniejsza wspólna wielokrotność musi też zawierać dzielnik (x + 5).
To nasza najmniejsza wspólna wielokrotność. Uprośćmy ją.
2 razy 2 to 4, 4 razy 3 to 12
12 razy 5 to… 60
60 razy x to 60x
Zapiszmy: 60x razy…
(x + 5) w nawiasie.
Można to jeszcze uprościć.
60x(x + 5) to 60x²…
Po prostu mnożę 60x przez oba składniki.
…60x² plus… 60 razy 5 to 300, czyli 300x.
Obliczyliśmy najmniejszą wspólną wielokrotność.