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Trouvez le plus petit commun multiple entre
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15x, 20 et (x carré + 5x)
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Quand on essaie de trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres
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le but est de les décomposer en plus petites "parties communes" possible.
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Si on travaille avec des données numériques (donc pas des variables), ces plus petites "parties communes" sont les nombres premiers.
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Par contre si vous vous occupez d'expressions qui contiennent des variables, il faut les factoriser le plus possible.
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Essayons de faire cela.
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Le plus petit commun multiple doit juste être
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le plus petit nombre qui est multiple de chacune des trois expressions à la fois.
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Factorisons donc ces expressions.
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Premièrement, l'expression 15x est identique à 15 fois x
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et on sait que 15 correspond à 3 fois 5.
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3 et 5 sont tous les deux des nombres premiers.
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On peut donc décomposer 15x en 3 fois 5 fois x.
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Nous avons donc décomposé le coefficient (15) en nombres premiers
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et en ce qui concerne x, on ne peut pas plus le factoriser.
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On ne sait pas encore si x est un nombre premier ou pas
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puisque c'est une variable.
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Faisons la même chose pour 20.
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Nous pouvons décomposer 20 en 2 fois 10.
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Or 10 peut être décomposé en 2 fois 5.
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Donc 20 est égal à 2 fois 2 fois 5.
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Nous avons donc décomposé 20 en facteurs premiers.
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Maintenant occupons nous de x carré + 5x.
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On peut mettre x en évidence puisque les deux termes (x carré et 5x) sont chacun divisibles par x,
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ce qui nous donne x fois (x+5)
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(puisque x fois x nous donne x carré et x fois 5 nous donne 5x).
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Le plus petit commun multiple doit donc être
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le plus petit nombre qui comporte tous ces facteurs.
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Laissez moi vous expliquer, en partant du plus petit nombre au plus grand puis en m'attaquant aux variables:
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Ce nombre (le PPCM) doit avoir au moins deux 2, un 3, un 5 (ce qui entre autres permettra que ce PPCM soit à la fois divisible par 15x et 20), ensuite passons aux variables:
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La forme décomposée de 15x possède un x, le PPCM comportera donc un x.
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Maintenant regardons si le PPCM (qui s'écrit LCM en anglais) est déjà divisible par toutes nos expressions.
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15x? Le PPCM est déjà divisible par 15x (puisqu'il comporte 3, 5 et x dans ses facteurs).
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20? Le PPCM est déjà divisible par 20 (puisqu'il comporte 2, 2 et 5 dans ses facteurs).
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(x carré + 5x)? Le PPCM a déjà un x dans ses facteurs mais il n'a pas encore d'expression (x+5) dans ses facteurs.
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On rajoute donc le facteur (x+5) dans le PPCM.
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Voici donc le plus petit commun multiple de ces trois expressions, qui nous donne 60x.(x+5) si on effectue
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la multiplication. Ce qui nous donne 60 x carrés + 300x si on le développe totalement.
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Le PPCM est donc 60x carrés + 300x.
