0:00:00.000,0:00:02.836
Trouvez le plus petit commun multiple entre

0:00:02.836,0:00:06.672
15x, 20 et (x carré + 5x)

0:00:06.672,0:00:10.370
Quand on essaie de trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres

0:00:10.370,0:00:14.176
le but est de les décomposer en plus petites "parties communes" possible.

0:00:14.176,0:00:21.970
Si on travaille avec des données numériques (donc pas des variables), ces plus petites "parties communes" sont les nombres premiers.

0:00:21.970,0:00:31.624
Par contre si vous vous occupez d'expressions qui contiennent des variables, il faut les factoriser le plus possible.

0:00:31.624,0:00:33.792
Essayons de faire cela.

0:00:33.792,0:00:35.821
Le plus petit commun multiple doit juste être

0:00:35.821,0:00:42.969
le plus petit nombre qui est multiple de chacune des trois expressions à la fois.

0:00:42.969,0:00:45.084
Factorisons donc ces expressions.

0:00:45.084,0:00:51.703
Premièrement, l'expression 15x est identique à 15 fois x

0:00:51.703,0:00:58.000
et on sait que 15 correspond à 3 fois 5.

0:00:58.000,0:01:00.278
3 et 5 sont tous les deux des nombres premiers.

0:01:00.278,0:01:07.967
On peut donc décomposer 15x en 3 fois 5 fois x.

0:01:07.967,0:01:10.102
Nous avons donc décomposé le coefficient (15) en nombres premiers

0:01:10.102,0:01:12.503
et en ce qui concerne x, on ne peut pas plus le factoriser.

0:01:12.503,0:01:14.902
On ne sait pas encore si x est un nombre premier ou pas

0:01:14.902,0:01:17.115
puisque c'est une variable.

0:01:17.115,0:01:20.103
Faisons la même chose pour 20.

0:01:20.103,0:01:22.922
Nous pouvons décomposer 20 en 2 fois 10.

0:01:22.922,0:01:26.237
Or 10 peut être décomposé en 2 fois 5.

0:01:26.237,0:01:30.304
Donc 20 est égal à 2 fois 2 fois 5.

0:01:30.304,0:01:34.170
Nous avons donc décomposé 20 en facteurs premiers.

0:01:34.170,0:01:39.599
Maintenant occupons nous de x carré + 5x.

0:01:39.708,0:01:42.492
On peut mettre x en évidence puisque les deux termes (x carré et 5x) sont chacun divisibles par x,

0:01:43.101,0:01:48.637
ce qui nous donne x fois (x+5)

0:01:48.637,0:01:56.303
(puisque x fois x nous donne x carré et x fois 5 nous donne 5x).

0:01:56.303,0:02:02.902
Le plus petit commun multiple doit donc être

0:02:02.902,0:02:09.237
le plus petit nombre qui comporte tous ces facteurs.

0:02:09.237,0:02:12.785
Laissez moi vous expliquer, en partant du plus petit nombre au plus grand puis en m'attaquant aux variables:

0:02:12.785,0:03:21.836
Ce nombre (le PPCM) doit avoir au moins deux 2, un 3, un 5 (ce qui entre autres permettra que ce PPCM soit à la fois divisible par 15x et 20), ensuite passons aux variables:

0:03:21.836,0:03:31.104
La forme décomposée de 15x possède un x, le PPCM comportera donc un x.

0:03:31.104,0:03:33.302
Maintenant regardons si le PPCM (qui s'écrit LCM en anglais) est déjà divisible par toutes nos expressions.

0:03:33.302,0:03:36.438
15x? Le PPCM est déjà divisible par 15x (puisqu'il comporte 3, 5 et x dans ses facteurs).

0:03:36.438,0:03:41.037
20? Le PPCM est déjà divisible par 20 (puisqu'il comporte 2, 2 et 5 dans ses facteurs).

0:03:41.037,0:03:52.223
(x carré + 5x)? Le PPCM a déjà un x dans ses facteurs mais il n'a pas encore d'expression (x+5) dans ses facteurs.

0:03:52.223,0:03:59.730
On rajoute donc le facteur (x+5) dans le PPCM.

0:03:59.730,0:04:23.986
Voici donc le plus petit commun multiple de ces trois expressions, qui nous donne 60x.(x+5) si on effectue

0:04:23.986,0:04:36.037
la multiplication. Ce qui nous donne 60 x carrés + 300x si on le développe totalement.

0:04:36.037,0:04:40.000
Le PPCM est donc 60x carrés + 300x.