1
00:00:00,000 --> 00:00:02,836
Trouvez le plus petit commun multiple entre

2
00:00:02,836 --> 00:00:06,672
15x, 20 et (x carré + 5x)

3
00:00:06,672 --> 00:00:10,370
Quand on essaie de trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres

4
00:00:10,370 --> 00:00:14,176
le but est de les décomposer en plus petites "parties communes" possible.

5
00:00:14,176 --> 00:00:21,970
Si on travaille avec des données numériques (donc pas des variables), ces plus petites "parties communes" sont les nombres premiers.

6
00:00:21,970 --> 00:00:31,624
Par contre si vous vous occupez d'expressions qui contiennent des variables, il faut les factoriser le plus possible.

7
00:00:31,624 --> 00:00:33,792
Essayons de faire cela.

8
00:00:33,792 --> 00:00:35,821
Le plus petit commun multiple doit juste être

9
00:00:35,821 --> 00:00:42,969
le plus petit nombre qui est multiple de chacune des trois expressions à la fois.

10
00:00:42,969 --> 00:00:45,084
Factorisons donc ces expressions.

11
00:00:45,084 --> 00:00:51,703
Premièrement, l'expression 15x est identique à 15 fois x

12
00:00:51,703 --> 00:00:58,000
et on sait que 15 correspond à 3 fois 5.

13
00:00:58,000 --> 00:01:00,278
3 et 5 sont tous les deux des nombres premiers.

14
00:01:00,278 --> 00:01:07,967
On peut donc décomposer 15x en 3 fois 5 fois x.

15
00:01:07,967 --> 00:01:10,102
Nous avons donc décomposé le coefficient (15) en nombres premiers

16
00:01:10,102 --> 00:01:12,503
et en ce qui concerne x, on ne peut pas plus le factoriser.

17
00:01:12,503 --> 00:01:14,902
On ne sait pas encore si x est un nombre premier ou pas

18
00:01:14,902 --> 00:01:17,115
puisque c'est une variable.

19
00:01:17,115 --> 00:01:20,103
Faisons la même chose pour 20.

20
00:01:20,103 --> 00:01:22,922
Nous pouvons décomposer 20 en 2 fois 10.

21
00:01:22,922 --> 00:01:26,237
Or 10 peut être décomposé en 2 fois 5.

22
00:01:26,237 --> 00:01:30,304
Donc 20 est égal à 2 fois 2 fois 5.

23
00:01:30,304 --> 00:01:34,170
Nous avons donc décomposé 20 en facteurs premiers.

24
00:01:34,170 --> 00:01:39,599
Maintenant occupons nous de x carré + 5x.

25
00:01:39,708 --> 00:01:42,492
On peut mettre x en évidence puisque les deux termes (x carré et 5x) sont chacun divisibles par x,

26
00:01:43,101 --> 00:01:48,637
ce qui nous donne x fois (x+5)

27
00:01:48,637 --> 00:01:56,303
(puisque x fois x nous donne x carré et x fois 5 nous donne 5x).

28
00:01:56,303 --> 00:02:02,902
Le plus petit commun multiple doit donc être

29
00:02:02,902 --> 00:02:09,237
le plus petit nombre qui comporte tous ces facteurs.

30
00:02:09,237 --> 00:02:12,785
Laissez moi vous expliquer, en partant du plus petit nombre au plus grand puis en m'attaquant aux variables:

31
00:02:12,785 --> 00:03:21,836
Ce nombre (le PPCM) doit avoir au moins deux 2, un 3, un 5 (ce qui entre autres permettra que ce PPCM soit à la fois divisible par 15x et 20), ensuite passons aux variables:

32
00:03:21,836 --> 00:03:31,104
La forme décomposée de 15x possède un x, le PPCM comportera donc un x.

33
00:03:31,104 --> 00:03:33,302
Maintenant regardons si le PPCM (qui s'écrit LCM en anglais) est déjà divisible par toutes nos expressions.

34
00:03:33,302 --> 00:03:36,438
15x? Le PPCM est déjà divisible par 15x (puisqu'il comporte 3, 5 et x dans ses facteurs).

35
00:03:36,438 --> 00:03:41,037
20? Le PPCM est déjà divisible par 20 (puisqu'il comporte 2, 2 et 5 dans ses facteurs).

36
00:03:41,037 --> 00:03:52,223
(x carré + 5x)? Le PPCM a déjà un x dans ses facteurs mais il n'a pas encore d'expression (x+5) dans ses facteurs.

37
00:03:52,223 --> 00:03:59,730
On rajoute donc le facteur (x+5) dans le PPCM.

38
00:03:59,730 --> 00:04:23,986
Voici donc le plus petit commun multiple de ces trois expressions, qui nous donne 60x.(x+5) si on effectue

39
00:04:23,986 --> 00:04:36,037
la multiplication. Ce qui nous donne 60 x carrés + 300x si on le développe totalement.

40
00:04:36,037 --> 00:04:40,000
Le PPCM est donc 60x carrés + 300x.