Trouvez le plus petit commun multiple entre
15x, 20 et (x carré + 5x)
Quand on essaie de trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres
le but est de les décomposer en plus petites "parties communes" possible.
Si on travaille avec des données numériques (donc pas des variables), ces plus petites "parties communes" sont les nombres premiers.
Par contre si vous vous occupez d'expressions qui contiennent des variables, il faut les factoriser le plus possible.
Essayons de faire cela.
Le plus petit commun multiple doit juste être
le plus petit nombre qui est multiple de chacune des trois expressions à la fois.
Factorisons donc ces expressions.
Premièrement, l'expression 15x est identique à 15 fois x
et on sait que 15 correspond à 3 fois 5.
3 et 5 sont tous les deux des nombres premiers.
On peut donc décomposer 15x en 3 fois 5 fois x.
Nous avons donc décomposé le coefficient (15) en nombres premiers
et en ce qui concerne x, on ne peut pas plus le factoriser.
On ne sait pas encore si x est un nombre premier ou pas
puisque c'est une variable.
Faisons la même chose pour 20.
Nous pouvons décomposer 20 en 2 fois 10.
Or 10 peut être décomposé en 2 fois 5.
Donc 20 est égal à 2 fois 2 fois 5.
Nous avons donc décomposé 20 en facteurs premiers.
Maintenant occupons nous de x carré + 5x.
On peut mettre x en évidence puisque les deux termes (x carré et 5x) sont chacun divisibles par x,
ce qui nous donne x fois (x+5)
(puisque x fois x nous donne x carré et x fois 5 nous donne 5x).
Le plus petit commun multiple doit donc être
le plus petit nombre qui comporte tous ces facteurs.
Laissez moi vous expliquer, en partant du plus petit nombre au plus grand puis en m'attaquant aux variables:
Ce nombre (le PPCM) doit avoir au moins deux 2, un 3, un 5 (ce qui entre autres permettra que ce PPCM soit à la fois divisible par 15x et 20), ensuite passons aux variables:
La forme décomposée de 15x possède un x, le PPCM comportera donc un x.
Maintenant regardons si le PPCM (qui s'écrit LCM en anglais) est déjà divisible par toutes nos expressions.
15x? Le PPCM est déjà divisible par 15x (puisqu'il comporte 3, 5 et x dans ses facteurs).
20? Le PPCM est déjà divisible par 20 (puisqu'il comporte 2, 2 et 5 dans ses facteurs).
(x carré + 5x)? Le PPCM a déjà un x dans ses facteurs mais il n'a pas encore d'expression (x+5) dans ses facteurs.
On rajoute donc le facteur (x+5) dans le PPCM.
Voici donc le plus petit commun multiple de ces trois expressions, qui nous donne 60x.(x+5) si on effectue
la multiplication. Ce qui nous donne 60 x carrés + 300x si on le développe totalement.
Le PPCM est donc 60x carrés + 300x.