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L'Hopital's Rule Example 3

  • 0:01 - 0:09
    我们想求出随着x接近1时，表达式x/x-1
  • 0:09 - 0:18
    乘上1/ln x的极限值
  • 0:18 - 0:21
    所以让我们看下当我们仅是输入1时
  • 0:21 - 0:25
    会发生什么
  • 0:25 - 0:30
    好，接着我们在此处得到1，1-1
  • 0:30 - 0:35
    所以我们会得到1/0减去
  • 0:35 - 0:38
    1除以，1的自然对数是多少呢
  • 0:38 - 0:40
    e的几次方等于1呢
  • 0:40 - 0:43
    任何数的零次幂都为1，所以e的零次幂也为1
  • 0:43 - 0:48
    所以1的自然对数值为
  • 0:48 - 0:49
    0
  • 0:49 - 0:54
    所以我们得到了奇怪且无解的1/0-1/0
  • 0:54 - 0:56
    这是一种奇怪的无解形式
  • 0:56 - 1:00
    但这并不是我们在l'Hopital's rule 中看到的无解形式
  • 1:00 - 1:04
    我们不会求出0/0，也不会求出∞/∞
  • 1:04 - 1:07
    所以你也许会说，好吧，这不是一个l'Hopital 法则的问题
  • 1:07 - 1:10
    我们须以另一种方式将此题解出
  • 1:10 - 1:13
    不要放弃呀
  • 1:13 - 1:17
    也许我们可以以某种代数的方式改写这个式子
  • 1:17 - 1:20
    以使其变化为l'Hopital 的不确定形式
  • 1:20 - 1:23
    接着我们就可将之直接运用了
  • 1:23 - 1:25
    为了将之解决，让我们看看如果将这两式相加
  • 1:25 - 1:26
    又会如何呢
  • 1:26 - 1:30
    所以如果我将这两式相加
  • 1:30 - 1:37
    分母将为（x-1）*ln x
  • 1:37 - 1:39
    我仅是将这两式相乘
  • 1:39 - 1:43
    接着分子将为
  • 1:43 - 1:46
    好的，如果我将这整个式子同时乘上ln x
  • 1:46 - 1:51
    所以分子将为x*ln x
  • 1:51 - 1:53
    这个式子我将其整体乘以（x-1）
  • 1:53 - 1:59
    那么即为-（x-1）
  • 1:59 - 2:04
    你可以将之拆分（验证），并发现其与原式一致
  • 2:04 - 2:10
    那么在这边，x/x-1,由于ln x消掉了
  • 2:10 - 2:12
    让我们将其搁一边
  • 2:12 - 2:22
    那么这边就是-1/ln x由于（x-1）被消掉了
  • 2:22 - 2:25
    希望你理解了关于我处理这两表达式的用意
  • 2:25 - 2:29
    所以借此入手，我们看下取x为1时
  • 2:29 - 2:32
    此式会如何变化呢
  • 2:32 - 2:33
    因为这些式子是相同的
  • 2:33 - 2:35
    所以我们得到什么了吗
  • 2:35 - 2:36
    我们得到了1*ln 1
  • 2:36 - 2:39
    由于ln 1的值为0所以我们就得到了0
  • 2:39 - 2:47
    减去0，所以原式值为0
  • 2:47 - 2:51
    所以我们有了0作为分子
  • 2:51 - 2:56
    并且在分母中，我们求出了1-1，值为零乘上
  • 2:56 - 3:00
    ln 1， 其值也为0，故分母值也为0
  • 3:00 - 3:05
    我们得到了应用l'Hopital法则所需的不定形式
  • 3:05 - 3:07
    假设我们求出了它的导数
  • 3:07 - 3:09
    求出极限所在的导数
  • 3:09 - 3:11
    让我们试着做一下
  • 3:11 - 3:15
    这将等于
  • 3:15 - 3:19
    x到1的极限
  • 3:19 - 3:22
    让我们用品红色将其导数写出
  • 3:22 - 3:26
    我将取这个分子的导数
  • 3:26 - 3:29
    所以对第一项，让我们做乘积法则
  • 3:29 - 3:33
    x的导数是1，接着乘上x的自然对数
  • 3:33 - 3:36
    第一项的导数乘
  • 3:36 - 3:37
    第二项
  • 3:37 - 3:40
    接着我们要加上第二项的导数
  • 3:40 - 3:44
    加上1/x，乘上第一项
  • 3:44 - 3:45
    这就是乘积法则
  • 3:45 - 3:48
    所以1/x乘上x，让我们看下，就是1
  • 3:48 - 3:54
    接着我们求-（x-1）的导数
  • 3:54 - 3:58
    x-1的导数就是1
  • 3:58 - 4:01
    所以我们得到-1
  • 4:01 - 4:09
    接着分子除以分母的的导数
  • 4:09 - 4:11
    所以我们来求导
  • 4:11 - 4:17
    第一项为x-1，则其导数为1
  • 4:17 - 4:20
    乘上第二项的x的自然对数
  • 4:20 - 4:24
    x的自然对数的导数
  • 4:24 - 4:28
    是1/x乘上x-1
  • 4:32 - 4:34
    我想我们可以将其简化一下
  • 4:34 - 4:37
    1/x乘x得1
  • 4:37 - 4:39
    我们将从中减去1
  • 4:39 - 4:41
    所以这些都消掉了，就在这
  • 4:41 - 4:46
    所以整个表达式可写为，随着x趋于1
  • 4:46 - 4:51
    分子是x的自然对数
  • 4:51 - 4:57
    用红笔写出来了，分母则是
  • 4:57 - 5:04
    x的自然对数加上（x-1）/x
  • 5:04 - 5:05
    所以让我们求出此极限的值
  • 5:05 - 5:09
    当x的值为1时
  • 5:09 - 5:14
    1的自然对数为0
  • 5:14 - 5:20
    在这，我们得到了1的自然对数为0
  • 5:20 - 5:28
    紧接着是1-1/1
  • 5:28 - 5:29
    又是一个0
  • 5:29 - 5:30
    1-1为0
  • 5:30 - 5:31
    所以你将有0+0
  • 5:31 - 5:36
    你有得到了0/0
  • 5:36 - 5:38
    所以让我们再度应用l'Hopital法则
  • 5:38 - 5:40
    让我们求它的导数
  • 5:40 - 5:41
    除以它的导数
  • 5:41 - 5:44
    所以如果我们想取极值，
  • 5:44 - 5:52
    等于，当x到达1时，分子的导数
  • 5:52 - 5:56
    1/x，是的，x的自然对数的导数的值为
  • 5:56 - 6:00
    1/x除以分母的导数
  • 6:00 - 6:01
    那将是多少呢
  • 6:01 - 6:07
    x的自然对数的导数为1/x加上
  • 6:07 - 6:10
    （x-1）/x的导数
  • 6:10 - 6:13
    你可以这样想，1/x乘x
  • 6:13 - 6:17
    好吧，x到负1的导数，我们将取
  • 6:17 - 6:19
    第一个数的一乘以第二个数的导数，以及
  • 6:19 - 6:21
    然后是第二个导数乘上
  • 6:21 - 6:22
    第一个数
  • 6:22 - 6:25
    因此，第一项的导数，x 到负 1，是
  • 6:25 - 6:30
    负x的-2次方乘上第二项，
  • 6:30 - 6:35
    x-1，加上第二项的导数，
  • 6:35 - 6:40
    就是1乘上第一项，1/x
  • 6:40 - 6:46
    所以这将等于
  • 6:47 - 6:49
    我讲到哪了？
  • 6:49 - 6:51
    哦我们正在化简原式呢
  • 6:51 - 6:52
    让我们用上l'Hopital法则
  • 6:52 - 6:58
    所以这将等于
  • 6:58 - 7:02
    如果我们使x的值为1
  • 7:02 - 7:06
    整个分子值为1/1，就是1了
  • 7:06 - 7:09
    所以我们绝对不会得到一个无穷大或0/0
  • 7:09 - 7:11
    分母的值将为
  • 7:11 - 7:13
    如果你取x的值为1，那么就是1/1，
  • 7:13 - 7:18
    加上-1到-2
  • 7:18 - 7:21
    或者你可以说，-1到-2就是1，所以是1
  • 7:21 - 7:22
    只不过是负的罢了
  • 7:22 - 7:25
    但是接着你将其乘1再减1
  • 7:25 - 7:27
    就得到0，所以整项都消去了
  • 7:27 - 7:30
    接着你加上另一个1/1，
  • 7:30 - 7:34
    所以整个式子将为1/2
  • 7:34 - 7:35
    你解出来了
  • 7:35 - 7:38
    通过L'Hopital法则，我们求出了一个
  • 7:38 - 7:39
    并不会得出0/0结果的式子
  • 7:39 - 7:40
    的值
  • 7:40 - 7:44
    我们就乘入了两项并分别得求分子与分母
  • 7:44 - 7:46
    的导数，求了两次
  • 7:46 - 7:49
    最终我们得到了极值
Title:
L'Hopital's Rule Example 3
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:50

Chinese, Simplified subtitles

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