WEBVTT

00:00:00.510 --> 00:00:09.250
我们想求出随着x接近1时，表达式x/x-1

00:00:09.250 --> 00:00:18.110
乘上1/ln x的极限值

00:00:18.110 --> 00:00:21.230
所以让我们看下当我们仅是输入1时

00:00:21.230 --> 00:00:24.630
会发生什么

00:00:24.630 --> 00:00:30.050
好，接着我们在此处得到1，1-1

00:00:30.050 --> 00:00:35.040
所以我们会得到1/0减去

00:00:35.040 --> 00:00:37.520
1除以，1的自然对数是多少呢

00:00:37.520 --> 00:00:40.250
e的几次方等于1呢

00:00:40.250 --> 00:00:43.140
任何数的零次幂都为1，所以e的零次幂也为1

00:00:43.140 --> 00:00:47.727
所以1的自然对数值为

00:00:47.727 --> 00:00:49.350
0

00:00:49.350 --> 00:00:54.300
所以我们得到了奇怪且无解的1/0-1/0

00:00:54.300 --> 00:00:56.370
这是一种奇怪的无解形式

00:00:56.370 --> 00:00:59.880
但这并不是我们在l'Hopital's rule 中看到的无解形式

00:00:59.880 --> 00:01:03.750
我们不会求出0/0，也不会求出∞/∞

00:01:03.750 --> 00:01:07.150
所以你也许会说，好吧，这不是一个l'Hopital 法则的问题

00:01:07.150 --> 00:01:09.910
我们须以另一种方式将此题解出

00:01:09.910 --> 00:01:13.210
不要放弃呀

00:01:13.210 --> 00:01:16.880
也许我们可以以某种代数的方式改写这个式子

00:01:16.880 --> 00:01:20.380
以使其变化为l'Hopital 的不确定形式

00:01:20.380 --> 00:01:23.040
接着我们就可将之直接运用了

00:01:23.040 --> 00:01:24.790
为了将之解决，让我们看看如果将这两式相加

00:01:24.790 --> 00:01:26.470
又会如何呢

00:01:26.470 --> 00:01:29.865
所以如果我将这两式相加

00:01:29.865 --> 00:01:36.850
分母将为（x-1）*ln x

00:01:36.850 --> 00:01:38.740
我仅是将这两式相乘

00:01:38.740 --> 00:01:43.420
接着分子将为

00:01:43.420 --> 00:01:46.436
好的，如果我将这整个式子同时乘上ln x

00:01:46.436 --> 00:01:51.317
所以分子将为x*ln x

00:01:51.317 --> 00:01:52.930
这个式子我将其整体乘以（x-1）

00:01:52.930 --> 00:01:58.505
那么即为-（x-1）

00:01:58.510 --> 00:02:03.850
你可以将之拆分（验证），并发现其与原式一致

00:02:03.900 --> 00:02:10.310
那么在这边，x/x-1,由于ln x消掉了

00:02:10.310 --> 00:02:12.220
让我们将其搁一边

00:02:12.220 --> 00:02:21.510
那么这边就是-1/ln x由于（x-1）被消掉了

00:02:21.510 --> 00:02:25.120
希望你理解了关于我处理这两表达式的用意

00:02:25.120 --> 00:02:29.110
所以借此入手，我们看下取x为1时

00:02:29.110 --> 00:02:31.600
此式会如何变化呢

00:02:31.600 --> 00:02:33.010
因为这些式子是相同的

00:02:33.010 --> 00:02:35.320
所以我们得到什么了吗

00:02:35.320 --> 00:02:36.360
我们得到了1*ln 1

00:02:36.360 --> 00:02:38.810
由于ln 1的值为0所以我们就得到了0

00:02:38.810 --> 00:02:47.200
减去0，所以原式值为0

00:02:47.200 --> 00:02:51.000
所以我们有了0作为分子

00:02:51.000 --> 00:02:55.570
并且在分母中，我们求出了1-1，值为零乘上

00:02:55.570 --> 00:03:00.100
ln 1， 其值也为0，故分母值也为0

00:03:00.100 --> 00:03:04.940
我们得到了应用l'Hopital法则所需的不定形式

00:03:04.940 --> 00:03:07.110
假设我们求出了它的导数

00:03:07.110 --> 00:03:09.360
求出极限所在的导数

00:03:09.360 --> 00:03:11.130
让我们试着做一下

00:03:11.130 --> 00:03:15.340
这将等于

00:03:15.340 --> 00:03:19.200
x到1的极限

00:03:19.200 --> 00:03:22.490
让我们用品红色将其导数写出

00:03:22.490 --> 00:03:26.190
我将取这个分子的导数

00:03:26.190 --> 00:03:28.590
所以对第一项，让我们做乘积法则

00:03:28.590 --> 00:03:32.970
x的导数是1，接着乘上x的自然对数

00:03:32.970 --> 00:03:35.920
第一项的导数乘

00:03:35.920 --> 00:03:36.930
第二项

00:03:36.930 --> 00:03:39.570
接着我们要加上第二项的导数

00:03:39.570 --> 00:03:43.820
加上1/x，乘上第一项

00:03:43.820 --> 00:03:45.330
这就是乘积法则

00:03:45.330 --> 00:03:47.920
所以1/x乘上x，让我们看下，就是1

00:03:47.920 --> 00:03:54.390
接着我们求-（x-1）的导数

00:03:54.390 --> 00:03:58.450
x-1的导数就是1

00:03:58.450 --> 00:04:01.090
所以我们得到-1

00:04:01.090 --> 00:04:08.710
接着分子除以分母的的导数

00:04:08.710 --> 00:04:11.340
所以我们来求导

00:04:11.340 --> 00:04:16.600
第一项为x-1，则其导数为1

00:04:16.600 --> 00:04:20.330
乘上第二项的x的自然对数

00:04:20.330 --> 00:04:23.520
x的自然对数的导数

00:04:23.520 --> 00:04:28.350
是1/x乘上x-1

00:04:32.140 --> 00:04:34.240
我想我们可以将其简化一下

00:04:34.240 --> 00:04:37.270
1/x乘x得1

00:04:37.270 --> 00:04:38.580
我们将从中减去1

00:04:38.580 --> 00:04:40.910
所以这些都消掉了，就在这

00:04:40.910 --> 00:04:45.710
所以整个表达式可写为，随着x趋于1

00:04:45.710 --> 00:04:51.260
分子是x的自然对数

00:04:51.260 --> 00:04:57.160
用红笔写出来了，分母则是

00:04:57.160 --> 00:05:03.600
x的自然对数加上（x-1）/x

00:05:03.600 --> 00:05:05.250
所以让我们求出此极限的值

00:05:05.250 --> 00:05:09.060
当x的值为1时

00:05:09.060 --> 00:05:13.640
1的自然对数为0

00:05:13.640 --> 00:05:19.720
在这，我们得到了1的自然对数为0

00:05:19.720 --> 00:05:27.920
紧接着是1-1/1

00:05:27.920 --> 00:05:28.900
又是一个0

00:05:28.900 --> 00:05:29.810
1-1为0

00:05:29.810 --> 00:05:30.680
所以你将有0+0

00:05:30.680 --> 00:05:35.740
你有得到了0/0

00:05:35.740 --> 00:05:38.230
所以让我们再度应用l'Hopital法则

00:05:38.230 --> 00:05:39.890
让我们求它的导数

00:05:39.890 --> 00:05:41.240
除以它的导数

00:05:41.240 --> 00:05:44.210
所以如果我们想取极值，

00:05:44.210 --> 00:05:51.950
等于，当x到达1时，分子的导数

00:05:51.950 --> 00:05:56.320
1/x，是的，x的自然对数的导数的值为

00:05:56.320 --> 00:06:00.340
1/x除以分母的导数

00:06:00.340 --> 00:06:01.160
那将是多少呢

00:06:01.160 --> 00:06:06.950
x的自然对数的导数为1/x加上

00:06:06.950 --> 00:06:09.590
（x-1）/x的导数

00:06:09.590 --> 00:06:13.120
你可以这样想，1/x乘x

00:06:13.120 --> 00:06:16.730
好吧，x到负1的导数，我们将取

00:06:16.730 --> 00:06:19.280
第一个数的一乘以第二个数的导数，以及

00:06:19.280 --> 00:06:20.670
然后是第二个导数乘上

00:06:20.670 --> 00:06:21.610
第一个数

00:06:21.610 --> 00:06:24.980
因此，第一项的导数，x 到负 1，是

00:06:24.980 --> 00:06:30.030
负x的-2次方乘上第二项，

00:06:30.030 --> 00:06:34.830
x-1，加上第二项的导数，

00:06:34.830 --> 00:06:39.780
就是1乘上第一项，1/x

00:06:39.780 --> 00:06:45.860
所以这将等于

00:06:47.070 --> 00:06:48.780
我讲到哪了？

00:06:48.780 --> 00:06:50.710
哦我们正在化简原式呢

00:06:50.710 --> 00:06:52.210
让我们用上l'Hopital法则

00:06:52.210 --> 00:06:58.010
所以这将等于

00:06:58.010 --> 00:07:02.390
如果我们使x的值为1

00:07:02.390 --> 00:07:05.610
整个分子值为1/1，就是1了

00:07:05.610 --> 00:07:09.327
所以我们绝对不会得到一个无穷大或0/0

00:07:09.327 --> 00:07:11.460
分母的值将为

00:07:11.460 --> 00:07:12.960
如果你取x的值为1，那么就是1/1，

00:07:12.960 --> 00:07:18.180
加上-1到-2

00:07:18.180 --> 00:07:21.490
或者你可以说，-1到-2就是1，所以是1

00:07:21.490 --> 00:07:22.445
只不过是负的罢了

00:07:22.445 --> 00:07:24.820
但是接着你将其乘1再减1

00:07:24.820 --> 00:07:27.100
就得到0，所以整项都消去了

00:07:27.100 --> 00:07:29.890
接着你加上另一个1/1，

00:07:29.890 --> 00:07:34.090
所以整个式子将为1/2

00:07:34.090 --> 00:07:34.990
你解出来了

00:07:34.990 --> 00:07:37.620
通过L'Hopital法则，我们求出了一个

00:07:37.620 --> 00:07:39.050
并不会得出0/0结果的式子

00:07:39.050 --> 00:07:40.260
的值

00:07:40.260 --> 00:07:44.110
我们就乘入了两项并分别得求分子与分母

00:07:44.110 --> 00:07:46.460
的导数，求了两次

00:07:46.460 --> 00:07:49.180
最终我们得到了极值