我们想求出随着x接近1时，表达式x/x-1
乘上1/ln x的极限值
所以让我们看下当我们仅是输入1时
会发生什么
好，接着我们在此处得到1，1-1
所以我们会得到1/0减去
1除以，1的自然对数是多少呢
e的几次方等于1呢
任何数的零次幂都为1，所以e的零次幂也为1
所以1的自然对数值为
0
所以我们得到了奇怪且无解的1/0-1/0
这是一种奇怪的无解形式
但这并不是我们在l'Hopital's rule 中看到的无解形式
我们不会求出0/0，也不会求出∞/∞
所以你也许会说，好吧，这不是一个l'Hopital 法则的问题
我们须以另一种方式将此题解出
不要放弃呀
也许我们可以以某种代数的方式改写这个式子
以使其变化为l'Hopital 的不确定形式
接着我们就可将之直接运用了
为了将之解决，让我们看看如果将这两式相加
又会如何呢
所以如果我将这两式相加
分母将为（x-1）*ln x
我仅是将这两式相乘
接着分子将为
好的，如果我将这整个式子同时乘上ln x
所以分子将为x*ln x
这个式子我将其整体乘以（x-1）
那么即为-（x-1）
你可以将之拆分（验证），并发现其与原式一致
那么在这边，x/x-1,由于ln x消掉了
让我们将其搁一边
那么这边就是-1/ln x由于（x-1）被消掉了
希望你理解了关于我处理这两表达式的用意
所以借此入手，我们看下取x为1时
此式会如何变化呢
因为这些式子是相同的
所以我们得到什么了吗
我们得到了1*ln 1
由于ln 1的值为0所以我们就得到了0
减去0，所以原式值为0
所以我们有了0作为分子
并且在分母中，我们求出了1-1，值为零乘上
ln 1， 其值也为0，故分母值也为0
我们得到了应用l'Hopital法则所需的不定形式
假设我们求出了它的导数
求出极限所在的导数
让我们试着做一下
这将等于
x到1的极限
让我们用品红色将其导数写出
我将取这个分子的导数
所以对第一项，让我们做乘积法则
x的导数是1，接着乘上x的自然对数
第一项的导数乘
第二项
接着我们要加上第二项的导数
加上1/x，乘上第一项
这就是乘积法则
所以1/x乘上x，让我们看下，就是1
接着我们求-（x-1）的导数
x-1的导数就是1
所以我们得到-1
接着分子除以分母的的导数
所以我们来求导
第一项为x-1，则其导数为1
乘上第二项的x的自然对数
x的自然对数的导数
是1/x乘上x-1
我想我们可以将其简化一下
1/x乘x得1
我们将从中减去1
所以这些都消掉了，就在这
所以整个表达式可写为，随着x趋于1
分子是x的自然对数
用红笔写出来了，分母则是
x的自然对数加上（x-1）/x
所以让我们求出此极限的值
当x的值为1时
1的自然对数为0
在这，我们得到了1的自然对数为0
紧接着是1-1/1
又是一个0
1-1为0
所以你将有0+0
你有得到了0/0
所以让我们再度应用l'Hopital法则
让我们求它的导数
除以它的导数
所以如果我们想取极值，
等于，当x到达1时，分子的导数
1/x，是的，x的自然对数的导数的值为
1/x除以分母的导数
那将是多少呢
x的自然对数的导数为1/x加上
（x-1）/x的导数
你可以这样想，1/x乘x
好吧，x到负1的导数，我们将取
第一个数的一乘以第二个数的导数，以及
然后是第二个导数乘上
第一个数
因此，第一项的导数，x 到负 1，是
负x的-2次方乘上第二项，
x-1，加上第二项的导数，
就是1乘上第一项，1/x
所以这将等于
我讲到哪了？
哦我们正在化简原式呢
让我们用上l'Hopital法则
所以这将等于
如果我们使x的值为1
整个分子值为1/1，就是1了
所以我们绝对不会得到一个无穷大或0/0
分母的值将为
如果你取x的值为1，那么就是1/1，
加上-1到-2
或者你可以说，-1到-2就是1，所以是1
只不过是负的罢了
但是接着你将其乘1再减1
就得到0，所以整项都消去了
接着你加上另一个1/1，
所以整个式子将为1/2
你解出来了
通过L'Hopital法则，我们求出了一个
并不会得出0/0结果的式子
的值
我们就乘入了两项并分别得求分子与分母
的导数，求了两次
最终我们得到了极值