L'Hopital's Rule Example 3

x bölü x eksi 1, eksi 1 bölü, x'in doğal logaritmasının, x bire yaklaşırken limitini bulmak istiyoruz.

-

-

Önce, x yerine 1 koyalım ve ne olduğunu görelim.

-

Bu ifadenin x eşittir 1 için değerini bulmak istersek, ne olur?

Burası 1 olur, burası da 1 eksi 1. Yani, 1 bölü 0 elde ederiz, eksi 1 bölü, 1'in doğal logaritması nedir?

-

-

e'nin hangi kuvveti 1 verir?

Herhangi bir şeyin 0'ıncı kuvveti 1 vereceği için, 1'in doğal logaritması 0 olur.

-

-

1 bölü 0, eksi 1 bölü 0 gibi garip, tanımsız bir sonuca ulaştık.

-

Bu, garip görünüşlü, tanımsız ifade.

l'Hopital (lopital) kuralında gördüğümüz belirsizliklerden biri değil.

-

0 bölü 0 veya sonsuz bölü sonsuz, değil.

-

O zaman, şöyle diyebilirsiniz: Tamam, bu l'Hopital kuralıyla çözülmeyecek. Başka bir yöntemle limit bulacağız.

-

-

Ben de size şöyle cevap veririm: Henüz pes etmeyin!

Belki bu ifadeyi, cebirsel olarak, l'Hopital kuralının belirsizliklerinden birine çevirebiliriz ve kuralı kullanabiliriz.

-

-

Bunu yapabilmek için, iki ifadeyi toplayalım.

-

Topladığımızda, ortak payda, x eksi 1 çarpı x'in doğal logaritması, olacak.

-

-

Paydaları çarptım.

Pay için ise, bu terimi x'in doğal logaritması ile çarpalım. Yani, x çarpı x'in doğal logaritması ve bu terimi, x eksi 1'le çarpıyoruz.

-

-

-

Yani, eksi, x eksi 1.

Bunu ayırmak isterseniz, baştakiyle aynı ifadeyi elde edersiniz.

-

-

Buradaki kısım ise, 1 bölü x'in doğal logaritması, çünkü x eksi 1'ler sadeleşir.

-

Umarım, yalnızca bu iki ifadeyi topladığımı anladınız.

-

Şimdi, bu ifadenin x 1'e yaklaşırken limitini alalım.

-

Çünkü, bu ikisi aynı şey.

İlginç bir şey görüyor muyuz?

İfademiz neydi?

1 çarpı 1'in doğal logaritması.

1'in doğal logaritması 0. Yani, burada 0 var. Ve, bu da 0.

Eksi, 1 eksi 1, yani bu da 0. 0 eksi 0 eşittir 0.

Paydada ise, 1 eksi 1 eşittir 0. Çarpı 1'in doğal logaritması, ki o da 0. Yani, 0 çarpı 0 eşittir 0.

İşte oldu.

l'Hopital kuralı için gereken belirsizliğe ulaştım.

Şimdi, bunun türevini, ötekinin türevine bölüp limit almaya çalıişacağız.

-

Deneyelim.

Eğer limit varsa, bu limit, x 1'e yaklaşırken alacağımız şu limite eşit olacak.

-

Türevi morla yazayım. Payın türevi şöyle olacak.

-

Birinci terimde çarpım kuralını kullanalım.

x'in türevi 1. O zaman, 1 çarpı, x'in doğal logaritması. Birinci terimin türevi, çarpı ikinci terim.

-

-

Sonra da, artı, ikinci terimin türevi, 1 bölü x çarpı birinci terim.

-

Çarpım kuralı.

Yani, 1 bölü x çarpı x, bu da 1.

Ve sonra, eksi, x eksi 1'in türevi.

x eksi 1'in türevi, 1, yani burası eksi 1 olacak.

-

Bunun tamamı, bölü paydanın türevi.

O zaman, şurada, paydanın türevini alalım.

Birinci terimin, x eksi 1'in, türevi, sadece 1.

Bunu ikinci terimle çarpın, x'in doğal logaritmasını elde edersiniz

Ve artı, ikinci terimin türevi. x'in doğal logaritmasının türevi eşittir 1 bölü x. Çarpı x eksi 1.

-

Bunu biraz sadeleştirebiliriz.

Buradaki 1 bölü x çarpı x, 1 olur.

Ondan 1 çıkaralım.

Bunlar sadeleşir.

Buna göre, bu limitin payı, x'in doğal logaritması olacak. Paydası da, x'in doğal logaritması artı x eksi 1, bölü x olacak.

-

-

-

Şimdi bu limiti bulalım.

x 1'e yaklaşırken, x'in doğal logaritması. 1'in doğal logaritması, 0'dır.

-

Ve burada, 1'in doğal logaritması, yani 0. Ve artı, 1 eksi 1, bölü 1, yine 0.

-

-

1 eksi 1 eşittir 0.

Yani, 0 artı 0 elde ediyoruz.

Sonuçta, tekrar, 0 bölü 0 bulduk.

0 bölü 0.

Tekrar l'Hopital kuralını kullanalım.

Türevlerin bölümünü alalım.

-

Eğer bir limit bulacaksak, bu, x 1'e yaklaşırken, payın türevi, 1 bölü x. x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x'tir. Bölü paydanın türevi.

-

-

-

Paydanın türevi nedir?

x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x, artı, x eksi 1, bölü x'in türevi.

-

Bunu şöyle düşünebiliriz: 1 bölü x, çarpı, x eksi 1.

x üzeri eksi 1'in türevi, birincinin türevi çarpı ikinci, diyoruz. Ve sonra, ikincinin türevi, çarpı birinci.

-

-

-

Birinci terimin, x üzeri eksi 1, türevi, eşittir eksi x üzeri eksi 2.

Çarpı ikinci terim, çarpı x eksi 1, artı ikinci terimin türevi, 1, çarpı birinci terim, 1 bölü x.

-

-

-

-

-

-

Bunu sadeleştirelim.

-

x yerine 1 koyarsak, pay 1 bölü 1, yani 1 olur. Böylece, belirsizlik durumu ortadan kalkmış oldu.

-

-

-

-

Payda ise, 1 bölü 1, yani 1, eksi 1 üzeri eksi 2.

-

1 üzeri eksi 2, 1'e eşit diyorsunuz. Yani, burası, eksi 1 olur.

-

Sonra bunu, 1 eksi 1'le çarpıyoruz. Bu da 0, yani tüm terim sıfırlanacak.

-

Ve yine, artı 1 bölü 1 var.

Artı 1. O zaman, bu, 1 bölü 2'ye eşit olacak.

Cevabı bulduk.

Başlangıçta 0 bölü 0'a benzemeyen bir ifadenin terimlerini topladık, 0 bölü 0 elde ettik, l'Hopital kuralını uyguladık.

-

-

Pay ve paydanın iki kere türevini aldıktan sonra, limiti bulduk.

-

-

-