x bölü x eksi 1, eksi 1 bölü, x'in doğal logaritmasının, x bire yaklaşırken limitini bulmak istiyoruz.
-
Önce, x yerine 1 koyalım ve ne olduğunu görelim.
-
Bu ifadenin x eşittir 1 için değerini bulmak istersek, ne olur?
Burası 1 olur, burası da 1 eksi 1. Yani, 1 bölü 0 elde ederiz, eksi 1 bölü, 1'in doğal logaritması nedir?
-
e'nin hangi kuvveti 1 verir?
Herhangi bir şeyin 0'ıncı kuvveti 1 vereceği için, 1'in doğal logaritması 0 olur.
-
1 bölü 0, eksi 1 bölü 0 gibi garip, tanımsız bir sonuca ulaştık.
-
Bu, garip görünüşlü, tanımsız ifade.
l'Hopital (lopital) kuralında gördüğümüz belirsizliklerden biri değil.
-
0 bölü 0 veya sonsuz bölü sonsuz, değil.
-
O zaman, şöyle diyebilirsiniz: Tamam, bu l'Hopital kuralıyla çözülmeyecek. Başka bir yöntemle limit bulacağız.
-
Ben de size şöyle cevap veririm: Henüz pes etmeyin!
Belki bu ifadeyi, cebirsel olarak, l'Hopital kuralının belirsizliklerinden birine çevirebiliriz ve kuralı kullanabiliriz.
-
Bunu yapabilmek için, iki ifadeyi toplayalım.
-
Topladığımızda, ortak payda, x eksi 1 çarpı x'in doğal logaritması, olacak.
-
Paydaları çarptım.
Pay için ise, bu terimi x'in doğal logaritması ile çarpalım. Yani, x çarpı x'in doğal logaritması ve bu terimi, x eksi 1'le çarpıyoruz.
-
Yani, eksi, x eksi 1.
Bunu ayırmak isterseniz, baştakiyle aynı ifadeyi elde edersiniz.
-
Buradaki kısım ise, 1 bölü x'in doğal logaritması, çünkü x eksi 1'ler sadeleşir.
-
Umarım, yalnızca bu iki ifadeyi topladığımı anladınız.
-
Şimdi, bu ifadenin x 1'e yaklaşırken limitini alalım.
-
Çünkü, bu ikisi aynı şey.
İlginç bir şey görüyor muyuz?
İfademiz neydi?
1 çarpı 1'in doğal logaritması.
1'in doğal logaritması 0. Yani, burada 0 var. Ve, bu da 0.
Eksi, 1 eksi 1, yani bu da 0. 0 eksi 0 eşittir 0.
Paydada ise, 1 eksi 1 eşittir 0. Çarpı 1'in doğal logaritması, ki o da 0. Yani, 0 çarpı 0 eşittir 0.
İşte oldu.
l'Hopital kuralı için gereken belirsizliğe ulaştım.
Şimdi, bunun türevini, ötekinin türevine bölüp limit almaya çalıişacağız.
-
Deneyelim.
Eğer limit varsa, bu limit, x 1'e yaklaşırken alacağımız şu limite eşit olacak.
-
Türevi morla yazayım. Payın türevi şöyle olacak.
-
Birinci terimde çarpım kuralını kullanalım.
x'in türevi 1. O zaman, 1 çarpı, x'in doğal logaritması. Birinci terimin türevi, çarpı ikinci terim.
-
Sonra da, artı, ikinci terimin türevi, 1 bölü x çarpı birinci terim.
-
Çarpım kuralı.
Yani, 1 bölü x çarpı x, bu da 1.
Ve sonra, eksi, x eksi 1'in türevi.
x eksi 1'in türevi, 1, yani burası eksi 1 olacak.
-
Bunun tamamı, bölü paydanın türevi.
O zaman, şurada, paydanın türevini alalım.
Birinci terimin, x eksi 1'in, türevi, sadece 1.
Bunu ikinci terimle çarpın, x'in doğal logaritmasını elde edersiniz
Ve artı, ikinci terimin türevi. x'in doğal logaritmasının türevi eşittir 1 bölü x. Çarpı x eksi 1.
-
Bunu biraz sadeleştirebiliriz.
Buradaki 1 bölü x çarpı x, 1 olur.
Ondan 1 çıkaralım.
Bunlar sadeleşir.
Buna göre, bu limitin payı, x'in doğal logaritması olacak. Paydası da, x'in doğal logaritması artı x eksi 1, bölü x olacak.
-
Şimdi bu limiti bulalım.
x 1'e yaklaşırken, x'in doğal logaritması. 1'in doğal logaritması, 0'dır.
-
Ve burada, 1'in doğal logaritması, yani 0. Ve artı, 1 eksi 1, bölü 1, yine 0.
-
1 eksi 1 eşittir 0.
Yani, 0 artı 0 elde ediyoruz.
Sonuçta, tekrar, 0 bölü 0 bulduk.
0 bölü 0.
Tekrar l'Hopital kuralını kullanalım.
Türevlerin bölümünü alalım.
-
Eğer bir limit bulacaksak, bu, x 1'e yaklaşırken, payın türevi, 1 bölü x. x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x'tir. Bölü paydanın türevi.
-
Paydanın türevi nedir?
x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x, artı, x eksi 1, bölü x'in türevi.
-
Bunu şöyle düşünebiliriz: 1 bölü x, çarpı, x eksi 1.
x üzeri eksi 1'in türevi, birincinin türevi çarpı ikinci, diyoruz. Ve sonra, ikincinin türevi, çarpı birinci.
-
Birinci terimin, x üzeri eksi 1, türevi, eşittir eksi x üzeri eksi 2.
Çarpı ikinci terim, çarpı x eksi 1, artı ikinci terimin türevi, 1, çarpı birinci terim, 1 bölü x.
-
Bunu sadeleştirelim.
-
x yerine 1 koyarsak, pay 1 bölü 1, yani 1 olur. Böylece, belirsizlik durumu ortadan kalkmış oldu.
-
Payda ise, 1 bölü 1, yani 1, eksi 1 üzeri eksi 2.
-
1 üzeri eksi 2, 1'e eşit diyorsunuz. Yani, burası, eksi 1 olur.
-
Sonra bunu, 1 eksi 1'le çarpıyoruz. Bu da 0, yani tüm terim sıfırlanacak.
-
Ve yine, artı 1 bölü 1 var.
Artı 1. O zaman, bu, 1 bölü 2'ye eşit olacak.
Cevabı bulduk.
Başlangıçta 0 bölü 0'a benzemeyen bir ifadenin terimlerini topladık, 0 bölü 0 elde ettik, l'Hopital kuralını uyguladık.
-
Pay ve paydanın iki kere türevini aldıktan sonra, limiti bulduk.
-