1
00:00:00,510 --> 00:00:08,060
x bölü x eksi 1, eksi 1 bölü, x'in doğal logaritmasının, x bire yaklaşırken limitini bulmak istiyoruz.

2
00:00:08,060 --> 00:00:14,570
-

3
00:00:14,570 --> 00:00:17,930
-

4
00:00:17,930 --> 00:00:19,900
Önce, x yerine 1 koyalım ve ne olduğunu görelim.

5
00:00:19,900 --> 00:00:21,230
-

6
00:00:21,230 --> 00:00:24,630
Bu ifadenin x eşittir 1 için değerini bulmak istersek, ne olur?

7
00:00:24,630 --> 00:00:30,050
Burası 1 olur, burası da 1 eksi 1. Yani, 1 bölü 0 elde ederiz, eksi 1 bölü, 1'in doğal logaritması nedir?

8
00:00:30,050 --> 00:00:35,040
-

9
00:00:35,040 --> 00:00:37,520
-

10
00:00:37,520 --> 00:00:40,250
e'nin hangi kuvveti 1 verir?

11
00:00:40,250 --> 00:00:43,140
Herhangi bir şeyin 0'ıncı kuvveti 1 vereceği için, 1'in doğal logaritması 0 olur.

12
00:00:43,140 --> 00:00:45,420
-

13
00:00:45,420 --> 00:00:49,350
-

14
00:00:49,350 --> 00:00:51,820
1 bölü 0, eksi 1 bölü 0 gibi garip, tanımsız bir sonuca ulaştık.

15
00:00:51,820 --> 00:00:54,300
-

16
00:00:54,300 --> 00:00:56,370
Bu, garip görünüşlü, tanımsız ifade.

17
00:00:56,370 --> 00:00:58,820
l'Hopital (lopital) kuralında gördüğümüz belirsizliklerden biri değil.

18
00:00:58,820 --> 00:00:59,880
-

19
00:00:59,880 --> 00:01:02,625
0 bölü 0 veya sonsuz bölü sonsuz, değil.

20
00:01:02,625 --> 00:01:03,750
-

21
00:01:03,750 --> 00:01:06,640
O zaman, şöyle diyebilirsiniz: Tamam, bu l'Hopital kuralıyla çözülmeyecek. Başka bir yöntemle limit bulacağız.

22
00:01:06,640 --> 00:01:07,150
-

23
00:01:07,150 --> 00:01:09,910
-

24
00:01:09,910 --> 00:01:13,210
Ben de size şöyle cevap veririm: Henüz pes etmeyin!

25
00:01:13,210 --> 00:01:16,880
Belki bu ifadeyi, cebirsel olarak, l'Hopital kuralının belirsizliklerinden birine çevirebiliriz ve kuralı kullanabiliriz.

26
00:01:16,880 --> 00:01:20,380
-

27
00:01:20,380 --> 00:01:23,040
-

28
00:01:23,040 --> 00:01:24,790
Bunu yapabilmek için, iki ifadeyi toplayalım.

29
00:01:24,790 --> 00:01:26,470
-

30
00:01:26,470 --> 00:01:29,865
Topladığımızda, ortak payda, x eksi 1 çarpı x'in doğal logaritması, olacak.

31
00:01:29,865 --> 00:01:32,160
-

32
00:01:32,160 --> 00:01:36,850
-

33
00:01:36,850 --> 00:01:38,740
Paydaları çarptım.

34
00:01:38,740 --> 00:01:43,420
Pay için ise, bu terimi x'in doğal logaritması ile çarpalım. Yani, x çarpı x'in doğal logaritması ve bu terimi, x eksi 1'le çarpıyoruz.

35
00:01:43,420 --> 00:01:46,436
-

36
00:01:46,436 --> 00:01:51,317
-

37
00:01:51,317 --> 00:01:52,930
-

38
00:01:52,930 --> 00:01:54,955
Yani, eksi, x eksi 1.

39
00:01:54,955 --> 00:01:58,510
Bunu ayırmak isterseniz, baştakiyle aynı ifadeyi elde edersiniz.

40
00:02:00,540 --> 00:02:02,870
-

41
00:02:10,310 --> 00:02:12,220
-

42
00:02:12,220 --> 00:02:18,430
Buradaki kısım ise, 1 bölü x'in doğal logaritması, çünkü x eksi 1'ler sadeleşir.

43
00:02:18,430 --> 00:02:21,510
-

44
00:02:21,510 --> 00:02:23,630
Umarım, yalnızca bu iki ifadeyi topladığımı anladınız.

45
00:02:23,630 --> 00:02:25,120
-

46
00:02:25,120 --> 00:02:29,110
Şimdi, bu ifadenin x 1'e yaklaşırken limitini alalım.

47
00:02:29,110 --> 00:02:31,600
-

48
00:02:31,600 --> 00:02:33,010
Çünkü, bu ikisi aynı şey.

49
00:02:33,010 --> 00:02:35,320
İlginç bir şey görüyor muyuz?

50
00:02:35,320 --> 00:02:36,360
İfademiz neydi?

51
00:02:36,360 --> 00:02:38,810
1 çarpı 1'in doğal logaritması.

52
00:02:38,810 --> 00:02:43,650
1'in doğal logaritması 0. Yani, burada 0 var. Ve, bu da 0.

53
00:02:43,650 --> 00:02:47,200
Eksi, 1 eksi 1, yani bu da 0. 0 eksi 0 eşittir 0.

54
00:02:55,570 --> 00:03:00,100
Paydada ise, 1 eksi 1 eşittir 0. Çarpı 1'in doğal logaritması, ki o da 0. Yani, 0 çarpı 0 eşittir 0.

55
00:03:00,100 --> 00:03:00,960
İşte oldu.

56
00:03:00,960 --> 00:03:04,940
l'Hopital kuralı için gereken belirsizliğe ulaştım.

57
00:03:04,940 --> 00:03:07,110
Şimdi, bunun türevini, ötekinin türevine bölüp limit almaya çalıişacağız.

58
00:03:07,110 --> 00:03:09,360
-

59
00:03:09,360 --> 00:03:11,130
Deneyelim.

60
00:03:11,130 --> 00:03:15,340
Eğer limit varsa, bu limit, x 1'e yaklaşırken alacağımız şu limite eşit olacak.

61
00:03:15,340 --> 00:03:19,200
-

62
00:03:19,200 --> 00:03:22,490
Türevi morla yazayım. Payın türevi şöyle olacak.

63
00:03:22,490 --> 00:03:26,190
-

64
00:03:26,190 --> 00:03:28,590
Birinci terimde çarpım kuralını kullanalım.

65
00:03:28,590 --> 00:03:32,970
x'in türevi 1. O zaman, 1 çarpı, x'in doğal logaritması. Birinci terimin türevi, çarpı ikinci terim.

66
00:03:32,970 --> 00:03:35,920
-

67
00:03:35,920 --> 00:03:36,930
-

68
00:03:36,930 --> 00:03:39,570
Sonra da, artı, ikinci terimin türevi, 1 bölü x çarpı birinci terim.

69
00:03:39,570 --> 00:03:43,820
-

70
00:03:43,820 --> 00:03:45,430
Çarpım kuralı.

71
00:03:45,430 --> 00:03:47,920
Yani, 1 bölü x çarpı x, bu da 1.

72
00:03:47,920 --> 00:03:54,390
Ve sonra, eksi, x eksi 1'in türevi.

73
00:03:54,390 --> 00:03:58,450
x eksi 1'in türevi, 1, yani burası eksi 1 olacak.

74
00:03:58,450 --> 00:04:01,090
-

75
00:04:01,090 --> 00:04:08,710
Bunun tamamı, bölü paydanın türevi.

76
00:04:08,710 --> 00:04:11,340
O zaman, şurada, paydanın türevini alalım.

77
00:04:11,340 --> 00:04:16,600
Birinci terimin, x eksi 1'in, türevi, sadece 1.

78
00:04:16,600 --> 00:04:20,330
Bunu ikinci terimle çarpın, x'in doğal logaritmasını elde edersiniz

79
00:04:20,330 --> 00:04:23,520
Ve artı, ikinci terimin türevi. x'in doğal logaritmasının türevi eşittir 1 bölü x. Çarpı x eksi 1.

80
00:04:23,520 --> 00:04:28,350
-

81
00:04:28,350 --> 00:04:32,140
Bunu biraz sadeleştirebiliriz.

82
00:04:34,240 --> 00:04:37,270
Buradaki 1 bölü x çarpı x, 1 olur.

83
00:04:37,270 --> 00:04:38,580
Ondan 1 çıkaralım.

84
00:04:38,580 --> 00:04:40,910
Bunlar sadeleşir.

85
00:04:40,910 --> 00:04:45,710
Buna göre, bu limitin payı, x'in doğal logaritması olacak. Paydası da, x'in doğal logaritması artı x eksi 1, bölü x olacak.

86
00:04:45,710 --> 00:04:51,260
-

87
00:04:51,260 --> 00:04:57,160
-

88
00:04:57,160 --> 00:05:03,600
-

89
00:05:03,600 --> 00:05:05,250
Şimdi bu limiti bulalım.

90
00:05:05,250 --> 00:05:09,060
x 1'e yaklaşırken, x'in doğal logaritması. 1'in doğal logaritması, 0'dır.

91
00:05:09,060 --> 00:05:13,640
-

92
00:05:13,640 --> 00:05:19,720
Ve burada, 1'in doğal logaritması, yani 0. Ve artı, 1 eksi 1, bölü 1, yine 0.

93
00:05:19,720 --> 00:05:27,920
-

94
00:05:27,920 --> 00:05:28,900
-

95
00:05:28,900 --> 00:05:29,810
1 eksi 1 eşittir 0.

96
00:05:29,810 --> 00:05:30,680
Yani, 0 artı 0 elde ediyoruz.

97
00:05:30,680 --> 00:05:34,140
Sonuçta, tekrar, 0 bölü 0 bulduk.

98
00:05:34,140 --> 00:05:35,740
0 bölü 0.

99
00:05:35,740 --> 00:05:38,230
Tekrar l'Hopital kuralını kullanalım.

100
00:05:38,230 --> 00:05:39,890
Türevlerin bölümünü alalım.

101
00:05:39,890 --> 00:05:41,240
-

102
00:05:41,240 --> 00:05:44,210
Eğer bir limit bulacaksak, bu, x 1'e yaklaşırken, payın türevi, 1 bölü x. x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x'tir. Bölü paydanın türevi.

103
00:05:44,210 --> 00:05:51,950
-

104
00:05:51,950 --> 00:05:56,320
-

105
00:05:56,320 --> 00:06:00,340
-

106
00:06:00,340 --> 00:06:01,160
Paydanın türevi nedir?

107
00:06:01,160 --> 00:06:06,950
x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x, artı, x eksi 1, bölü x'in türevi.

108
00:06:06,950 --> 00:06:09,590
-

109
00:06:09,590 --> 00:06:13,120
Bunu şöyle düşünebiliriz: 1 bölü x, çarpı, x eksi 1.

110
00:06:13,120 --> 00:06:16,730
x üzeri eksi 1'in türevi, birincinin türevi çarpı ikinci, diyoruz. Ve sonra, ikincinin türevi, çarpı birinci.

111
00:06:16,730 --> 00:06:19,280
-

112
00:06:19,280 --> 00:06:20,670
-

113
00:06:20,670 --> 00:06:21,610
-

114
00:06:21,610 --> 00:06:24,980
Birinci terimin, x üzeri eksi 1, türevi, eşittir eksi x üzeri eksi 2.

115
00:06:24,980 --> 00:06:30,030
Çarpı ikinci terim, çarpı x eksi 1, artı ikinci terimin türevi, 1, çarpı birinci terim, 1 bölü x.

116
00:06:30,030 --> 00:06:34,830
-

117
00:06:34,830 --> 00:06:39,780
-

118
00:06:39,780 --> 00:06:45,060
-

119
00:06:45,060 --> 00:06:45,860
-

120
00:06:45,860 --> 00:06:47,730
-

121
00:06:47,730 --> 00:06:48,780
-

122
00:06:48,780 --> 00:06:50,710
Bunu sadeleştirelim.

123
00:06:50,710 --> 00:06:52,210
-

124
00:06:52,210 --> 00:06:58,010
x yerine 1 koyarsak, pay 1 bölü 1, yani 1 olur. Böylece, belirsizlik durumu ortadan kalkmış oldu.

125
00:06:58,010 --> 00:07:02,870
-

126
00:07:02,870 --> 00:07:05,610
-

127
00:07:05,610 --> 00:07:07,406
-

128
00:07:07,406 --> 00:07:09,480
-

129
00:07:09,480 --> 00:07:12,080
Payda ise, 1 bölü 1, yani 1, eksi 1 üzeri eksi 2.

130
00:07:12,080 --> 00:07:18,180
-

131
00:07:18,180 --> 00:07:21,490
1 üzeri eksi 2, 1'e eşit diyorsunuz. Yani, burası, eksi 1 olur.

132
00:07:21,490 --> 00:07:22,445
-

133
00:07:22,445 --> 00:07:24,820
Sonra bunu, 1 eksi 1'le çarpıyoruz. Bu da 0, yani tüm terim sıfırlanacak.

134
00:07:24,820 --> 00:07:27,100
-

135
00:07:27,100 --> 00:07:29,890
Ve yine, artı 1 bölü 1 var.

136
00:07:29,890 --> 00:07:34,090
Artı 1. O zaman, bu, 1 bölü 2'ye eşit olacak.

137
00:07:34,090 --> 00:07:34,990
Cevabı bulduk.

138
00:07:34,990 --> 00:07:37,620
Başlangıçta 0 bölü 0'a benzemeyen bir ifadenin terimlerini topladık, 0 bölü 0 elde ettik, l'Hopital kuralını uyguladık.

139
00:07:37,620 --> 00:07:39,050
-

140
00:07:39,050 --> 00:07:40,260
-

141
00:07:40,260 --> 00:07:44,110
Pay ve paydanın iki kere türevini aldıktan sonra, limiti bulduk.

142
00:07:44,110 --> 00:07:46,460
-

143
00:07:46,460 --> 00:07:49,180
-

144
00:07:49,180 --> 00:07:49,333
-