WEBVTT 00:00:00.510 --> 00:00:08.060 x bölü x eksi 1, eksi 1 bölü, x'in doğal logaritmasının, x bire yaklaşırken limitini bulmak istiyoruz. 00:00:08.060 --> 00:00:14.570 - 00:00:14.570 --> 00:00:17.930 - 00:00:17.930 --> 00:00:19.900 Önce, x yerine 1 koyalım ve ne olduğunu görelim. 00:00:19.900 --> 00:00:21.230 - 00:00:21.230 --> 00:00:24.630 Bu ifadenin x eşittir 1 için değerini bulmak istersek, ne olur? 00:00:24.630 --> 00:00:30.050 Burası 1 olur, burası da 1 eksi 1. Yani, 1 bölü 0 elde ederiz, eksi 1 bölü, 1'in doğal logaritması nedir? 00:00:30.050 --> 00:00:35.040 - 00:00:35.040 --> 00:00:37.520 - 00:00:37.520 --> 00:00:40.250 e'nin hangi kuvveti 1 verir? 00:00:40.250 --> 00:00:43.140 Herhangi bir şeyin 0'ıncı kuvveti 1 vereceği için, 1'in doğal logaritması 0 olur. 00:00:43.140 --> 00:00:45.420 - 00:00:45.420 --> 00:00:49.350 - 00:00:49.350 --> 00:00:51.820 1 bölü 0, eksi 1 bölü 0 gibi garip, tanımsız bir sonuca ulaştık. 00:00:51.820 --> 00:00:54.300 - 00:00:54.300 --> 00:00:56.370 Bu, garip görünüşlü, tanımsız ifade. 00:00:56.370 --> 00:00:58.820 l'Hopital (lopital) kuralında gördüğümüz belirsizliklerden biri değil. 00:00:58.820 --> 00:00:59.880 - 00:00:59.880 --> 00:01:02.625 0 bölü 0 veya sonsuz bölü sonsuz, değil. 00:01:02.625 --> 00:01:03.750 - 00:01:03.750 --> 00:01:06.640 O zaman, şöyle diyebilirsiniz: Tamam, bu l'Hopital kuralıyla çözülmeyecek. Başka bir yöntemle limit bulacağız. 00:01:06.640 --> 00:01:07.150 - 00:01:07.150 --> 00:01:09.910 - 00:01:09.910 --> 00:01:13.210 Ben de size şöyle cevap veririm: Henüz pes etmeyin! 00:01:13.210 --> 00:01:16.880 Belki bu ifadeyi, cebirsel olarak, l'Hopital kuralının belirsizliklerinden birine çevirebiliriz ve kuralı kullanabiliriz. 00:01:16.880 --> 00:01:20.380 - 00:01:20.380 --> 00:01:23.040 - 00:01:23.040 --> 00:01:24.790 Bunu yapabilmek için, iki ifadeyi toplayalım. 00:01:24.790 --> 00:01:26.470 - 00:01:26.470 --> 00:01:29.865 Topladığımızda, ortak payda, x eksi 1 çarpı x'in doğal logaritması, olacak. 00:01:29.865 --> 00:01:32.160 - 00:01:32.160 --> 00:01:36.850 - 00:01:36.850 --> 00:01:38.740 Paydaları çarptım. 00:01:38.740 --> 00:01:43.420 Pay için ise, bu terimi x'in doğal logaritması ile çarpalım. Yani, x çarpı x'in doğal logaritması ve bu terimi, x eksi 1'le çarpıyoruz. 00:01:43.420 --> 00:01:46.436 - 00:01:46.436 --> 00:01:51.317 - 00:01:51.317 --> 00:01:52.930 - 00:01:52.930 --> 00:01:54.955 Yani, eksi, x eksi 1. 00:01:54.955 --> 00:01:58.510 Bunu ayırmak isterseniz, baştakiyle aynı ifadeyi elde edersiniz. 00:02:00.540 --> 00:02:02.870 - 00:02:10.310 --> 00:02:12.220 - 00:02:12.220 --> 00:02:18.430 Buradaki kısım ise, 1 bölü x'in doğal logaritması, çünkü x eksi 1'ler sadeleşir. 00:02:18.430 --> 00:02:21.510 - 00:02:21.510 --> 00:02:23.630 Umarım, yalnızca bu iki ifadeyi topladığımı anladınız. 00:02:23.630 --> 00:02:25.120 - 00:02:25.120 --> 00:02:29.110 Şimdi, bu ifadenin x 1'e yaklaşırken limitini alalım. 00:02:29.110 --> 00:02:31.600 - 00:02:31.600 --> 00:02:33.010 Çünkü, bu ikisi aynı şey. 00:02:33.010 --> 00:02:35.320 İlginç bir şey görüyor muyuz? 00:02:35.320 --> 00:02:36.360 İfademiz neydi? 00:02:36.360 --> 00:02:38.810 1 çarpı 1'in doğal logaritması. 00:02:38.810 --> 00:02:43.650 1'in doğal logaritması 0. Yani, burada 0 var. Ve, bu da 0. 00:02:43.650 --> 00:02:47.200 Eksi, 1 eksi 1, yani bu da 0. 0 eksi 0 eşittir 0. 00:02:55.570 --> 00:03:00.100 Paydada ise, 1 eksi 1 eşittir 0. Çarpı 1'in doğal logaritması, ki o da 0. Yani, 0 çarpı 0 eşittir 0. 00:03:00.100 --> 00:03:00.960 İşte oldu. 00:03:00.960 --> 00:03:04.940 l'Hopital kuralı için gereken belirsizliğe ulaştım. 00:03:04.940 --> 00:03:07.110 Şimdi, bunun türevini, ötekinin türevine bölüp limit almaya çalıişacağız. 00:03:07.110 --> 00:03:09.360 - 00:03:09.360 --> 00:03:11.130 Deneyelim. 00:03:11.130 --> 00:03:15.340 Eğer limit varsa, bu limit, x 1'e yaklaşırken alacağımız şu limite eşit olacak. 00:03:15.340 --> 00:03:19.200 - 00:03:19.200 --> 00:03:22.490 Türevi morla yazayım. Payın türevi şöyle olacak. 00:03:22.490 --> 00:03:26.190 - 00:03:26.190 --> 00:03:28.590 Birinci terimde çarpım kuralını kullanalım. 00:03:28.590 --> 00:03:32.970 x'in türevi 1. O zaman, 1 çarpı, x'in doğal logaritması. Birinci terimin türevi, çarpı ikinci terim. 00:03:32.970 --> 00:03:35.920 - 00:03:35.920 --> 00:03:36.930 - 00:03:36.930 --> 00:03:39.570 Sonra da, artı, ikinci terimin türevi, 1 bölü x çarpı birinci terim. 00:03:39.570 --> 00:03:43.820 - 00:03:43.820 --> 00:03:45.430 Çarpım kuralı. 00:03:45.430 --> 00:03:47.920 Yani, 1 bölü x çarpı x, bu da 1. 00:03:47.920 --> 00:03:54.390 Ve sonra, eksi, x eksi 1'in türevi. 00:03:54.390 --> 00:03:58.450 x eksi 1'in türevi, 1, yani burası eksi 1 olacak. 00:03:58.450 --> 00:04:01.090 - 00:04:01.090 --> 00:04:08.710 Bunun tamamı, bölü paydanın türevi. 00:04:08.710 --> 00:04:11.340 O zaman, şurada, paydanın türevini alalım. 00:04:11.340 --> 00:04:16.600 Birinci terimin, x eksi 1'in, türevi, sadece 1. 00:04:16.600 --> 00:04:20.330 Bunu ikinci terimle çarpın, x'in doğal logaritmasını elde edersiniz 00:04:20.330 --> 00:04:23.520 Ve artı, ikinci terimin türevi. x'in doğal logaritmasının türevi eşittir 1 bölü x. Çarpı x eksi 1. 00:04:23.520 --> 00:04:28.350 - 00:04:28.350 --> 00:04:32.140 Bunu biraz sadeleştirebiliriz. 00:04:34.240 --> 00:04:37.270 Buradaki 1 bölü x çarpı x, 1 olur. 00:04:37.270 --> 00:04:38.580 Ondan 1 çıkaralım. 00:04:38.580 --> 00:04:40.910 Bunlar sadeleşir. 00:04:40.910 --> 00:04:45.710 Buna göre, bu limitin payı, x'in doğal logaritması olacak. Paydası da, x'in doğal logaritması artı x eksi 1, bölü x olacak. 00:04:45.710 --> 00:04:51.260 - 00:04:51.260 --> 00:04:57.160 - 00:04:57.160 --> 00:05:03.600 - 00:05:03.600 --> 00:05:05.250 Şimdi bu limiti bulalım. 00:05:05.250 --> 00:05:09.060 x 1'e yaklaşırken, x'in doğal logaritması. 1'in doğal logaritması, 0'dır. 00:05:09.060 --> 00:05:13.640 - 00:05:13.640 --> 00:05:19.720 Ve burada, 1'in doğal logaritması, yani 0. Ve artı, 1 eksi 1, bölü 1, yine 0. 00:05:19.720 --> 00:05:27.920 - 00:05:27.920 --> 00:05:28.900 - 00:05:28.900 --> 00:05:29.810 1 eksi 1 eşittir 0. 00:05:29.810 --> 00:05:30.680 Yani, 0 artı 0 elde ediyoruz. 00:05:30.680 --> 00:05:34.140 Sonuçta, tekrar, 0 bölü 0 bulduk. 00:05:34.140 --> 00:05:35.740 0 bölü 0. 00:05:35.740 --> 00:05:38.230 Tekrar l'Hopital kuralını kullanalım. 00:05:38.230 --> 00:05:39.890 Türevlerin bölümünü alalım. 00:05:39.890 --> 00:05:41.240 - 00:05:41.240 --> 00:05:44.210 Eğer bir limit bulacaksak, bu, x 1'e yaklaşırken, payın türevi, 1 bölü x. x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x'tir. Bölü paydanın türevi. 00:05:44.210 --> 00:05:51.950 - 00:05:51.950 --> 00:05:56.320 - 00:05:56.320 --> 00:06:00.340 - 00:06:00.340 --> 00:06:01.160 Paydanın türevi nedir? 00:06:01.160 --> 00:06:06.950 x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x, artı, x eksi 1, bölü x'in türevi. 00:06:06.950 --> 00:06:09.590 - 00:06:09.590 --> 00:06:13.120 Bunu şöyle düşünebiliriz: 1 bölü x, çarpı, x eksi 1. 00:06:13.120 --> 00:06:16.730 x üzeri eksi 1'in türevi, birincinin türevi çarpı ikinci, diyoruz. Ve sonra, ikincinin türevi, çarpı birinci. 00:06:16.730 --> 00:06:19.280 - 00:06:19.280 --> 00:06:20.670 - 00:06:20.670 --> 00:06:21.610 - 00:06:21.610 --> 00:06:24.980 Birinci terimin, x üzeri eksi 1, türevi, eşittir eksi x üzeri eksi 2. 00:06:24.980 --> 00:06:30.030 Çarpı ikinci terim, çarpı x eksi 1, artı ikinci terimin türevi, 1, çarpı birinci terim, 1 bölü x. 00:06:30.030 --> 00:06:34.830 - 00:06:34.830 --> 00:06:39.780 - 00:06:39.780 --> 00:06:45.060 - 00:06:45.060 --> 00:06:45.860 - 00:06:45.860 --> 00:06:47.730 - 00:06:47.730 --> 00:06:48.780 - 00:06:48.780 --> 00:06:50.710 Bunu sadeleştirelim. 00:06:50.710 --> 00:06:52.210 - 00:06:52.210 --> 00:06:58.010 x yerine 1 koyarsak, pay 1 bölü 1, yani 1 olur. Böylece, belirsizlik durumu ortadan kalkmış oldu. 00:06:58.010 --> 00:07:02.870 - 00:07:02.870 --> 00:07:05.610 - 00:07:05.610 --> 00:07:07.406 - 00:07:07.406 --> 00:07:09.480 - 00:07:09.480 --> 00:07:12.080 Payda ise, 1 bölü 1, yani 1, eksi 1 üzeri eksi 2. 00:07:12.080 --> 00:07:18.180 - 00:07:18.180 --> 00:07:21.490 1 üzeri eksi 2, 1'e eşit diyorsunuz. Yani, burası, eksi 1 olur. 00:07:21.490 --> 00:07:22.445 - 00:07:22.445 --> 00:07:24.820 Sonra bunu, 1 eksi 1'le çarpıyoruz. Bu da 0, yani tüm terim sıfırlanacak. 00:07:24.820 --> 00:07:27.100 - 00:07:27.100 --> 00:07:29.890 Ve yine, artı 1 bölü 1 var. 00:07:29.890 --> 00:07:34.090 Artı 1. O zaman, bu, 1 bölü 2'ye eşit olacak. 00:07:34.090 --> 00:07:34.990 Cevabı bulduk. 00:07:34.990 --> 00:07:37.620 Başlangıçta 0 bölü 0'a benzemeyen bir ifadenin terimlerini topladık, 0 bölü 0 elde ettik, l'Hopital kuralını uyguladık. 00:07:37.620 --> 00:07:39.050 - 00:07:39.050 --> 00:07:40.260 - 00:07:40.260 --> 00:07:44.110 Pay ve paydanın iki kere türevini aldıktan sonra, limiti bulduk. 00:07:44.110 --> 00:07:46.460 - 00:07:46.460 --> 00:07:49.180 - 00:07:49.180 --> 00:07:49.333 -