L'Hopital's Rule Example 3

Queremos calcular o limite
para x tendendo a um da

expressão x dividido por x menos
um, menos um dividido pelo

logaritmo natural de x

Vamos ver o que acontece quando nós

tentamos com um

O que acontece se avaliarmos esta
expressão para x igual a um?

Teremos um aqui, dividido por um menos um.

Teremos algo do tipo um dividido
por zero, menos um

dividido, e o que é o log natural de 1?

<i>e</i> elevado a qual potência será igual a um?

Qualquer número elevado a zero
é igual a um, então e elevado

a zero será igual a um,
então o log natural de

um será zero.

Então temos o estranho
indefinido um dividido por

zero menos um dividido por zero.

Esta é a forma indefinida bizarra.

Mas não é o tipo da forma
indeterminada precisamos

para a regra de l'Hopital.

Não teremos zero dividido
por zero, não teremos

infinito dividido por infinito.

Talvez você diga, hey Ok,
este não é um problema

para a regra de l'Hopital.

Nós temos que calcular este
limite de alguma forma.

E gostaria de dizer não desista agora.

Talvez possamos manipular
algebricamente isto de alguma forma

que nos dará a forma indeterminada
para a regra de l'Hopital, e então

poderemos aplicar a regra.

Para fazer isto, vamos
ver, o que acontece se

somarmos estas duas expressões?

Se adicionarmos estas expressões

será, o denominador comum será x

menos um vezes o logaritmo natural de x.

Apenas multipliquei os denominadores.

E o numerador será, bem se eu multiplicar

este termo inteiro pelo
log natural de x, será

x vezes o log natural de x, e
multiplicaremos este

termo inteiro por x menos um.

Então temos menos x menos um

E podemos fazermos por partes

e estas expressões são a mesma coisa.

Isto é o mesmo que x dividido por x menos
um, pois os logs naturais se cancelam

Deixe-me livrar disto.

E então isto aqui é a mesma
coisa que um dividido pelo log

natural de x, porque os termos x
menos um se cancelam.

Espero que perceba que
tudo que fiz foi adicionar

estas duas expressões.

Assim vamos ver o que acontece
se pegarmos o limite para

x tendendo a um desta expressão.

Porque são as mesmas coisas.

Conseguimos algo mais interessante?

O que temos aqui?

Temos um vezes o log natural de um.

O log natural de um é zero, logo temos
zero aqui, então aquilo é zero.

Menos um menos zero, então
será um outro zero, menos zero.

Então temos zero no numerador,
e no denominador temos

um menos um, que é zero,
vezes o log natural de um,

que é zero, então zero
vezes zero, que é zero.

E aí está.

Nós temos a forma indeterminada que
precisamos para a regra de l'Hopital,

assumindo que calculamos a
derivada disto e a dividimos

pela derivada disto,
este limite existe.

Vamos tentar.

Então isto será igual a,
se o limite existir, isto

será igual ao limite
de x tendendo a um

E vamos calcular a derivada
disto em magenta, vou

calcular a derivada deste numerador aqui.

E para este termo apenas
a regra do produto.

A derivada de x é um, e então
um vezes o log natural

de x, a derivada deste primeiro termo

vezes o segundo termo.

E teremos que adicionar a derivada do

segundo termo mais um dividido
por x vezes este primeiro termo.

É apenas a regra do produto.

Então um dividido por x
vezes x, isto é apenas um

e então temos menos a
derivada de x menos um.

A derivada de x menos
um é apenas um,

então será apenas menos um.

Então, tudo isto é dividido
pela derivada desta coisa.

Vamos calcular a derivada
deste primeiro termo.

A derivada deste primeiro termo,
de x menos um, é apenas um.

Multiplicamos pelo segundo termo,
você obterá o log natural de x.

E então mais a derivada do
segundo termo, derivada

do log natural de x é um dividido
por x, vezes x menos um.

Acredito que podemos simplificar

este um dividido por x vezes x, que é um.

Subtrairemos um disto.

Então isto cancela com isto.

Então esta expressão inteira pode
ser reescrita como o limite

com x tendendo a um, o numerador
é apenas o log natural de x,

faremos isto em magenta, e o
denominador é o log natural

de x mais x menos um dividido por x.

Vamos tentar avaliar este limite.

Se pegarmos x aproximando
do log natural de x,

isto nos dará, bem, o log
natural de um é zero.

E aqui, temos o log natural
de um, que é zero.

E mais um menos um
dividido por um, bem

isto será um outro zero.

Um menos um é zero.

E teremos zero mais zero.

Teremos zero dividido por zero novamente.

Zero dividido por zero.

Novamente aplicaremos
a regra de l'Hopital.

Vamos pegar a derivada disto, dividir pela

derivada disto.

Então se vamos calcular o limite, será

igual ao limite com x tendendo
a um da derivada

do numerador, um dividido por x,
certo, a derivada do ln de

x é um dividido por x, dividido pela
derivada do denominador.

E o que é?

A derivada do log natural de
x é um dividido por x mais

a derivada de x menos um dividido por x.

Você pode ver desta forma, como um
dividido por x vezes x menos um.

Derivada de x elevado a
menos um, nós teremos

a derivada desta primeira
vezes a segunda coisa, e

a derivada da segunda vezes

esta primeira coisa.

Então a derivada do primeiro termo,
x elevado a menos um, é

menos x elevado a menos dois vezes
o segundo termo, vezes x

menos um, mais a derivada
do segundo termo, que é

um vezes o primeiro termo,
mais um dividido por x.

E isto será igual a?

Me desculpe por este som,
se você ouviu isto.

Onde eu estava mesmo?

Vamos simplificar isto dividido aqui.

Estamos fazendo nossa regra de l'Hopital

Então isto será igual a, isto será igual a

se avaliarmos x como um, o numerador será

um dividido por um, que é um.

E definitivamente não teremos
uma indeterminação aqui

ou zero dividido por zero mais.

E o denominador será,
se avaliarmos para um,

isto é um dividido por um, que é um,
mais menos um elevado a menos dois.

E você pode dizer um elevado a menos dois,

é apenas menos um.

E você pode multiplicar este
um menos um, que é zero

e este termo inteiro será cancelado

E teremos outro um dividido por um.

Então mais um e então
isto será igual a meio.

E aí está.

Usando a regra de l'Hopital e
alguns passos, resolvemos

algo que não víamos como

zero dividido por zero.

Apenas adicionamos estes dois termos,
obtemos zero dividido por zero, calculamos

a derivada do numerador e o denominador
dois vezes em uma linha

para eventualmente obter nossos limites

Traduzido por [Rodrigo Melges]