WEBVTT

00:00:00.510 --> 00:00:08.060
Queremos calcular o limite 
para x tendendo a um da

00:00:08.060 --> 00:00:14.570
expressão x dividido por x menos 
um, menos um dividido pelo

00:00:14.570 --> 00:00:17.930
logaritmo natural de x

00:00:17.930 --> 00:00:19.900
Vamos ver o que acontece quando nós

00:00:19.900 --> 00:00:21.230
tentamos com um

00:00:21.230 --> 00:00:24.630
O que acontece se avaliarmos esta
expressão para x igual a um?

00:00:24.630 --> 00:00:30.050
Teremos um aqui, dividido por um menos um.

00:00:30.050 --> 00:00:35.040
Teremos algo do tipo um dividido
por zero, menos um

00:00:35.040 --> 00:00:37.520
dividido, e o que é o log natural de 1?

00:00:37.520 --> 00:00:40.250
<i>e</i> elevado a qual potência será igual a um?

00:00:40.250 --> 00:00:43.140
Qualquer número elevado a zero
é igual a um, então <i>e</i> elevado

00:00:43.140 --> 00:00:45.420
a zero será igual a um,
então o log natural de

00:00:45.420 --> 00:00:49.350
um será zero.

00:00:49.350 --> 00:00:51.820
Então temos o estranho
indefinido um dividido por

00:00:51.820 --> 00:00:54.300
zero menos um dividido por zero.

00:00:54.300 --> 00:00:56.370
Esta é a forma indefinida bizarra.

00:00:56.370 --> 00:00:58.760
Mas não é o tipo da forma 
indeterminada precisamos

00:00:58.760 --> 00:01:00.000
para a regra de l'Hopital.

00:01:00.000 --> 00:01:02.205
Não teremos zero dividido
por zero, não teremos

00:01:02.205 --> 00:01:03.750
infinito dividido por infinito.

00:01:03.750 --> 00:01:06.200
Talvez você diga, hey Ok,
este não é um problema

00:01:06.200 --> 00:01:07.500
para a regra de l'Hopital.

00:01:07.500 --> 00:01:09.910
Nós temos que calcular este
limite de alguma forma.

00:01:09.910 --> 00:01:13.210
E gostaria de dizer não desista agora.

00:01:13.210 --> 00:01:16.880
Talvez possamos manipular
algebricamente isto de alguma forma

00:01:16.880 --> 00:01:20.380
que nos dará a forma indeterminada 
para a regra de l'Hopital, e então

00:01:20.380 --> 00:01:22.870
poderemos aplicar a regra.

00:01:22.870 --> 00:01:24.990
Para fazer isto, vamos
ver, o que acontece se

00:01:24.990 --> 00:01:26.470
somarmos estas duas expressões?

00:01:26.470 --> 00:01:29.865
Se adicionarmos estas expressões

00:01:29.865 --> 00:01:32.160
será, o denominador comum será x

00:01:32.160 --> 00:01:36.850
menos um vezes o logaritmo natural de x.

00:01:36.850 --> 00:01:38.740
Apenas multipliquei os denominadores.

00:01:38.740 --> 00:01:43.420
E o numerador será, bem se eu multiplicar

00:01:43.420 --> 00:01:46.436
este termo inteiro pelo 
log natural de x, será

00:01:46.436 --> 00:01:51.317
x vezes o log natural de x, e 
multiplicaremos este

00:01:51.317 --> 00:01:53.534
termo inteiro por x menos um.

00:01:53.534 --> 00:01:58.761
Então temos menos x menos um

00:01:58.761 --> 00:02:00.550
E podemos fazermos por partes

00:02:00.550 --> 00:02:02.830
e estas expressões são a mesma coisa.

00:02:02.830 --> 00:02:10.660
Isto é o mesmo que x dividido por x menos
um, pois os logs naturais se cancelam

00:02:10.660 --> 00:02:12.220
Deixe-me livrar disto.

00:02:12.220 --> 00:02:18.430
E então isto aqui é a mesma 
coisa que um dividido pelo log

00:02:18.430 --> 00:02:21.510
natural de x, porque os termos x 
menos um se cancelam.

00:02:21.510 --> 00:02:23.810
Espero que perceba que
tudo que fiz foi adicionar

00:02:23.810 --> 00:02:25.120
estas duas expressões.

00:02:25.120 --> 00:02:29.110
Assim vamos ver o que acontece
se pegarmos o limite para

00:02:29.110 --> 00:02:31.600
x tendendo a um desta expressão.

00:02:31.600 --> 00:02:33.010
Porque são as mesmas coisas.

00:02:33.010 --> 00:02:35.320
Conseguimos algo mais interessante?

00:02:35.320 --> 00:02:36.360
O que temos aqui?

00:02:36.360 --> 00:02:38.810
Temos um vezes o log natural de um.

00:02:38.810 --> 00:02:43.650
O log natural de um é zero, logo temos 
zero aqui, então aquilo é zero.

00:02:43.650 --> 00:02:47.813
Menos um menos zero, então
será um outro zero, menos zero.

00:02:47.813 --> 00:02:51.908
Então temos zero no numerador,
e no denominador temos

00:02:51.908 --> 00:02:57.163
um menos um, que é zero,
vezes o log natural de um,

00:02:57.163 --> 00:02:59.960
que é zero, então zero
vezes zero, que é zero.

00:02:59.960 --> 00:03:00.960
E aí está.

00:03:00.960 --> 00:03:04.940
Nós temos a forma indeterminada que
precisamos para a regra de l'Hopital,

00:03:04.940 --> 00:03:07.550
assumindo que calculamos a
derivada disto e a dividimos

00:03:07.550 --> 00:03:09.490
pela derivada disto,
este limite existe.

00:03:09.490 --> 00:03:11.130
Vamos tentar.

00:03:11.130 --> 00:03:15.340
Então isto será igual a,
se o limite existir, isto

00:03:15.340 --> 00:03:19.200
será igual ao limite
de x tendendo a um

00:03:19.200 --> 00:03:22.490
E vamos calcular a derivada
disto em magenta, vou

00:03:22.490 --> 00:03:26.190
calcular a derivada deste numerador aqui.

00:03:26.190 --> 00:03:28.590
E para este termo apenas
a regra do produto.

00:03:28.590 --> 00:03:32.970
A derivada de x é um, e então
um vezes o log natural

00:03:32.970 --> 00:03:35.740
de x, a derivada deste primeiro termo

00:03:35.740 --> 00:03:36.930
vezes o segundo termo.

00:03:36.930 --> 00:03:39.570
E teremos que adicionar a derivada do

00:03:39.570 --> 00:03:43.820
segundo termo mais um dividido
por x vezes este primeiro termo.

00:03:43.820 --> 00:03:45.430
É apenas a regra do produto.

00:03:45.430 --> 00:03:47.920
Então um dividido por x
vezes x, isto é apenas um

00:03:47.920 --> 00:03:54.390
e então temos menos a
derivada de x menos um.

00:03:54.390 --> 00:03:58.450
A derivada de x menos
um é apenas um,

00:03:58.450 --> 00:04:01.090
então será apenas menos um.

00:04:01.090 --> 00:04:08.710
Então, tudo isto é dividido
pela derivada desta coisa.

00:04:08.710 --> 00:04:11.340
Vamos calcular a derivada
deste primeiro termo.

00:04:11.340 --> 00:04:16.600
A derivada deste primeiro termo,
de x menos um, é apenas um.

00:04:16.600 --> 00:04:20.330
Multiplicamos pelo segundo termo,
você obterá o log natural de x.

00:04:20.330 --> 00:04:23.520
E então mais a derivada do
segundo termo, derivada

00:04:23.520 --> 00:04:32.500
do log natural de x é um dividido
por x, vezes x menos um.

00:04:32.500 --> 00:04:34.310
Acredito que podemos simplificar

00:04:34.310 --> 00:04:37.270
este um dividido por x vezes x, que é um.

00:04:37.270 --> 00:04:38.580
Subtrairemos um disto.

00:04:38.580 --> 00:04:40.910
Então isto cancela com isto.

00:04:40.910 --> 00:04:45.710
Então esta expressão inteira pode
ser reescrita como o limite

00:04:45.710 --> 00:04:51.260
com x tendendo a um, o numerador
é apenas o log natural de x,

00:04:51.260 --> 00:04:57.160
faremos isto em magenta, e o
denominador é o log natural

00:04:57.160 --> 00:05:03.600
de x mais x menos um dividido por x.

00:05:03.600 --> 00:05:05.250
Vamos tentar avaliar este limite.

00:05:05.250 --> 00:05:09.060
Se pegarmos x aproximando
do log natural de x,

00:05:09.060 --> 00:05:13.640
isto nos dará, bem, o log
natural de um é zero.

00:05:13.640 --> 00:05:19.720
E aqui, temos o log natural
de um, que é zero.

00:05:19.720 --> 00:05:27.700
E mais um menos um
dividido por um, bem

00:05:27.700 --> 00:05:28.900
isto será um outro zero.

00:05:28.900 --> 00:05:29.810
Um menos um é zero.

00:05:29.810 --> 00:05:31.100
E teremos zero mais zero.

00:05:31.100 --> 00:05:34.140
Teremos zero dividido por zero novamente.

00:05:34.140 --> 00:05:35.740
Zero dividido por zero.

00:05:35.740 --> 00:05:38.230
Novamente aplicaremos
a regra de l'Hopital.

00:05:38.230 --> 00:05:40.230
Vamos pegar a derivada disto, dividir pela

00:05:40.230 --> 00:05:41.240
derivada disto.

00:05:41.240 --> 00:05:44.210
Então se vamos calcular o limite, será

00:05:44.210 --> 00:05:51.950
igual ao limite com x tendendo
a um da derivada

00:05:51.950 --> 00:05:56.320
do numerador, um dividido por x,
certo, a derivada do ln de

00:05:56.320 --> 00:06:00.340
x é um dividido por x, dividido pela
derivada do denominador.

00:06:00.340 --> 00:06:01.160
E o que é?

00:06:01.160 --> 00:06:06.950
A derivada do log natural de
x é um dividido por x mais

00:06:06.950 --> 00:06:09.590
a derivada de x menos um dividido por x.

00:06:09.590 --> 00:06:13.120
Você pode ver desta forma, como um
dividido por x vezes x menos um.

00:06:13.120 --> 00:06:16.730
Derivada de x elevado a
menos um, nós teremos

00:06:16.730 --> 00:06:19.280
a derivada desta primeira
vezes a segunda coisa, e

00:06:19.280 --> 00:06:20.670
a derivada da segunda vezes

00:06:20.670 --> 00:06:21.740
esta primeira coisa.

00:06:21.740 --> 00:06:24.980
Então a derivada do primeiro termo,
x elevado a menos um, é

00:06:24.980 --> 00:06:30.030
menos x elevado a menos dois vezes
o segundo termo, vezes x

00:06:30.030 --> 00:06:34.830
menos um, mais a derivada
do segundo termo, que é

00:06:34.830 --> 00:06:39.780
um vezes o primeiro termo,
mais um dividido por x.

00:06:39.780 --> 00:06:43.490
E isto será igual a?

00:06:43.490 --> 00:06:47.730
Me desculpe por este som,
se você ouviu isto.

00:06:47.730 --> 00:06:48.780
Onde eu estava mesmo?

00:06:48.780 --> 00:06:50.670
Vamos simplificar isto dividido aqui.

00:06:50.670 --> 00:06:52.590
Estamos fazendo nossa regra de l'Hopital

00:06:52.590 --> 00:06:58.430
Então isto será igual a, isto será igual a

00:06:58.430 --> 00:07:02.870
se avaliarmos x como um, o numerador será

00:07:02.870 --> 00:07:05.420
um dividido por um, que é um.

00:07:05.420 --> 00:07:07.946
E definitivamente não teremos
uma indeterminação aqui

00:07:07.946 --> 00:07:09.480
ou zero dividido por zero mais.

00:07:09.480 --> 00:07:12.080
E o denominador será,
se avaliarmos para um,

00:07:12.080 --> 00:07:18.180
isto é um dividido por um, que é um,
mais menos um elevado a menos dois.

00:07:18.180 --> 00:07:21.490
E você pode dizer um elevado a menos dois,

00:07:21.490 --> 00:07:22.445
é apenas menos um.

00:07:22.445 --> 00:07:25.110
E você pode multiplicar este
um menos um, que é zero

00:07:25.110 --> 00:07:27.100
e este termo inteiro será cancelado

00:07:27.100 --> 00:07:29.890
E teremos outro um dividido por um.

00:07:29.890 --> 00:07:34.090
Então mais um e então
isto será igual a meio.

00:07:34.090 --> 00:07:34.990
E aí está.

00:07:34.990 --> 00:07:37.620
Usando a regra de l'Hopital e
alguns passos, resolvemos

00:07:37.620 --> 00:07:39.050
algo que não víamos como

00:07:39.050 --> 00:07:40.260
zero dividido por zero.

00:07:40.260 --> 00:07:44.110
Apenas adicionamos estes dois termos,
obtemos zero dividido por zero, calculamos

00:07:44.110 --> 00:07:47.230
a derivada do numerador e o denominador
dois vezes em uma linha

00:07:47.230 --> 00:07:49.180
para eventualmente obter nossos limites

00:07:49.180 --> 00:07:50.000
Traduzido por [Rodrigo Melges]