Queremos calcular o limite para x tendendo a um da
expressão x dividido por x menos um, menos um dividido pelo
logaritmo natural de x
Vamos ver o que acontece quando nós
tentamos com um
O que acontece se avaliarmos esta expressão para x igual a um?
Teremos um aqui, dividido por um menos um.
Teremos algo do tipo um dividido por zero, menos um
dividido, e o que é o log natural de 1?
e elevado a qual potência será igual a um?
Qualquer número elevado a zero é igual a um, então e elevado
a zero será igual a um, então o log natural de
um será zero.
Então temos o estranho indefinido um dividido por
zero menos um dividido por zero.
Esta é a forma indefinida bizarra.
Mas não é o tipo da forma indeterminada precisamos
para a regra de l'Hopital.
Não teremos zero dividido por zero, não teremos
infinito dividido por infinito.
Talvez você diga, hey Ok, este não é um problema
para a regra de l'Hopital.
Nós temos que calcular este limite de alguma forma.
E gostaria de dizer não desista agora.
Talvez possamos manipular algebricamente isto de alguma forma
que nos dará a forma indeterminada para a regra de l'Hopital, e então
poderemos aplicar a regra.
Para fazer isto, vamos ver, o que acontece se
somarmos estas duas expressões?
Se adicionarmos estas expressões
será, o denominador comum será x
menos um vezes o logaritmo natural de x.
Apenas multipliquei os denominadores.
E o numerador será, bem se eu multiplicar
este termo inteiro pelo log natural de x, será
x vezes o log natural de x, e multiplicaremos este
termo inteiro por x menos um.
Então temos menos x menos um
E podemos fazermos por partes
e estas expressões são a mesma coisa.
Isto é o mesmo que x dividido por x menos um, pois os logs naturais se cancelam
Deixe-me livrar disto.
E então isto aqui é a mesma coisa que um dividido pelo log
natural de x, porque os termos x menos um se cancelam.
Espero que perceba que tudo que fiz foi adicionar
estas duas expressões.
Assim vamos ver o que acontece se pegarmos o limite para
x tendendo a um desta expressão.
Porque são as mesmas coisas.
Conseguimos algo mais interessante?
O que temos aqui?
Temos um vezes o log natural de um.
O log natural de um é zero, logo temos zero aqui, então aquilo é zero.
Menos um menos zero, então será um outro zero, menos zero.
Então temos zero no numerador, e no denominador temos
um menos um, que é zero, vezes o log natural de um,
que é zero, então zero vezes zero, que é zero.
E aí está.
Nós temos a forma indeterminada que precisamos para a regra de l'Hopital,
assumindo que calculamos a derivada disto e a dividimos
pela derivada disto, este limite existe.
Vamos tentar.
Então isto será igual a, se o limite existir, isto
será igual ao limite de x tendendo a um
E vamos calcular a derivada disto em magenta, vou
calcular a derivada deste numerador aqui.
E para este termo apenas a regra do produto.
A derivada de x é um, e então um vezes o log natural
de x, a derivada deste primeiro termo
vezes o segundo termo.
E teremos que adicionar a derivada do
segundo termo mais um dividido por x vezes este primeiro termo.
É apenas a regra do produto.
Então um dividido por x vezes x, isto é apenas um
e então temos menos a derivada de x menos um.
A derivada de x menos um é apenas um,
então será apenas menos um.
Então, tudo isto é dividido pela derivada desta coisa.
Vamos calcular a derivada deste primeiro termo.
A derivada deste primeiro termo, de x menos um, é apenas um.
Multiplicamos pelo segundo termo, você obterá o log natural de x.
E então mais a derivada do segundo termo, derivada
do log natural de x é um dividido por x, vezes x menos um.
Acredito que podemos simplificar
este um dividido por x vezes x, que é um.
Subtrairemos um disto.
Então isto cancela com isto.
Então esta expressão inteira pode ser reescrita como o limite
com x tendendo a um, o numerador é apenas o log natural de x,
faremos isto em magenta, e o denominador é o log natural
de x mais x menos um dividido por x.
Vamos tentar avaliar este limite.
Se pegarmos x aproximando do log natural de x,
isto nos dará, bem, o log natural de um é zero.
E aqui, temos o log natural de um, que é zero.
E mais um menos um dividido por um, bem
isto será um outro zero.
Um menos um é zero.
E teremos zero mais zero.
Teremos zero dividido por zero novamente.
Zero dividido por zero.
Novamente aplicaremos a regra de l'Hopital.
Vamos pegar a derivada disto, dividir pela
derivada disto.
Então se vamos calcular o limite, será
igual ao limite com x tendendo a um da derivada
do numerador, um dividido por x, certo, a derivada do ln de
x é um dividido por x, dividido pela derivada do denominador.
E o que é?
A derivada do log natural de x é um dividido por x mais
a derivada de x menos um dividido por x.
Você pode ver desta forma, como um dividido por x vezes x menos um.
Derivada de x elevado a menos um, nós teremos
a derivada desta primeira vezes a segunda coisa, e
a derivada da segunda vezes
esta primeira coisa.
Então a derivada do primeiro termo, x elevado a menos um, é
menos x elevado a menos dois vezes o segundo termo, vezes x
menos um, mais a derivada do segundo termo, que é
um vezes o primeiro termo, mais um dividido por x.
E isto será igual a?
Me desculpe por este som, se você ouviu isto.
Onde eu estava mesmo?
Vamos simplificar isto dividido aqui.
Estamos fazendo nossa regra de l'Hopital
Então isto será igual a, isto será igual a
se avaliarmos x como um, o numerador será
um dividido por um, que é um.
E definitivamente não teremos uma indeterminação aqui
ou zero dividido por zero mais.
E o denominador será, se avaliarmos para um,
isto é um dividido por um, que é um, mais menos um elevado a menos dois.
E você pode dizer um elevado a menos dois,
é apenas menos um.
E você pode multiplicar este um menos um, que é zero
e este termo inteiro será cancelado
E teremos outro um dividido por um.
Então mais um e então isto será igual a meio.
E aí está.
Usando a regra de l'Hopital e alguns passos, resolvemos
algo que não víamos como
zero dividido por zero.
Apenas adicionamos estes dois termos, obtemos zero dividido por zero, calculamos
a derivada do numerador e o denominador dois vezes em uma linha
para eventualmente obter nossos limites
Traduzido por [Rodrigo Melges]