1
00:00:00,510 --> 00:00:08,060
Queremos calcular o limite
para x tendendo a um da
2
00:00:08,060 --> 00:00:14,570
expressão x dividido por x menos
um, menos um dividido pelo
3
00:00:14,570 --> 00:00:17,930
logaritmo natural de x
4
00:00:17,930 --> 00:00:19,900
Vamos ver o que acontece quando nós
5
00:00:19,900 --> 00:00:21,230
tentamos com um
6
00:00:21,230 --> 00:00:24,630
O que acontece se avaliarmos esta
expressão para x igual a um?
7
00:00:24,630 --> 00:00:30,050
Teremos um aqui, dividido por um menos um.
8
00:00:30,050 --> 00:00:35,040
Teremos algo do tipo um dividido
por zero, menos um
9
00:00:35,040 --> 00:00:37,520
dividido, e o que é o log natural de 1?
10
00:00:37,520 --> 00:00:40,250
e elevado a qual potência será igual a um?
11
00:00:40,250 --> 00:00:43,140
Qualquer número elevado a zero
é igual a um, então e elevado
12
00:00:43,140 --> 00:00:45,420
a zero será igual a um,
então o log natural de
13
00:00:45,420 --> 00:00:49,350
um será zero.
14
00:00:49,350 --> 00:00:51,820
Então temos o estranho
indefinido um dividido por
15
00:00:51,820 --> 00:00:54,300
zero menos um dividido por zero.
16
00:00:54,300 --> 00:00:56,370
Esta é a forma indefinida bizarra.
17
00:00:56,370 --> 00:00:58,760
Mas não é o tipo da forma
indeterminada precisamos
18
00:00:58,760 --> 00:01:00,000
para a regra de l'Hopital.
19
00:01:00,000 --> 00:01:02,205
Não teremos zero dividido
por zero, não teremos
20
00:01:02,205 --> 00:01:03,750
infinito dividido por infinito.
21
00:01:03,750 --> 00:01:06,200
Talvez você diga, hey Ok,
este não é um problema
22
00:01:06,200 --> 00:01:07,500
para a regra de l'Hopital.
23
00:01:07,500 --> 00:01:09,910
Nós temos que calcular este
limite de alguma forma.
24
00:01:09,910 --> 00:01:13,210
E gostaria de dizer não desista agora.
25
00:01:13,210 --> 00:01:16,880
Talvez possamos manipular
algebricamente isto de alguma forma
26
00:01:16,880 --> 00:01:20,380
que nos dará a forma indeterminada
para a regra de l'Hopital, e então
27
00:01:20,380 --> 00:01:22,870
poderemos aplicar a regra.
28
00:01:22,870 --> 00:01:24,990
Para fazer isto, vamos
ver, o que acontece se
29
00:01:24,990 --> 00:01:26,470
somarmos estas duas expressões?
30
00:01:26,470 --> 00:01:29,865
Se adicionarmos estas expressões
31
00:01:29,865 --> 00:01:32,160
será, o denominador comum será x
32
00:01:32,160 --> 00:01:36,850
menos um vezes o logaritmo natural de x.
33
00:01:36,850 --> 00:01:38,740
Apenas multipliquei os denominadores.
34
00:01:38,740 --> 00:01:43,420
E o numerador será, bem se eu multiplicar
35
00:01:43,420 --> 00:01:46,436
este termo inteiro pelo
log natural de x, será
36
00:01:46,436 --> 00:01:51,317
x vezes o log natural de x, e
multiplicaremos este
37
00:01:51,317 --> 00:01:53,534
termo inteiro por x menos um.
38
00:01:53,534 --> 00:01:58,761
Então temos menos x menos um
39
00:01:58,761 --> 00:02:00,550
E podemos fazermos por partes
40
00:02:00,550 --> 00:02:02,830
e estas expressões são a mesma coisa.
41
00:02:02,830 --> 00:02:10,660
Isto é o mesmo que x dividido por x menos
um, pois os logs naturais se cancelam
42
00:02:10,660 --> 00:02:12,220
Deixe-me livrar disto.
43
00:02:12,220 --> 00:02:18,430
E então isto aqui é a mesma
coisa que um dividido pelo log
44
00:02:18,430 --> 00:02:21,510
natural de x, porque os termos x
menos um se cancelam.
45
00:02:21,510 --> 00:02:23,810
Espero que perceba que
tudo que fiz foi adicionar
46
00:02:23,810 --> 00:02:25,120
estas duas expressões.
47
00:02:25,120 --> 00:02:29,110
Assim vamos ver o que acontece
se pegarmos o limite para
48
00:02:29,110 --> 00:02:31,600
x tendendo a um desta expressão.
49
00:02:31,600 --> 00:02:33,010
Porque são as mesmas coisas.
50
00:02:33,010 --> 00:02:35,320
Conseguimos algo mais interessante?
51
00:02:35,320 --> 00:02:36,360
O que temos aqui?
52
00:02:36,360 --> 00:02:38,810
Temos um vezes o log natural de um.
53
00:02:38,810 --> 00:02:43,650
O log natural de um é zero, logo temos
zero aqui, então aquilo é zero.
54
00:02:43,650 --> 00:02:47,813
Menos um menos zero, então
será um outro zero, menos zero.
55
00:02:47,813 --> 00:02:51,908
Então temos zero no numerador,
e no denominador temos
56
00:02:51,908 --> 00:02:57,163
um menos um, que é zero,
vezes o log natural de um,
57
00:02:57,163 --> 00:02:59,960
que é zero, então zero
vezes zero, que é zero.
58
00:02:59,960 --> 00:03:00,960
E aí está.
59
00:03:00,960 --> 00:03:04,940
Nós temos a forma indeterminada que
precisamos para a regra de l'Hopital,
60
00:03:04,940 --> 00:03:07,550
assumindo que calculamos a
derivada disto e a dividimos
61
00:03:07,550 --> 00:03:09,490
pela derivada disto,
este limite existe.
62
00:03:09,490 --> 00:03:11,130
Vamos tentar.
63
00:03:11,130 --> 00:03:15,340
Então isto será igual a,
se o limite existir, isto
64
00:03:15,340 --> 00:03:19,200
será igual ao limite
de x tendendo a um
65
00:03:19,200 --> 00:03:22,490
E vamos calcular a derivada
disto em magenta, vou
66
00:03:22,490 --> 00:03:26,190
calcular a derivada deste numerador aqui.
67
00:03:26,190 --> 00:03:28,590
E para este termo apenas
a regra do produto.
68
00:03:28,590 --> 00:03:32,970
A derivada de x é um, e então
um vezes o log natural
69
00:03:32,970 --> 00:03:35,740
de x, a derivada deste primeiro termo
70
00:03:35,740 --> 00:03:36,930
vezes o segundo termo.
71
00:03:36,930 --> 00:03:39,570
E teremos que adicionar a derivada do
72
00:03:39,570 --> 00:03:43,820
segundo termo mais um dividido
por x vezes este primeiro termo.
73
00:03:43,820 --> 00:03:45,430
É apenas a regra do produto.
74
00:03:45,430 --> 00:03:47,920
Então um dividido por x
vezes x, isto é apenas um
75
00:03:47,920 --> 00:03:54,390
e então temos menos a
derivada de x menos um.
76
00:03:54,390 --> 00:03:58,450
A derivada de x menos
um é apenas um,
77
00:03:58,450 --> 00:04:01,090
então será apenas menos um.
78
00:04:01,090 --> 00:04:08,710
Então, tudo isto é dividido
pela derivada desta coisa.
79
00:04:08,710 --> 00:04:11,340
Vamos calcular a derivada
deste primeiro termo.
80
00:04:11,340 --> 00:04:16,600
A derivada deste primeiro termo,
de x menos um, é apenas um.
81
00:04:16,600 --> 00:04:20,330
Multiplicamos pelo segundo termo,
você obterá o log natural de x.
82
00:04:20,330 --> 00:04:23,520
E então mais a derivada do
segundo termo, derivada
83
00:04:23,520 --> 00:04:32,500
do log natural de x é um dividido
por x, vezes x menos um.
84
00:04:32,500 --> 00:04:34,310
Acredito que podemos simplificar
85
00:04:34,310 --> 00:04:37,270
este um dividido por x vezes x, que é um.
86
00:04:37,270 --> 00:04:38,580
Subtrairemos um disto.
87
00:04:38,580 --> 00:04:40,910
Então isto cancela com isto.
88
00:04:40,910 --> 00:04:45,710
Então esta expressão inteira pode
ser reescrita como o limite
89
00:04:45,710 --> 00:04:51,260
com x tendendo a um, o numerador
é apenas o log natural de x,
90
00:04:51,260 --> 00:04:57,160
faremos isto em magenta, e o
denominador é o log natural
91
00:04:57,160 --> 00:05:03,600
de x mais x menos um dividido por x.
92
00:05:03,600 --> 00:05:05,250
Vamos tentar avaliar este limite.
93
00:05:05,250 --> 00:05:09,060
Se pegarmos x aproximando
do log natural de x,
94
00:05:09,060 --> 00:05:13,640
isto nos dará, bem, o log
natural de um é zero.
95
00:05:13,640 --> 00:05:19,720
E aqui, temos o log natural
de um, que é zero.
96
00:05:19,720 --> 00:05:27,700
E mais um menos um
dividido por um, bem
97
00:05:27,700 --> 00:05:28,900
isto será um outro zero.
98
00:05:28,900 --> 00:05:29,810
Um menos um é zero.
99
00:05:29,810 --> 00:05:31,100
E teremos zero mais zero.
100
00:05:31,100 --> 00:05:34,140
Teremos zero dividido por zero novamente.
101
00:05:34,140 --> 00:05:35,740
Zero dividido por zero.
102
00:05:35,740 --> 00:05:38,230
Novamente aplicaremos
a regra de l'Hopital.
103
00:05:38,230 --> 00:05:40,230
Vamos pegar a derivada disto, dividir pela
104
00:05:40,230 --> 00:05:41,240
derivada disto.
105
00:05:41,240 --> 00:05:44,210
Então se vamos calcular o limite, será
106
00:05:44,210 --> 00:05:51,950
igual ao limite com x tendendo
a um da derivada
107
00:05:51,950 --> 00:05:56,320
do numerador, um dividido por x,
certo, a derivada do ln de
108
00:05:56,320 --> 00:06:00,340
x é um dividido por x, dividido pela
derivada do denominador.
109
00:06:00,340 --> 00:06:01,160
E o que é?
110
00:06:01,160 --> 00:06:06,950
A derivada do log natural de
x é um dividido por x mais
111
00:06:06,950 --> 00:06:09,590
a derivada de x menos um dividido por x.
112
00:06:09,590 --> 00:06:13,120
Você pode ver desta forma, como um
dividido por x vezes x menos um.
113
00:06:13,120 --> 00:06:16,730
Derivada de x elevado a
menos um, nós teremos
114
00:06:16,730 --> 00:06:19,280
a derivada desta primeira
vezes a segunda coisa, e
115
00:06:19,280 --> 00:06:20,670
a derivada da segunda vezes
116
00:06:20,670 --> 00:06:21,740
esta primeira coisa.
117
00:06:21,740 --> 00:06:24,980
Então a derivada do primeiro termo,
x elevado a menos um, é
118
00:06:24,980 --> 00:06:30,030
menos x elevado a menos dois vezes
o segundo termo, vezes x
119
00:06:30,030 --> 00:06:34,830
menos um, mais a derivada
do segundo termo, que é
120
00:06:34,830 --> 00:06:39,780
um vezes o primeiro termo,
mais um dividido por x.
121
00:06:39,780 --> 00:06:43,490
E isto será igual a?
122
00:06:43,490 --> 00:06:47,730
Me desculpe por este som,
se você ouviu isto.
123
00:06:47,730 --> 00:06:48,780
Onde eu estava mesmo?
124
00:06:48,780 --> 00:06:50,670
Vamos simplificar isto dividido aqui.
125
00:06:50,670 --> 00:06:52,590
Estamos fazendo nossa regra de l'Hopital
126
00:06:52,590 --> 00:06:58,430
Então isto será igual a, isto será igual a
127
00:06:58,430 --> 00:07:02,870
se avaliarmos x como um, o numerador será
128
00:07:02,870 --> 00:07:05,420
um dividido por um, que é um.
129
00:07:05,420 --> 00:07:07,946
E definitivamente não teremos
uma indeterminação aqui
130
00:07:07,946 --> 00:07:09,480
ou zero dividido por zero mais.
131
00:07:09,480 --> 00:07:12,080
E o denominador será,
se avaliarmos para um,
132
00:07:12,080 --> 00:07:18,180
isto é um dividido por um, que é um,
mais menos um elevado a menos dois.
133
00:07:18,180 --> 00:07:21,490
E você pode dizer um elevado a menos dois,
134
00:07:21,490 --> 00:07:22,445
é apenas menos um.
135
00:07:22,445 --> 00:07:25,110
E você pode multiplicar este
um menos um, que é zero
136
00:07:25,110 --> 00:07:27,100
e este termo inteiro será cancelado
137
00:07:27,100 --> 00:07:29,890
E teremos outro um dividido por um.
138
00:07:29,890 --> 00:07:34,090
Então mais um e então
isto será igual a meio.
139
00:07:34,090 --> 00:07:34,990
E aí está.
140
00:07:34,990 --> 00:07:37,620
Usando a regra de l'Hopital e
alguns passos, resolvemos
141
00:07:37,620 --> 00:07:39,050
algo que não víamos como
142
00:07:39,050 --> 00:07:40,260
zero dividido por zero.
143
00:07:40,260 --> 00:07:44,110
Apenas adicionamos estes dois termos,
obtemos zero dividido por zero, calculamos
144
00:07:44,110 --> 00:07:47,230
a derivada do numerador e o denominador
dois vezes em uma linha
145
00:07:47,230 --> 00:07:49,180
para eventualmente obter nossos limites
146
00:07:49,180 --> 00:07:50,000
Traduzido por [Rodrigo Melges]