0:00:00.510,0:00:08.060 Queremos calcular o limite [br]para x tendendo a um da 0:00:08.060,0:00:14.570 expressão x dividido por x menos [br]um, menos um dividido pelo 0:00:14.570,0:00:17.930 logaritmo natural de x 0:00:17.930,0:00:19.900 Vamos ver o que acontece quando nós 0:00:19.900,0:00:21.230 tentamos com um 0:00:21.230,0:00:24.630 O que acontece se avaliarmos esta[br]expressão para x igual a um? 0:00:24.630,0:00:30.050 Teremos um aqui, dividido por um menos um. 0:00:30.050,0:00:35.040 Teremos algo do tipo um dividido[br]por zero, menos um 0:00:35.040,0:00:37.520 dividido, e o que é o log natural de 1? 0:00:37.520,0:00:40.250 <i>e</i> elevado a qual potência será igual a um? 0:00:40.250,0:00:43.140 Qualquer número elevado a zero[br]é igual a um, então e elevado 0:00:43.140,0:00:45.420 a zero será igual a um,[br]então o log natural de 0:00:45.420,0:00:49.350 um será zero. 0:00:49.350,0:00:51.820 Então temos o estranho[br]indefinido um dividido por 0:00:51.820,0:00:54.300 zero menos um dividido por zero. 0:00:54.300,0:00:56.370 Esta é a forma indefinida bizarra. 0:00:56.370,0:00:58.760 Mas não é o tipo da forma [br]indeterminada precisamos 0:00:58.760,0:01:00.000 para a regra de l'Hopital. 0:01:00.000,0:01:02.205 Não teremos zero dividido[br]por zero, não teremos 0:01:02.205,0:01:03.750 infinito dividido por infinito. 0:01:03.750,0:01:06.200 Talvez você diga, hey Ok,[br]este não é um problema 0:01:06.200,0:01:07.500 para a regra de l'Hopital. 0:01:07.500,0:01:09.910 Nós temos que calcular este[br]limite de alguma forma. 0:01:09.910,0:01:13.210 E gostaria de dizer não desista agora. 0:01:13.210,0:01:16.880 Talvez possamos manipular[br]algebricamente isto de alguma forma 0:01:16.880,0:01:20.380 que nos dará a forma indeterminada [br]para a regra de l'Hopital, e então 0:01:20.380,0:01:22.870 poderemos aplicar a regra. 0:01:22.870,0:01:24.990 Para fazer isto, vamos[br]ver, o que acontece se 0:01:24.990,0:01:26.470 somarmos estas duas expressões? 0:01:26.470,0:01:29.865 Se adicionarmos estas expressões 0:01:29.865,0:01:32.160 será, o denominador comum será x 0:01:32.160,0:01:36.850 menos um vezes o logaritmo natural de x. 0:01:36.850,0:01:38.740 Apenas multipliquei os denominadores. 0:01:38.740,0:01:43.420 E o numerador será, bem se eu multiplicar 0:01:43.420,0:01:46.436 este termo inteiro pelo [br]log natural de x, será 0:01:46.436,0:01:51.317 x vezes o log natural de x, e [br]multiplicaremos este 0:01:51.317,0:01:53.534 termo inteiro por x menos um. 0:01:53.534,0:01:58.761 Então temos menos x menos um 0:01:58.761,0:02:00.550 E podemos fazermos por partes 0:02:00.550,0:02:02.830 e estas expressões são a mesma coisa. 0:02:02.830,0:02:10.660 Isto é o mesmo que x dividido por x menos[br]um, pois os logs naturais se cancelam 0:02:10.660,0:02:12.220 Deixe-me livrar disto. 0:02:12.220,0:02:18.430 E então isto aqui é a mesma [br]coisa que um dividido pelo log 0:02:18.430,0:02:21.510 natural de x, porque os termos x [br]menos um se cancelam. 0:02:21.510,0:02:23.810 Espero que perceba que[br]tudo que fiz foi adicionar 0:02:23.810,0:02:25.120 estas duas expressões. 0:02:25.120,0:02:29.110 Assim vamos ver o que acontece[br]se pegarmos o limite para 0:02:29.110,0:02:31.600 x tendendo a um desta expressão. 0:02:31.600,0:02:33.010 Porque são as mesmas coisas. 0:02:33.010,0:02:35.320 Conseguimos algo mais interessante? 0:02:35.320,0:02:36.360 O que temos aqui? 0:02:36.360,0:02:38.810 Temos um vezes o log natural de um. 0:02:38.810,0:02:43.650 O log natural de um é zero, logo temos [br]zero aqui, então aquilo é zero. 0:02:43.650,0:02:47.813 Menos um menos zero, então[br]será um outro zero, menos zero. 0:02:47.813,0:02:51.908 Então temos zero no numerador,[br]e no denominador temos 0:02:51.908,0:02:57.163 um menos um, que é zero,[br]vezes o log natural de um, 0:02:57.163,0:02:59.960 que é zero, então zero[br]vezes zero, que é zero. 0:02:59.960,0:03:00.960 E aí está. 0:03:00.960,0:03:04.940 Nós temos a forma indeterminada que[br]precisamos para a regra de l'Hopital, 0:03:04.940,0:03:07.550 assumindo que calculamos a[br]derivada disto e a dividimos 0:03:07.550,0:03:09.490 pela derivada disto,[br]este limite existe. 0:03:09.490,0:03:11.130 Vamos tentar. 0:03:11.130,0:03:15.340 Então isto será igual a,[br]se o limite existir, isto 0:03:15.340,0:03:19.200 será igual ao limite[br]de x tendendo a um 0:03:19.200,0:03:22.490 E vamos calcular a derivada[br]disto em magenta, vou 0:03:22.490,0:03:26.190 calcular a derivada deste numerador aqui. 0:03:26.190,0:03:28.590 E para este termo apenas[br]a regra do produto. 0:03:28.590,0:03:32.970 A derivada de x é um, e então[br]um vezes o log natural 0:03:32.970,0:03:35.740 de x, a derivada deste primeiro termo 0:03:35.740,0:03:36.930 vezes o segundo termo. 0:03:36.930,0:03:39.570 E teremos que adicionar a derivada do 0:03:39.570,0:03:43.820 segundo termo mais um dividido[br]por x vezes este primeiro termo. 0:03:43.820,0:03:45.430 É apenas a regra do produto. 0:03:45.430,0:03:47.920 Então um dividido por x[br]vezes x, isto é apenas um 0:03:47.920,0:03:54.390 e então temos menos a[br]derivada de x menos um. 0:03:54.390,0:03:58.450 A derivada de x menos[br]um é apenas um, 0:03:58.450,0:04:01.090 então será apenas menos um. 0:04:01.090,0:04:08.710 Então, tudo isto é dividido[br]pela derivada desta coisa. 0:04:08.710,0:04:11.340 Vamos calcular a derivada[br]deste primeiro termo. 0:04:11.340,0:04:16.600 A derivada deste primeiro termo,[br]de x menos um, é apenas um. 0:04:16.600,0:04:20.330 Multiplicamos pelo segundo termo,[br]você obterá o log natural de x. 0:04:20.330,0:04:23.520 E então mais a derivada do[br]segundo termo, derivada 0:04:23.520,0:04:32.500 do log natural de x é um dividido[br]por x, vezes x menos um. 0:04:32.500,0:04:34.310 Acredito que podemos simplificar 0:04:34.310,0:04:37.270 este um dividido por x vezes x, que é um. 0:04:37.270,0:04:38.580 Subtrairemos um disto. 0:04:38.580,0:04:40.910 Então isto cancela com isto. 0:04:40.910,0:04:45.710 Então esta expressão inteira pode[br]ser reescrita como o limite 0:04:45.710,0:04:51.260 com x tendendo a um, o numerador[br]é apenas o log natural de x, 0:04:51.260,0:04:57.160 faremos isto em magenta, e o[br]denominador é o log natural 0:04:57.160,0:05:03.600 de x mais x menos um dividido por x. 0:05:03.600,0:05:05.250 Vamos tentar avaliar este limite. 0:05:05.250,0:05:09.060 Se pegarmos x aproximando[br]do log natural de x, 0:05:09.060,0:05:13.640 isto nos dará, bem, o log[br]natural de um é zero. 0:05:13.640,0:05:19.720 E aqui, temos o log natural[br]de um, que é zero. 0:05:19.720,0:05:27.700 E mais um menos um[br]dividido por um, bem 0:05:27.700,0:05:28.900 isto será um outro zero. 0:05:28.900,0:05:29.810 Um menos um é zero. 0:05:29.810,0:05:31.100 E teremos zero mais zero. 0:05:31.100,0:05:34.140 Teremos zero dividido por zero novamente. 0:05:34.140,0:05:35.740 Zero dividido por zero. 0:05:35.740,0:05:38.230 Novamente aplicaremos[br]a regra de l'Hopital. 0:05:38.230,0:05:40.230 Vamos pegar a derivada disto, dividir pela 0:05:40.230,0:05:41.240 derivada disto. 0:05:41.240,0:05:44.210 Então se vamos calcular o limite, será 0:05:44.210,0:05:51.950 igual ao limite com x tendendo[br]a um da derivada 0:05:51.950,0:05:56.320 do numerador, um dividido por x,[br]certo, a derivada do ln de 0:05:56.320,0:06:00.340 x é um dividido por x, dividido pela[br]derivada do denominador. 0:06:00.340,0:06:01.160 E o que é? 0:06:01.160,0:06:06.950 A derivada do log natural de[br]x é um dividido por x mais 0:06:06.950,0:06:09.590 a derivada de x menos um dividido por x. 0:06:09.590,0:06:13.120 Você pode ver desta forma, como um[br]dividido por x vezes x menos um. 0:06:13.120,0:06:16.730 Derivada de x elevado a[br]menos um, nós teremos 0:06:16.730,0:06:19.280 a derivada desta primeira[br]vezes a segunda coisa, e 0:06:19.280,0:06:20.670 a derivada da segunda vezes 0:06:20.670,0:06:21.740 esta primeira coisa. 0:06:21.740,0:06:24.980 Então a derivada do primeiro termo,[br]x elevado a menos um, é 0:06:24.980,0:06:30.030 menos x elevado a menos dois vezes[br]o segundo termo, vezes x 0:06:30.030,0:06:34.830 menos um, mais a derivada[br]do segundo termo, que é 0:06:34.830,0:06:39.780 um vezes o primeiro termo,[br]mais um dividido por x. 0:06:39.780,0:06:43.490 E isto será igual a? 0:06:43.490,0:06:47.730 Me desculpe por este som,[br]se você ouviu isto. 0:06:47.730,0:06:48.780 Onde eu estava mesmo? 0:06:48.780,0:06:50.670 Vamos simplificar isto dividido aqui. 0:06:50.670,0:06:52.590 Estamos fazendo nossa regra de l'Hopital 0:06:52.590,0:06:58.430 Então isto será igual a, isto será igual a 0:06:58.430,0:07:02.870 se avaliarmos x como um, o numerador será 0:07:02.870,0:07:05.420 um dividido por um, que é um. 0:07:05.420,0:07:07.946 E definitivamente não teremos[br]uma indeterminação aqui 0:07:07.946,0:07:09.480 ou zero dividido por zero mais. 0:07:09.480,0:07:12.080 E o denominador será,[br]se avaliarmos para um, 0:07:12.080,0:07:18.180 isto é um dividido por um, que é um,[br]mais menos um elevado a menos dois. 0:07:18.180,0:07:21.490 E você pode dizer um elevado a menos dois, 0:07:21.490,0:07:22.445 é apenas menos um. 0:07:22.445,0:07:25.110 E você pode multiplicar este[br]um menos um, que é zero 0:07:25.110,0:07:27.100 e este termo inteiro será cancelado 0:07:27.100,0:07:29.890 E teremos outro um dividido por um. 0:07:29.890,0:07:34.090 Então mais um e então[br]isto será igual a meio. 0:07:34.090,0:07:34.990 E aí está. 0:07:34.990,0:07:37.620 Usando a regra de l'Hopital e[br]alguns passos, resolvemos 0:07:37.620,0:07:39.050 algo que não víamos como 0:07:39.050,0:07:40.260 zero dividido por zero. 0:07:40.260,0:07:44.110 Apenas adicionamos estes dois termos,[br]obtemos zero dividido por zero, calculamos 0:07:44.110,0:07:47.230 a derivada do numerador e o denominador[br]dois vezes em uma linha 0:07:47.230,0:07:49.180 para eventualmente obter nossos limites 0:07:49.180,0:07:50.000 Traduzido por [Rodrigo Melges]