Giới thiệu về tính lồi/lõm | Dùng đạo hàm để phân tích hàm số | AP Giải tích AB | Khan Academy

Sal giới thiệu về khái niệm của tính lồi/lõm của hàm số, nghĩa là đồ thị hàm số sẽ "lồi lên" hoặc "lõm xuống", và điều này liên hệ như thế nào với đạo hàm bậc 2 của hàm số. Tạo ra bởi Sal Khan.

Luyện tập bài này trên Khan Academy bây giờ: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivatives-analyze-functions/ab-concavity/e/recognizing_concavity?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivatives-analyze-functions/ab-concavity/v/recognizing-concavity-exercise?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivatives-analyze-functions/ab-find-abs-extrema/v/absolute-extrema-on-entire-domain?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Đồ thị màu vàng ở đây là của hàm số y bằng f của x

Còn đồ thị màu hồng nhạt là của

hàm số y bằng đạo hàm của f,

hay f phẩy của x.

Và đồ thị màu xanh ở đây là của

hàm số y bằng đạo hàm bậc 2 của hàm số ban đầu.

Nó cũng là đạo hàm của cái này,

của đạo hàm bậc 1 ở ngay đây.

Chúng ta đã thấy các ví dụ

về xác định các điểm cực tiểu và cực đại.

Rõ ràng là nếu có đồ thị cho trước

sẽ rất dễ dàng để não ta xác định được

đây là 1 điểm cực đại.

Và hàm số có thể có giá trị lớn hơn sau đó.

Và ta cũng xác định được đây là 1 điểm cực tiểu

và hàm số cũng có thể có giá trị nhỏ hơn sau đó.

Nhưng ngay cả khi không có sẵn đồ thị

thì ta cũng có thể lấy đạo hàm của hàm số

và ngay cả khi

không lấy được đạo hàm,

ta cũng có thể xác định đây là các điểm cực đại hay cực tiểu.

Cách ta làm là tự hỏi xem

các điểm cực trị của hàm số này là gì?

Điểm cực trị là các điểm mà tại đó, đạo hàm của hàm số

vô nghiệm hoặc bằng 0.

Đây là đạo hàm của hàm số.

Nó bằng 0 ở đây và đây.

Vậy ta sẽ gọi đó là các điểm cực trị.

Mình tạm thời chưa thấy điểm nào mà tại đó

đạo hàm vô nghiệm cả.

Nên ở đây và ở đây là các điểm cực trị.

Đây là các điểm tiềm năng mà hàm số có thể có

giá trị cực tiểu hoặc cực đại.

Và ta đã tìm ra liệu nó là

giá trị cực tiểu hay cực đại bằng cách

xem xét hành vi của đạo hàm quanh các điểm đó.

Tại đây, ta thấy đạo hàm là dương

khi tiến đến điểm đó,

và sau đó nó thành âm.

Nó đi từ dương sang âm

sau khi vượt qua điểm đó.

Nghĩa là hàm số đồng biến.

Nếu đạo hàm là dương,

nghĩa là hàm số đồng biến cho đến

điểm đó, và nghịch biến ngay sau đó,

đây cũng là 1 cách hay để nghĩ về

điểm cực đại này.

Nếu hàm số đồng biến khi tiến đến điểm

và nghịch biến sau đó, thì điểm đó

chắc chắn là 1 điểm cực đại.

Tương tự, ở đây ta có thể thấy

đạo hàm là âm khi ta tiến đến điểm

nghĩa là hàm số nghịch biến.

Và ta thấy hàm số dương

khi ta vượt qua điểm.

Ta có đạo hàm đi từ âm

sang dương, nghĩa là

hàm số đi từ nghịch biến sang đồng biến

quanh điểm đó, đây là dấu hiệu

nhận biết rằng tại điểm cực trị này

hàm số sẽ có giá trị cực tiểu.

Điều mình muốn làm tiếp theo là mở rộng

các lập luận này bằng định nghĩa của tính lồi/lõm.

...

Tính lồi/lõm của hàm số nhé.

Khi nói về tính lồi/lõm, ta nên

nhìn vào đạo hàm bậc 2 thay vì chỉ

xem xét sự đổi dấu ở đây để xác định đó là

điểm cực tiểu hay cực đại.

Cùng nghĩ xem có gì đang diễn ra

ở vùng đầu tiên bên này, phần phía trên

của đồ thị trông như 1 hình cung hướng xuống,

giống 1 chữ A không có

dấu gạch ngang, hoặc 1 chữ U úp ngược.

Và ta sẽ xem xét tiếp đến

phần có chữ U hướng lên bên này.

Trên khoảng đầu tiên

bên này, ta thấy hệ số góc

sẽ có.. để mình chuyển màu...

à thôi màu này cũng được

vì đây là màu mình dùng ở đạo hàm.

Hệ số góc có giá trị dương

rồi lại nhỏ dần

và nhỏ dần hơn nữa

cho đến khi nó bằng 0.

Sau đó lại giảm dần giá trị

Bây giờ thì nó là 1 số âm lớn

sau đó nó nhỏ hơn

và tiếp tục nhỏ hơn rất nhiều.

Và có vẻ như nó đã dần giảm giá trị tại đó.

Vậy hệ số góc dừng giảm giá trị tại đó.

Bạn có thể thấy điều này ở đạo hàm.

Hệ số góc giảm dần liên tục

cho đến điểm đó, và nó lại bắt đầu tăng dần.

Vậy cả phần này ở đây,

hệ số góc giảm dần.

Và bạn có thể thấy, khi ta lấy đạo hàm

ở đây, cả vùng này

đều nghịch biến.

Và ta cũng thấy điều tương ứng khi lấy đạo hàm bậc 2

Nếu đạo hàm nghịch biến,

nghĩa là đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm

của đạo hàm, là âm.

Điều này là đúng trên hình.

Trên cả khoảng này, đạo hàm bậc 2

đúng là âm.

Tiếp theo khi ta chuyển tiếp

sang phần U hướng lên của đồ thị thì sao?

Ở đây, đạo hàm vẫn là âm.

Đạo hàm vẫn là âm ở đây.

Sau đó nó vẫn âm,

nhưng giá trị sẽ bắt đầu tăng dần

và tăng dần đều

cho đến khi nó bằng 0.

Nó bằng 0 ở đây.

Sau đó nó sẽ có giá trị dương càng lớn.

Và bạn cũng có thể thấy điều đó ở đây.

Trên cả khoảng này, hệ số góc hoặc đạo hàm

đều tăng dần.

Hệ số góc tăng dần

và bạn thấy điều đó ở đây.

Ở đây, hệ số góc bằng 0.

Hệ số góc của đạo hàm bằng 0.

Đạo hàm thì không thay đổi tại đó

nhưng bạn lại thấy hệ số góc tăng dần.

Và ta sẽ thấy điều này trên đồ thị

của đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm của đạo hàm.

Nếu đạo hàm đồng biến, nghĩa là

đạo hàm của đạo hàm phải là dương.

Và đúng là đạo hàm bậc 2 là dương.

Ta có 1 từ để diễn tả khoảng hướng xuống

hoặc hướng lên dạng chữ U. Ta gọi đây là lồi lên.

Để mình ghi rõ ra.

Lồi lên.

Và ta gọi đây là lõm xuống.

Hãy cùng ôn lại từ đầu đến giờ cách xác định

khoảng lồi lên và khoảng lõm xuống.

Khi ta nói về sự lồi lên,

ta thấy có 1 số điều đáng lưu ý.

Ta thấy hệ số góc giảm dần.

Hoặc 1 cách khác để nói là

f phẩy của x nghịch biến.

Và đó là cách nói khác cho việc đạo hàm bậc 2

là âm.

Nếu đạo hàm bậc 1 nghịch biến,

thì đạo hàm bậc 2 là âm,

nghĩa là đạo hàm bậc 2

trên khoảng phải âm.

Nếu bạn có đạo hàm bậc 2 âm,

thì bạn sẽ ở khoảng lồi lên.

Tương tự

hãy cùng nghĩ về sự lõm xuống

khi mà khoảng trông như chữ U hướng lên...

Trong khoảng như vậy thì hệ số góc tăng dần.

Ta có hệ số góc âm rổi tăng dần đến 0,

sau đó lại có giá trị dương tăng dần đều.

Vậy hệ số góc tăng dần,

nghĩa là đạo hàm của hàm số đồng biến.

Và ta thấy điều đó ở đăy.

Đạo hàm đồng biến,

nghĩa là đạo hàm bậc 2 trên khoảng lõm xuống

phải có giá trị lớn hơn 0.

Nếu đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0,

nghĩa là đạo hàm bậc 1

đồng biến, và hệ số góc tăng dần.

Vậy là ta sẽ ở khoảng lõm xuống.

Sau khi đã tìm hiểu các định nghĩa về

sự lồi lên và lõm xuống,

ta có thể nghĩ ra 1 cách khác

để xác định 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu

hay cực đại không?

Để bạn có điểm cực đại

thì cực trị của bạn phải ở khoảng lồi lên

và đó sẽ là 1 điểm cực đại.

Lồi lên,

nghĩa là nó sẽ hướng xuống như thế này.

Nếu ta nói về 1 điểm cực trị

thuộc khoảng lồi lên ở đây,

và hàm số khả vi trên khoảng,

thì tại điểm cực trị này,

hệ số góc sẽ bằng 0.

Vậy nó sẽ là điểm này đây.

Nếu bạn có khoảng lồi lên,

bạn sẽ có điểm mà f phẩy của a, bằng 0

thì ta sẽ có điểm cực đại tại a.

Tương tự, nếu ta có khoảng lõm xuống,

nghĩa là hàm số trông như thế này.

Và ta xác định được cực trị

mà có thể tại đó hàm số vô nghiệm,

nhưng ta giả sử đạo hàm bậc 1 và bậc 2

được xác định ở đây,

thì tại điểm cực trị,

đạo hàm bậc 1 sẽ bằng 0.

Vậy f phẩy của a bằng 0.

Nếu f phẩy của a bằng 0,

và hàm số lõm xuống trong khoảng

quanh a, và đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0

thì khá rõ ràng

ta đang nói đến điểm cực tiểu tại a.