Đồ thị màu vàng ở đây là của hàm số y bằng f của x Còn đồ thị màu hồng nhạt là của hàm số y bằng đạo hàm của f, hay f phẩy của x. Và đồ thị màu xanh ở đây là của hàm số y bằng đạo hàm bậc 2 của hàm số ban đầu. Nó cũng là đạo hàm của cái này, của đạo hàm bậc 1 ở ngay đây. Chúng ta đã thấy các ví dụ về xác định các điểm cực tiểu và cực đại. Rõ ràng là nếu có đồ thị cho trước sẽ rất dễ dàng để não ta xác định được đây là 1 điểm cực đại. Và hàm số có thể có giá trị lớn hơn sau đó. Và ta cũng xác định được đây là 1 điểm cực tiểu và hàm số cũng có thể có giá trị nhỏ hơn sau đó. Nhưng ngay cả khi không có sẵn đồ thị thì ta cũng có thể lấy đạo hàm của hàm số và ngay cả khi không lấy được đạo hàm, ta cũng có thể xác định đây là các điểm cực đại hay cực tiểu. Cách ta làm là tự hỏi xem các điểm cực trị của hàm số này là gì? Điểm cực trị là các điểm mà tại đó, đạo hàm của hàm số vô nghiệm hoặc bằng 0. Đây là đạo hàm của hàm số. Nó bằng 0 ở đây và đây. Vậy ta sẽ gọi đó là các điểm cực trị. Mình tạm thời chưa thấy điểm nào mà tại đó đạo hàm vô nghiệm cả. Nên ở đây và ở đây là các điểm cực trị. Đây là các điểm tiềm năng mà hàm số có thể có giá trị cực tiểu hoặc cực đại. Và ta đã tìm ra liệu nó là giá trị cực tiểu hay cực đại bằng cách xem xét hành vi của đạo hàm quanh các điểm đó. Tại đây, ta thấy đạo hàm là dương khi tiến đến điểm đó, và sau đó nó thành âm. Nó đi từ dương sang âm sau khi vượt qua điểm đó. Nghĩa là hàm số đồng biến. Nếu đạo hàm là dương, nghĩa là hàm số đồng biến cho đến điểm đó, và nghịch biến ngay sau đó, đây cũng là 1 cách hay để nghĩ về điểm cực đại này. Nếu hàm số đồng biến khi tiến đến điểm và nghịch biến sau đó, thì điểm đó chắc chắn là 1 điểm cực đại. Tương tự, ở đây ta có thể thấy đạo hàm là âm khi ta tiến đến điểm nghĩa là hàm số nghịch biến. Và ta thấy hàm số dương khi ta vượt qua điểm. Ta có đạo hàm đi từ âm sang dương, nghĩa là hàm số đi từ nghịch biến sang đồng biến quanh điểm đó, đây là dấu hiệu nhận biết rằng tại điểm cực trị này hàm số sẽ có giá trị cực tiểu. Điều mình muốn làm tiếp theo là mở rộng các lập luận này bằng định nghĩa của tính lồi/lõm. ... Tính lồi/lõm của hàm số nhé. Khi nói về tính lồi/lõm, ta nên nhìn vào đạo hàm bậc 2 thay vì chỉ xem xét sự đổi dấu ở đây để xác định đó là điểm cực tiểu hay cực đại. Cùng nghĩ xem có gì đang diễn ra ở vùng đầu tiên bên này, phần phía trên của đồ thị trông như 1 hình cung hướng xuống, giống 1 chữ A không có dấu gạch ngang, hoặc 1 chữ U úp ngược. Và ta sẽ xem xét tiếp đến phần có chữ U hướng lên bên này. Trên khoảng đầu tiên bên này, ta thấy hệ số góc sẽ có.. để mình chuyển màu... à thôi màu này cũng được vì đây là màu mình dùng ở đạo hàm. Hệ số góc có giá trị dương rồi lại nhỏ dần và nhỏ dần hơn nữa cho đến khi nó bằng 0. Sau đó lại giảm dần giá trị Bây giờ thì nó là 1 số âm lớn sau đó nó nhỏ hơn và tiếp tục nhỏ hơn rất nhiều. Và có vẻ như nó đã dần giảm giá trị tại đó. Vậy hệ số góc dừng giảm giá trị tại đó. Bạn có thể thấy điều này ở đạo hàm. Hệ số góc giảm dần liên tục cho đến điểm đó, và nó lại bắt đầu tăng dần. Vậy cả phần này ở đây, hệ số góc giảm dần. Và bạn có thể thấy, khi ta lấy đạo hàm ở đây, cả vùng này đều nghịch biến. Và ta cũng thấy điều tương ứng khi lấy đạo hàm bậc 2 Nếu đạo hàm nghịch biến, nghĩa là đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm của đạo hàm, là âm. Điều này là đúng trên hình. Trên cả khoảng này, đạo hàm bậc 2 đúng là âm. Tiếp theo khi ta chuyển tiếp sang phần U hướng lên của đồ thị thì sao? Ở đây, đạo hàm vẫn là âm. Đạo hàm vẫn là âm ở đây. Sau đó nó vẫn âm, nhưng giá trị sẽ bắt đầu tăng dần và tăng dần đều cho đến khi nó bằng 0. Nó bằng 0 ở đây. Sau đó nó sẽ có giá trị dương càng lớn. Và bạn cũng có thể thấy điều đó ở đây. Trên cả khoảng này, hệ số góc hoặc đạo hàm đều tăng dần. Hệ số góc tăng dần và bạn thấy điều đó ở đây. Ở đây, hệ số góc bằng 0. Hệ số góc của đạo hàm bằng 0. Đạo hàm thì không thay đổi tại đó nhưng bạn lại thấy hệ số góc tăng dần. Và ta sẽ thấy điều này trên đồ thị của đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm của đạo hàm. Nếu đạo hàm đồng biến, nghĩa là đạo hàm của đạo hàm phải là dương. Và đúng là đạo hàm bậc 2 là dương. Ta có 1 từ để diễn tả khoảng hướng xuống hoặc hướng lên dạng chữ U. Ta gọi đây là lồi lên. Để mình ghi rõ ra. Lồi lên. Và ta gọi đây là lõm xuống. Hãy cùng ôn lại từ đầu đến giờ cách xác định khoảng lồi lên và khoảng lõm xuống. Khi ta nói về sự lồi lên, ta thấy có 1 số điều đáng lưu ý. Ta thấy hệ số góc giảm dần. Hoặc 1 cách khác để nói là f phẩy của x nghịch biến. Và đó là cách nói khác cho việc đạo hàm bậc 2 là âm. Nếu đạo hàm bậc 1 nghịch biến, thì đạo hàm bậc 2 là âm, nghĩa là đạo hàm bậc 2 trên khoảng phải âm. Nếu bạn có đạo hàm bậc 2 âm, thì bạn sẽ ở khoảng lồi lên. Tương tự hãy cùng nghĩ về sự lõm xuống khi mà khoảng trông như chữ U hướng lên... Trong khoảng như vậy thì hệ số góc tăng dần. Ta có hệ số góc âm rổi tăng dần đến 0, sau đó lại có giá trị dương tăng dần đều. Vậy hệ số góc tăng dần, nghĩa là đạo hàm của hàm số đồng biến. Và ta thấy điều đó ở đăy. Đạo hàm đồng biến, nghĩa là đạo hàm bậc 2 trên khoảng lõm xuống phải có giá trị lớn hơn 0. Nếu đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0, nghĩa là đạo hàm bậc 1 đồng biến, và hệ số góc tăng dần. Vậy là ta sẽ ở khoảng lõm xuống. Sau khi đã tìm hiểu các định nghĩa về sự lồi lên và lõm xuống, ta có thể nghĩ ra 1 cách khác để xác định 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu hay cực đại không? Để bạn có điểm cực đại thì cực trị của bạn phải ở khoảng lồi lên và đó sẽ là 1 điểm cực đại. Lồi lên, nghĩa là nó sẽ hướng xuống như thế này. Nếu ta nói về 1 điểm cực trị thuộc khoảng lồi lên ở đây, và hàm số khả vi trên khoảng, thì tại điểm cực trị này, hệ số góc sẽ bằng 0. Vậy nó sẽ là điểm này đây. Nếu bạn có khoảng lồi lên, bạn sẽ có điểm mà f phẩy của a, bằng 0 thì ta sẽ có điểm cực đại tại a. Tương tự, nếu ta có khoảng lõm xuống, nghĩa là hàm số trông như thế này. Và ta xác định được cực trị mà có thể tại đó hàm số vô nghiệm, nhưng ta giả sử đạo hàm bậc 1 và bậc 2 được xác định ở đây, thì tại điểm cực trị, đạo hàm bậc 1 sẽ bằng 0. Vậy f phẩy của a bằng 0. Nếu f phẩy của a bằng 0, và hàm số lõm xuống trong khoảng quanh a, và đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0 thì khá rõ ràng ta đang nói đến điểm cực tiểu tại a.