0:00:00.500,0:00:04.270
Đồ thị màu vàng ở đây là của hàm số y bằng f của x

0:00:04.270,0:00:06.350
Còn đồ thị màu hồng nhạt là của

0:00:06.350,0:00:09.310
hàm số y bằng đạo hàm của f,

0:00:09.310,0:00:10.870
hay f phẩy của x.

0:00:10.870,0:00:12.580
Và đồ thị màu xanh ở đây là của

0:00:12.580,0:00:15.740
hàm số y bằng đạo hàm bậc 2 của hàm số ban đầu.

0:00:15.740,0:00:18.380
Nó cũng là đạo hàm của cái này,

0:00:18.380,0:00:21.550
của đạo hàm bậc 1 ở ngay đây.

0:00:21.550,0:00:23.830
Chúng ta đã thấy các ví dụ

0:00:23.830,0:00:25.345
về xác định các điểm cực tiểu và cực đại.

0:00:25.345,0:00:27.220
Rõ ràng là nếu có đồ thị cho trước

0:00:27.220,0:00:29.850
sẽ rất dễ dàng để não ta xác định được

0:00:29.850,0:00:31.950
đây là 1 điểm cực đại.

0:00:31.950,0:00:34.530
Và hàm số có thể có giá trị lớn hơn sau đó.

0:00:34.530,0:00:37.540
Và ta cũng xác định được đây là 1 điểm cực tiểu

0:00:37.540,0:00:40.242
và hàm số cũng có thể có giá trị nhỏ hơn sau đó.

0:00:40.242,0:00:42.700
Nhưng ngay cả khi không có sẵn đồ thị

0:00:42.700,0:00:45.347
thì ta cũng có thể lấy đạo hàm của hàm số

0:00:45.347,0:00:47.180
và ngay cả khi

0:00:47.180,0:00:48.638
không lấy được đạo hàm,

0:00:48.638,0:00:51.501
ta cũng có thể xác định đây là các điểm cực đại hay cực tiểu.

0:00:51.501,0:00:53.000
Cách ta làm là tự hỏi xem

0:00:53.000,0:00:55.070
các điểm cực trị của hàm số này là gì?

0:00:55.070,0:00:58.360
Điểm cực trị là các điểm mà tại đó, đạo hàm của hàm số

0:00:58.360,0:01:00.099
vô nghiệm hoặc bằng 0.

0:01:00.099,0:01:01.515
Đây là đạo hàm của hàm số.

0:01:01.515,0:01:04.170
Nó bằng 0 ở đây và đây.

0:01:04.170,0:01:05.810
Vậy ta sẽ gọi đó là các điểm cực trị.

0:01:05.810,0:01:08.530
Mình tạm thời chưa thấy điểm nào mà tại đó

0:01:08.530,0:01:10.590
đạo hàm vô nghiệm cả.

0:01:10.590,0:01:15.590
Nên ở đây và ở đây là các điểm cực trị.

0:01:15.590,0:01:19.740
Đây là các điểm tiềm năng mà hàm số có thể có

0:01:19.740,0:01:21.800
giá trị cực tiểu hoặc cực đại.

0:01:21.800,0:01:23.550
Và ta đã tìm ra liệu nó là

0:01:23.550,0:01:25.220
giá trị cực tiểu hay cực đại bằng cách

0:01:25.220,0:01:29.320
xem xét hành vi của đạo hàm quanh các điểm đó.

0:01:29.320,0:01:36.320
Tại đây, ta thấy đạo hàm là dương

0:01:36.320,0:01:37.715
khi tiến đến điểm đó,

0:01:41.210,0:01:42.800
và sau đó nó thành âm.

0:01:42.800,0:01:44.800
Nó đi từ dương sang âm

0:01:44.800,0:01:46.500
sau khi vượt qua điểm đó.

0:01:46.500,0:01:48.760
Nghĩa là hàm số đồng biến.

0:01:48.760,0:01:50.679
Nếu đạo hàm là dương,

0:01:50.679,0:01:52.970
nghĩa là hàm số đồng biến cho đến

0:01:52.970,0:01:56.310
điểm đó, và nghịch biến ngay sau đó,

0:01:56.310,0:01:58.544
đây cũng là 1 cách hay để nghĩ về

0:01:58.544,0:01:59.460
điểm cực đại này.

0:01:59.460,0:02:00.765
Nếu hàm số đồng biến khi tiến đến điểm

0:02:00.765,0:02:02.630
và nghịch biến sau đó, thì điểm đó

0:02:02.630,0:02:06.490
chắc chắn là 1 điểm cực đại.

0:02:06.490,0:02:09.330
Tương tự, ở đây ta có thể thấy

0:02:09.330,0:02:14.630
đạo hàm là âm khi ta tiến đến điểm

0:02:14.630,0:02:17.420
nghĩa là hàm số nghịch biến.

0:02:17.420,0:02:19.780
Và ta thấy hàm số dương

0:02:19.780,0:02:20.940
khi ta vượt qua điểm.

0:02:20.940,0:02:22.710
Ta có đạo hàm đi từ âm

0:02:22.710,0:02:24.530
sang dương, nghĩa là

0:02:24.530,0:02:27.930
hàm số đi từ nghịch biến sang đồng biến

0:02:27.930,0:02:30.680
quanh điểm đó, đây là dấu hiệu

0:02:30.680,0:02:33.590
nhận biết rằng tại điểm cực trị này

0:02:33.590,0:02:38.710
hàm số sẽ có giá trị cực tiểu.

0:02:38.710,0:02:41.150
Điều mình muốn làm tiếp theo là mở rộng

0:02:41.150,0:02:43.270
các lập luận này bằng định nghĩa của tính lồi/lõm.

0:02:46.365,0:02:47.740
...

0:02:47.740,0:02:49.740
Tính lồi/lõm của hàm số nhé.

0:02:49.740,0:02:52.630
Khi nói về tính lồi/lõm, ta nên

0:02:52.630,0:02:55.380
nhìn vào đạo hàm bậc 2 thay vì chỉ

0:02:55.380,0:02:57.990
xem xét sự đổi dấu ở đây để xác định đó là

0:02:57.990,0:03:01.280
điểm cực tiểu hay cực đại.

0:03:01.280,0:03:03.300
Cùng nghĩ xem có gì đang diễn ra

0:03:03.300,0:03:06.030
ở vùng đầu tiên bên này, phần phía trên

0:03:06.030,0:03:09.540
của đồ thị trông như 1 hình cung hướng xuống,

0:03:09.540,0:03:11.290
giống 1 chữ A không có

0:03:11.290,0:03:13.716
dấu gạch ngang, hoặc 1 chữ U úp ngược.

0:03:13.716,0:03:15.090
Và ta sẽ xem xét tiếp đến

0:03:15.090,0:03:19.950
phần có chữ U hướng lên bên này.

0:03:19.950,0:03:21.790
Trên khoảng đầu tiên

0:03:21.790,0:03:23.700
bên này, ta thấy hệ số góc

0:03:23.700,0:03:26.484
sẽ có.. để mình chuyển màu...

0:03:26.484,0:03:27.900
à thôi màu này cũng được

0:03:27.900,0:03:30.210
vì đây là màu mình dùng ở đạo hàm.

0:03:30.210,0:03:33.210
Hệ số góc có giá trị dương

0:03:33.210,0:03:36.640
rồi lại nhỏ dần

0:03:36.640,0:03:39.790
và nhỏ dần hơn nữa

0:03:39.790,0:03:42.840
cho đến khi nó bằng 0.

0:03:42.840,0:03:44.160
Sau đó lại giảm dần giá trị

0:03:44.160,0:03:47.260
Bây giờ thì nó là 1 số âm lớn

0:03:47.260,0:03:49.250
sau đó nó nhỏ hơn

0:03:49.250,0:03:51.200
và tiếp tục nhỏ hơn rất nhiều.

0:03:51.200,0:03:56.409
Và có vẻ như nó đã dần giảm giá trị tại đó.

0:03:56.409,0:03:58.450
Vậy hệ số góc dừng giảm giá trị tại đó.

0:03:58.450,0:03:59.380
Bạn có thể thấy điều này ở đạo hàm.

0:03:59.380,0:04:01.380
Hệ số góc giảm dần liên tục

0:04:01.380,0:04:04.970
cho đến điểm đó, và nó lại bắt đầu tăng dần.

0:04:04.970,0:04:10.920
Vậy cả phần này ở đây,

0:04:10.920,0:04:12.575
hệ số góc giảm dần.

0:04:18.550,0:04:21.950
Và bạn có thể thấy, khi ta lấy đạo hàm

0:04:21.950,0:04:26.070
ở đây, cả vùng này

0:04:26.070,0:04:27.287
đều nghịch biến.

0:04:27.287,0:04:29.620
Và ta cũng thấy điều tương ứng khi lấy đạo hàm bậc 2

0:04:29.620,0:04:31.720
Nếu đạo hàm nghịch biến,

0:04:31.720,0:04:33.750
nghĩa là đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm

0:04:33.750,0:04:35.050
của đạo hàm, là âm.

0:04:35.050,0:04:38.320
Điều này là đúng trên hình.

0:04:38.320,0:04:43.190
Trên cả khoảng này, đạo hàm bậc 2

0:04:43.190,0:04:45.821
đúng là âm.

0:04:45.821,0:04:47.570
Tiếp theo khi ta chuyển tiếp

0:04:47.570,0:04:51.250
sang phần U hướng lên của đồ thị thì sao?

0:04:51.250,0:04:54.150
Ở đây, đạo hàm vẫn là âm.

0:04:54.150,0:04:56.250
Đạo hàm vẫn là âm ở đây.

0:04:56.250,0:04:58.570
Sau đó nó vẫn âm,

0:04:58.570,0:05:01.850
nhưng giá trị sẽ bắt đầu tăng dần

0:05:01.850,0:05:04.670
và tăng dần đều

0:05:04.670,0:05:05.980
cho đến khi nó bằng 0.

0:05:05.980,0:05:08.000
Nó bằng 0 ở đây.

0:05:08.000,0:05:11.170
Sau đó nó sẽ có giá trị dương càng lớn.

0:05:11.170,0:05:12.890
Và bạn cũng có thể thấy điều đó ở đây.

0:05:12.890,0:05:16.720
Trên cả khoảng này, hệ số góc hoặc đạo hàm

0:05:16.720,0:05:18.430
đều tăng dần.

0:05:18.430,0:05:24.745
Hệ số góc tăng dần

0:05:24.745,0:05:25.870
và bạn thấy điều đó ở đây.

0:05:25.870,0:05:27.560
Ở đây, hệ số góc bằng 0.

0:05:27.560,0:05:29.950
Hệ số góc của đạo hàm bằng 0.

0:05:29.950,0:05:33.220
Đạo hàm thì không thay đổi tại đó

0:05:33.220,0:05:37.089
nhưng bạn lại thấy hệ số góc tăng dần.

0:05:37.089,0:05:38.630
Và ta sẽ thấy điều này trên đồ thị

0:05:38.630,0:05:40.900
của đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm của đạo hàm.

0:05:40.900,0:05:42.530
Nếu đạo hàm đồng biến, nghĩa là

0:05:42.530,0:05:44.680
đạo hàm của đạo hàm phải là dương.

0:05:44.680,0:05:49.240
Và đúng là đạo hàm bậc 2 là dương.

0:05:49.240,0:05:53.320
Ta có 1 từ để diễn tả khoảng hướng xuống

0:05:53.320,0:05:57.640
hoặc hướng lên dạng chữ U. Ta gọi đây là lồi lên.

0:06:02.120,0:06:03.560
Để mình ghi rõ ra.

0:06:03.560,0:06:07.920
Lồi lên.

0:06:07.920,0:06:10.030
Và ta gọi đây là lõm xuống.

0:06:13.400,0:06:15.330
Hãy cùng ôn lại từ đầu đến giờ cách xác định

0:06:15.330,0:06:18.670
khoảng lồi lên và khoảng lõm xuống.

0:06:18.670,0:06:25.840
Khi ta nói về sự lồi lên,

0:06:25.840,0:06:27.780
ta thấy có 1 số điều đáng lưu ý.

0:06:27.780,0:06:29.340
Ta thấy hệ số góc giảm dần.

0:06:37.590,0:06:41.430
Hoặc 1 cách khác để nói là

0:06:41.430,0:06:47.290
f phẩy của x nghịch biến.

0:06:51.720,0:06:54.840
Và đó là cách nói khác cho việc đạo hàm bậc 2

0:06:54.840,0:06:55.590
là âm.

0:06:55.590,0:06:58.090
Nếu đạo hàm bậc 1 nghịch biến,

0:06:58.090,0:07:00.460
thì đạo hàm bậc 2 là âm,

0:07:00.460,0:07:03.350
nghĩa là đạo hàm bậc 2

0:07:03.350,0:07:08.160
trên khoảng phải âm.

0:07:08.160,0:07:11.010
Nếu bạn có đạo hàm bậc 2 âm,

0:07:11.010,0:07:14.220
thì bạn sẽ ở khoảng lồi lên.

0:07:14.220,0:07:17.480
Tương tự

0:07:17.480,0:07:21.640
hãy cùng nghĩ về sự lõm xuống

0:07:21.640,0:07:25.630
khi mà khoảng trông như chữ U hướng lên...

0:07:25.630,0:07:28.510
Trong khoảng như vậy thì hệ số góc tăng dần.

0:07:28.510,0:07:31.030
Ta có hệ số góc âm rổi tăng dần đến 0,

0:07:31.030,0:07:34.040
sau đó lại có giá trị dương tăng dần đều.

0:07:34.040,0:07:37.780
Vậy hệ số góc tăng dần,

0:07:43.240,0:07:50.690
nghĩa là đạo hàm của hàm số đồng biến.

0:07:50.690,0:07:52.680
Và ta thấy điều đó ở đăy.

0:07:52.680,0:07:56.240
Đạo hàm đồng biến,

0:07:56.240,0:08:00.150
nghĩa là đạo hàm bậc 2 trên khoảng lõm xuống

0:08:00.150,0:08:03.490
phải có giá trị lớn hơn 0.

0:08:03.490,0:08:05.450
Nếu đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0,

0:08:05.450,0:08:06.950
nghĩa là đạo hàm bậc 1

0:08:06.950,0:08:09.310
đồng biến, và hệ số góc tăng dần.

0:08:09.310,0:08:14.630
Vậy là ta sẽ ở khoảng lõm xuống.

0:08:14.630,0:08:18.000
Sau khi đã tìm hiểu các định nghĩa về

0:08:18.000,0:08:20.150
sự lồi lên và lõm xuống,

0:08:20.150,0:08:22.210
ta có thể nghĩ ra 1 cách khác

0:08:22.210,0:08:24.820
để xác định 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu

0:08:24.820,0:08:26.490
hay cực đại không?

0:08:26.490,0:08:28.420
Để bạn có điểm cực đại

0:08:28.420,0:08:32.500
thì cực trị của bạn phải ở khoảng lồi lên

0:08:32.500,0:08:36.130
và đó sẽ là 1 điểm cực đại.

0:08:36.130,0:08:38.210
Lồi lên,

0:08:38.210,0:08:42.263
nghĩa là nó sẽ hướng xuống như thế này.

0:08:42.263,0:08:44.179
Nếu ta nói về 1 điểm cực trị

0:08:44.179,0:08:46.304
thuộc khoảng lồi lên ở đây,

0:08:46.304,0:08:48.784
và hàm số khả vi trên khoảng,

0:08:48.784,0:08:50.200
thì tại điểm cực trị này,

0:08:50.200,0:08:52.350
hệ số góc sẽ bằng 0.

0:08:52.350,0:08:54.810
Vậy nó sẽ là điểm này đây.

0:08:54.810,0:08:56.640
Nếu bạn có khoảng lồi lên,

0:08:56.640,0:09:02.250
bạn sẽ có điểm mà f phẩy của a, bằng 0

0:09:02.250,0:09:04.730
thì ta sẽ có điểm cực đại tại a.

0:09:11.500,0:09:14.210
Tương tự, nếu ta có khoảng lõm xuống,

0:09:14.210,0:09:17.340
nghĩa là hàm số trông như thế này.

0:09:17.340,0:09:20.210
Và ta xác định được cực trị

0:09:20.210,0:09:22.600
mà có thể tại đó hàm số vô nghiệm,

0:09:22.600,0:09:24.800
nhưng ta giả sử đạo hàm bậc 1 và bậc 2

0:09:24.800,0:09:26.510
được xác định ở đây,

0:09:26.510,0:09:28.260
thì tại điểm cực trị,

0:09:28.260,0:09:31.380
đạo hàm bậc 1 sẽ bằng 0.

0:09:31.380,0:09:35.090
Vậy f phẩy của a bằng 0.

0:09:35.090,0:09:38.130
Nếu f phẩy của a bằng 0,

0:09:38.130,0:09:40.900
và hàm số lõm xuống trong khoảng

0:09:40.900,0:09:44.250
quanh a, và đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0

0:09:44.250,0:09:46.010
thì khá rõ ràng

0:09:46.010,0:09:53.610
ta đang nói đến điểm cực tiểu tại a.