Concavity, concave upwards and concave downwards intervals

여기 노란색으로 그린 것은 y=f(x)의 그래프 입니다

여기 연보라색으로 그린 것은

y=f'(x)의 그래프입니다

여기 파란색으로 그린 것은

y=f''(x)의 그래프 입니다

즉 여기 그린 것이

이계도함수입니다

그리고 우리는 이미 예시를 봤습니다

최소와 최대점을 구하는 방법에 관한

사실 우리 앞에 그래프가 있으면

알아내는 것이 어렵지 않습니다

이 점은 최대점이고

함수는 나중에 더 큰 값을 가질 수 있습니다

이것은 극소점입니다

나중에 함수는 더 작은 값을 가질 수 있습니다

하지만 그래프 없이도

함수의 미분을 할 수 있다면

혹은 함수의 미분을

하지 못하더라도

이 점들이 최소와 최대점인 것을 알 수 있습니다

우리가 한 방법으로

이 함수의 임계점은 어디인가요?

임계점은 함수의 미분이

정의되지 않거나 0인 점입니다

이것이 함수의 미분입니다

여기랑 여기서 0입니다

우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

저는 아직 미분값이 정의되지 않은 점을

찾지 못했습니다

그래서 우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

그래서 이 점들이 후보점들입니다

함수값이 최대 혹은 최소가 될 수 있는

우리가 저 점에서

최소 혹은 최댓값을 갖는지 아는 방법은

그 점 주변에서의 미분값을 살펴보는 것입니다

여기서 미분값이 양수인 것을 알 수 있습니다

이 점에 접근하면서

그리곤 음수가 됩니다

미분값이 양수에서 음수가 됩니다

이 점을 지나면서

미분값이 양수라는 것은

함수가 양수라는 것을 의미하고

그것은 함수가 증가한다는 것을 의미합니다

저 점에 도달하면서 그리고 저 점을 떠나면서 음수가 됩니다

이것은 꽤 좋은 방법입니다

최대점이 되는

이 점에 접근하면서 증가하고

떠나면서 감소하면

이 점은 최대점이 될 것입니다

비슷하게 여기에서

이 점에 접근하면서 마분값은 음수이고

이것은 함숫값이 감소하는 것을 의미하고

이 점을 떠나면서 미분값이

양수인 것을 알 수 있습니다

우리는 음수인 미분값에서

양수인 미분값으로 갑니다

이것은 함수가 감소하다가 증가하는 것을 의미하고

이것은 꽤 좋은 지표가 됩니다

혹은 이 점은 이것이 임계점이라는 지표가 됩니다

함숫값이 최소가 되는

이제 제가 알고 싶은 것은

볼록성을 이용해서 이 생각을 확장하는 것입니다

제가 지금 잘못 발음하고 있는 것을 알고 있습니다

그것은 아마 볼록성입니다

볼록성을 생각하기 위해서는

이차미분을 보는 이 좋습니다

미분값 변화를 보는 것 보다는

이것이 최소점인지 최대점인지 알기 위해

무슨 일이 일어나는지 봅시다

첫 번째 부분에서
이 곡선에서

호 처럼 생긴 시작부분이 아래에 있는

A처럼 생겼습니다

사이의 직선을 없앤 혹은 뒤집어진 U같이 생겼습니다

이제 생각해봅시다

U처럼 생긴 곡선에서는 무슨 일이 일어나는지

첫번째 구간에서

여기에서 시작하면

기울기는 매우

같은 색으로 합시다

실제 미분의 색이랑 같아서 그렇습니다

기울기는 매우 큰 양수입니다

이것이 점점 작아집니다

점점 더 작아지다가

결국 0이 됩니다

그리곤 계속 감소합니다

그다음 이것은 약간 음수가 되었다가

점점 더 음수가 되었다가

절댓값이 매우 큰 음수가 됩니다

그리곤 이 부근에서 감소하는 것을 멈추는 것처럼 보입니다

기울기가 이 부근에서 감소하는 것을 멈춥니다

그것을 미분에서 볼 수 있습니다

기울기가 감소하다가

이 점에 닿을 때 까지 감소하고 증가하기 시작합니다

그래서 여기 전 구역에서

기울기는 감소하고 있습니다

여기서 미분을 하면

여기서 미분을 하면
여기 구간은

감소하고 있습니다

이차 미분을 하면

미분값이 감소한다는 것은

2차 미분값이

음수라는 것을 의미합니다

이 경우를 보자면

이 구간에서 2차 미분값은

정말 음수입니다

무슨 일이 일어나나요

이 U자 모양 곡선에서?

여기서 미분값은 음수입니다

여기서 미분값은 움수입니다

여기서도 여전히 음수이지만

점점 덜 음수쪽으로 가다가

점점 덜 음수쪽으로 가다가

0이 됩니다

저기서 0이 됩니다

그리곤 점점 더 커지다가

여기서 볼 수 있듯이

이 전 구간에서 기울기 혹은 미분값이

증가하고 있습니다

기울기가 증가하고 있습니다

여기서는

기울기가 0입니다

미분값이 0입니다

이 순간에는 미분값이 변하지 않습니다

그리고 기울기가 증가하는 것을 볼 수 있습니다

그리고 우리는 저것을 2차 미분을 통해 시각화할 수 있습니다

미분의 미분

미분이 증가하고 있다는 것은

미분의 미분이 양수라는 것을 의미합니다

미분의 미분이 정말 양수입니다

그리고 뒤집어진 U와 그냥 U자 모양을 칭하는

용어가 있습니다.
우리는 이것을 위로 볼록하다고 말합니다

분명히 하도록 하겠습니다

위로 볼록

그리고 우리는 이것을 위로 아래로 볼록이라고 부릅니다

복습해봅시다 우리가 어떻게

아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 확인할 수 있는지

우리가 위로 볼록을 애기할 때

우리는 몇 가지 것들을 볼 수 있습니다

기울기가 감소하는 것을 알 수 있고

다른 말로 f'(x)가 감소하고 있습니다

또 다른 말로 2차 미분값이

음수입니다

1차 미분값이 감소하면

2차 미분값은 반드시 음수입니다

다른 말로 2차 미분값이

저 구간에서 반드시 음수입니다

그래서 음의 2차 미분값을 가지고 있으면

위로 볼록인 구간입니다

비슷하게
발음하기가 힘듭니다

아래로 볼록에 대해 생각해 봅시다

U자 모양의 구간에서 아래로 볼록입니다

이 구간에서 기울기는 증가하고 있습니다

우리는 음의 기울기, 덜 음의 기울기
0이 됩니다

양의 기울기에서 점점 커집니다

그래서 기울기가 증가하고 있습니다

이것은 함수의 미분값이 증가한다는 것을 의미합니다

저기서 볼 수 있듯이

이 미분이 증가하고 있습니다

이것은 아래로 볼록인 구간에서

2차 미분값이 0보다 크다는 것을 의미합니다

2차 미분값이 0보다 크면

그것은 1차 미분값이

즉 기울기가 증가하고 있다는 것을 의미합니다

우리는 아래로 볼록인 구간에 있습니다

우리가 위로 볼록과 아래로 볼록에 대해

지금까지 정의한 것을 생각해봅시다

임계점이 최소점인지 최대점인지

알 수 있는 다른 방법에 대해

생각할 수 있나요?

만약 최대점이면

만약에 임계점이 위로 볼록인 구간에 있으면

그 임계점은 최대점이 될 것입니다

위로 볼록에 대해 분명히 합시다

이렇게 생긴 구간을 의미합니다

그리고 우리는 임계점에대 말하고 있습니다

우리가 여기를 위로 볼록이라고 가정하면

이 구간에서 미분 가능하다고 가정합니다

그래서 임계점은

기울기가 0인 점 입니다

그래서 저 점이 될 것입니다

여기서 위로 볼록이라면

그리고 f'(x)가 0이 되는 점에서는
그 점을 a라고 합시다

그러면 a에서 최댓값을 가집니다

그리고 비슷하게 아래로 볼록이면

함수가 이렇게 생긴 것을 의미합니다

그리고 임계점을 찾으면

함수가 정의 되지 않은 부분일 수도 있습니다

하지만 우리가 1차 미분과 2차 미분이

정의된다고 가정하면

임계점은

첫번재 미분값이 0이되는 점일 것입니다

f'(a)=0입니다

만약 f'(a)=0이면

그리고 a주변에서 아래로 볼록이면

즉 2차 미분값이 0보다 크면

꽤 분명하게 볼 수 있듯이

a에서 최소점입니다